EQUAZIONE DEL FLUSSO IN UN ACQUIFERO OMOGENEO E ISOTROPO

L’acqua sotterranea possiede energia in forma meccanica, termica e chimica. Poiché le quantità di energia variano continuamente nello spazio, l’acqua sotterranea è costretta a muoversi da una regione all’altra per eliminare le differenze che si vengono a creare. Il flusso dell’acqua nel sottosuolo è, pertanto, controllata dalle leggi della meccanica e della termodinamica. Nel seguente trattato, però, si assumerà che l’acqua sia costante in temperatura. In effetti, è pure vero che l’acqua si riscalda muovendosi nel sottosuolo per effetto della perdita di energia meccanica per attrito con la sua trasformazione in energia termica. Ma tale quantitativo è spesso così piccolo da non dar luogo a un apprezzabile incremento di temperatura. L’energia termica va invece essere considerata in presenza di flussi geotermali e fonti radioattive di calore.

Sono tre le forze esterne che agiscono sull’acqua del sottosuolo. La più ovvia delle tre è la gravità che spinge l’acqua verso il basso. La seconda è la pressione esterna, somma della pressione atmosferica e del peso dell’acqua soprastante il punto considerato. La terza forza è quella molecolare che fa si che l’acqua aderisca alle particelle solide nell’acquifero ed è la causa dei fenomeni di capillarità. Quando l’acqua fluisce attraverso un mezzo poroso, esistono forze che si oppongono al movimento. Queste sono forze di attrito, che agiscono tangenzialmente alla superficie della matrice solida, e forze normali, che agiscono perpendicolarmente alle superfici. Le forze molecolari interne nel fluido resistono invece al movimento sotto forma di viscosità.

Il flusso dell’acqua in un mezzo poroso, in quanto governato dalle leggi della fisica, può essere descritto mediante equazioni differenziali. Poiché è una funzione di numerose variabili, il flusso è descritto attraverso equazioni con derivate parziali calcolate rispetto alle coordinate spaziali e al tempo. Per ricavare l’equazione del flusso, bisogna applicare le leggi di conservazione della massa e dell’energia:

• La legge di conservazione della massa, o principio di continuità, afferma che, dato un volume di controllo, qualsiasi cambiamento nella massa del fluido al suo interno deve essere controbilanciato da un corrispondente cambiamento di massa fuori il volume e/o una variazione di massa immagazzinato nel volume stesso. ¹

• La legge di conservazione dell’energia, o primo principio della termodinamica, afferma che in un sistema chiuso, il quantitativo di energia è costante ma può cambiare di forma (secondo principio della termodinamica).

ACQUIFERO CONFINATO

Si consideri in un acquifero confinato omogeneo e isotropo un volume di controllo di dimensioni dx, dy, dz. L’equazione del flusso, in termini di derivate parziali, si ottiene sommando i flussi in entrata ed in uscita e inserendo al relazione di Darcy.

Il fluido si muove solo in una direzione attraverso il volume di controllo. Tale direzione può essere suddivisa nelle tre componenti x,y,z del sistema di riferimento. Se q è il flusso per

1 Il principio richiede la conservazione delle quantità di acqua in etrata e in uscita da un cella infinitesima.

unità di superficie, ρwqx è la porzione parallela all’asse x, ρwqy è la porzione parallela all’asse y e ρwqz è la porzione parallela all’asse z (ρw è la densità del fluido).

La massa di fluido in ingresso al volume di controllo lungo l’asse x è:

ρ^wq^x dydz

mentre il flusso di massa in uscita è pari a :

ρ^wq^x dydz +∂/∂x ( ρ^wq^{x )} dydzdx

L’accumulo nel volume di controllo è pertanto pari a:

-∂/∂x ( ρwqx ) dydzdx.

Poiché ci sono componenti di flusso anche nelle altre due direzioni si ottiene:

accumulo netto= _{w x}q _{w y}q _{w z}q dxdydz

xρ yρ zρ

⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞

−⎜⎝∂ +∂ +∂ ⎟⎠ (1)

.

Il volume di acqua nel volume di controllo è pari a:

n dxdydz

dove n è la porosità. La massa iniziale dell’acqua è pertanto:

nρw dxdydz

Il volume della matrice solida è:

(1-n) dxdydz

La variazione della massa nel tempo è data da:

FIG 2. Volume di controllo.

∂M/∂t = ∂/∂t( nρw dxdydz) (2)

Una variazione di pressione nel volume di controllo dà luogo a una variazione di densità e quindi di porosità dell’acquifero. Si chiami con E la compressibilità dell’acqua. E è definita

come la velocità di cambiamento della densità in seguito a una variazione della pressione:

E dP = dρw / ρw (3)

L’acquifero subisce anche una variazione di volume in seguito alla variazione della pressione.

Assumeremo che tale variazione sia solo verticale. Sia α la compressibilità della matrice solida dell’acquifero. α è data da:

α dP = d (dz) / dz (4)

Mentre l’acquifero si comprime o si espande, n cambia ma il volume solido Vs resta costante.

Pertanto, l’unica deformazione è nella direzione z, e d (dx) e d (dy) sono uguali a 0.

d Vs = 0 = d[(1 – n ) dx dy dz]

da cui si ottiene differenziando:

dz dn = (1 – n) d (dz) (1 n d dz) ( )

dn dz

= − (5)

La pressione P, in un punto dell’acquifero, è pari a :

P = P^o + ρ^wg h

dove P^o è la pressione atmosferica ed è costante, mentre h è l’altezza della colonna di acqua sopra il punto. Sostituendo l’espressione dP = ρ^w dh nella (3) e nella (4) si ottiene:

E ρwg dh = dρw / ρw (3’) αρwg dh = d (dz) / dz (4’) ovvero: dρw =E ρw (ρwg dh ) (3’’)

d (dz) = α dz ( ρw g dh ) (4’’)

Riscrivendo la relazione (5) insieme alla (4’’):

dn = (1 – n) α ρw g dh (6)

Se dx e dy sono costanti, l’equazione della variazione della massa rispetto al tempo nel volume di controllo, Equazione (2), può essere espressa come:

( ) _w

Sostituendo le Equazioni (3’), (4’) e (6) nella (7) , si ottiene, con una facile rielaborazione:

(

)

L’accumulo netto di materiale espresso dall’Equazione (1) deve essere uguale all’Equazione (8), che è la variazione di massa nel tempo.

( )

Sostituendo queste nella (9) si arriva alla equazione principale in 3D del flusso in un acquifero confinato per un mezzo poroso e omogeneo:

( )

Si noti che l’equazione del flusso è di tipo parabolico. Essa risulta univocamente determinata una volta note le condizioni iniziali e/o al contorno.

Nel caso di un flusso 2D (senza componenti verticali), l’equazione può essere scritta in termini di coefficiente di immagazzinamento S e della trasmissività T ricordando che:

S = γD (nβ + α) e T= K D

dove D è lo spessore dell’acquifero.Si ottiene:

2 2 2 2

In condizioni stazionarie, se non c’è variazione della testa nel tempo, la (10) diventa la nota Equazione di Laplace:

Le precedenti equazioni sono basate sull’assunzione che tutto il flusso provenga dall’acqua immagazzinata dentro l’acquifero. Una quota significante di flusso può essere generata dall’infiltrazione di acqua proveniente dagli strati confinanti. Si consideri tale infiltrazione come una componente di flusso orizzontale e la si indichi con la e. L’equazione generale del flusso in 2D sarà data dalla:

dove e può essere calcolato con la legge di Darcy:

( 0 )

' '

h h

e K b

= − (14)

con: ho = testa dell’acquitardo²

h= testa dell’acquifero sotto l’acquitardo k’= conducibilità verticale

b’=spessore dell’acquitardo

ACQUIFERO NON CONFINATO

Nel caso di un acquifero confinato, anche se la superficie potenziometrica si abbassa, lo strato saturo rimane costante. In un acquifero non confinato, l’acqua che si accumula proviene dal drenaggio verticale di acqua nei pori. Nei pressi di un pozzo di pompaggio, questo drenaggio provoca un abbassamento della posizione della superficie d’acqua man mano che passa il tempo. Poichè lo spessore saturo cambia col tempo, la trasmissività cambia.

In generale l’equazione in 2D è nota come Equazione di Boussinesque (1904):

Sy