TIPI DI INCERTEZZA
2.2 IMPOSTAZIONE STOCASTICA
I modelli si distinguano in deterministici o stocastici a seconda che i dati siano sufficienti, rispettivamente, a descrivere l’evolversi degli eventi come certi o a definire semplicemente le leggi di probabilità sul verificarsi degli stessi.
• In un modello tradizionale di tipo deterministico si ha un fissato numero di parametri raccolti con un grado di accuratezza elevato e condizioni al contorno provenienti da un modello calibrato. Nel predire un evento futuro basta cambiare gli stress nel modello per simulare cosa accade all’acqua sotterranea.
• In un modello di tipo stocastico i confini degli acquiferi, la posizione dell’interfaccia tra due fluidi a diversa densità, i parametri idrogeologici e le velocità di pompaggio vengono considerati come dati affetti da incertezza. I dati vengono considerati come variabili casuali e sono trattati in termini di valor medio e di deviazione standard. Ne discende che le stesse soluzioni delle equazioni differenziali del flusso e del trasporto diventano funzioni casuali definiti dai loro momenti. Il problema si complica se anche gli stessi coefficienti dei sistemi di equazione risolutivi vengono considerati variabili.
In effetti, dato un fenomeno, alcuni aspetti dello stesso possono essere trattati deterministicamente. Rimane comunque sempre un residuo che non può essere trattato
altrimenti che come stocastico. La componente stocastica del modello può assumere valori diversi nel tempo e a ognuno di questi va attribuita una probabilità di verificarsi.
2.2.1 DESCRIZIONE STOCASTICA DELL’ETEROGENEITA’
Si consideri il parametro conducibilità idraulica K(x) e si determini il suo valore in un numero discreto di punti lungo una stessa direzione. Vincoli fisici ed economici proibiscono un campionamento particolareggiato per determinare l’esatta distribuzione del parametro. Questo vuol dire che il valore di K dovrà essere stimato nei punti dove non è misurato. Il fatto che facciamo delle stime implica che il valore di conducibilità nel punto in cui non è noto è trattato come una variabile casuale. D’altra parte, anche se abbiamo misurato la conducibilità in un determinato punto xi, possiamo ancora pensare a K(xi) come il risultato di una delle tante possibili disposizioni dei materiali geologici che sono stati deposti nel punto xi quando l’ambiente geologico si è formato. Pertanto, il valore di K nel punto xi è una variabile casuale appartenente a un intervallo di possibili valori di cui alcuni sono più probabili di altri. In altre parole, per ogni punto xi esiste una distribuzione di densità, f(k(xi)), associata al valore di conducibilità. Similmente, in altri punti, xi+1,…. xn, K(xi+1),…K (xn) sono variabili casuali con distribuzioni f(k(xi+1)), …e f(k(xn)), rispettivamente. Ne consegue che K(xi) lungo una stessa direzione può essere considerata come una collezione di variabili casuali. Questa collezione di un infinito numero di variabili casuali è chiamato processo stocastico.
Poiché la distribuzione della conducibilità lungo una sezione è un processo stocastico, ci saranno molte possibili sequenze di K(xi) lungo la stessa sezione, alcune più probabili di altre. Allora, le conducibilità misurate lungo la sezione sono solo una delle possibili sequenze di valori di K nell’insieme quelle possibili K(x,ω1), essendo ω un indice di insieme indicante il numero di sequenza (ωc(1÷∞)). Chiamiamo con il termine insieme (ensemble) una
misurato
K
0 1 2 3
FIG 4. Valori di K lungo una direzione.
f(k(xi))
k(x)
x1 x2 xi
FIG 5. Funzione di distribuzione di K(xi).
( ) f2exp
C ξ
ξ σ
λ
⎡ ⎤
= ⎢− ⎥
⎣ ⎦
collezione di un infinito numero di serie spaziali (o temporali) misurante la stessa variabile. Si definisce invece realizzazione (realization) un’unica serie spaziale appartenente all’insieme.
FIG 6. Realizzazione (1) e insieme di realizzazioni (2).
Bisogna considerare che la caratterizzazione stocastica non provvede il vero valore della proprietà in un dato punto ma la sua variabilità e le relazioni della proprietà con i punti circostanti. Solitamente, per descrivere la variabilità spaziale della conducibilità idraulica K(x), si usa il logaritmo naturale della variabile. La variabilità o l’eterogeneità di ln K è individuata dalla media e dalla funzione di autocovarianza. Poiché ln K è un processo stocastico, può essere scritta come:
ln K(x) = F + f(x)
dove F denota la media di ln K, che è costante, e f(x) è la perturbazione (ovvero la componente variabile). La media è data da:
E[lnK]= F
La funzione di autocovarianza è:
essendo: σf2 = varianza di ln K λ= scala di correlazione
La varianza di un processo stocastico mostra l’incertezza del valore di conducibilità.
2 ( f2 1) exp 2 2
k eσ F f
σ = − ⎡⎣ +σ ⎤⎦
E’ da osservare che se l’acquifero è omogeneo in termini di conducibilità idraulica, la scala di correlazione tende all’infinito, λ=∞, ovvero i valori di conducibilità sono ovunque correlati.
Viceversa, se la scala di correlazione è nulla, λ=0, la conducibilità idraulica diventa un processo puramente stocastico. In tal caso la conoscenza del valore in un punto non da informazioni sul valore nei punti adiacenti.
La tavola sottostante mostra la media, la varianza e la scala di correlazione per vari tipi di formazione.
E’ spesso utile conoscere la relazione tra il valor medio di ln K e K. Questa può essere scritta come:
µk = exp (F + σf2
/2)
dove:
F = media di ln K σf2 = varianza di ln K µk = media di K
Similmente, la varianza di K può essere calcolata se sono note la media e la varianza di ln K.
FIG 7. Varianza e scale di correlazione per log-conducibilità (Gelhar, 1986).
dove:
σk2 = varianza di K
2.2.2 IL PROBLEMA INVERSO
La formulazione del problema inverso è più o meno contemporaneo con lo sviluppo dei primi modelli numerici per la risoluzione delle equazioni del flusso in un mezzo poroso. I primi problemi diretti risalgono, infatti, agli anni ’50 mentre i primi problemi inversi datano il 1960.
Il problema diretto del flusso2 consiste nel determinare i campi di velocità e i livelli piezometrici risolvendo delle equazioni per un dato tipo di acquifero avente certe proprietà, deterministiche o casuali, e certe condizioni al contorno e iniziali. Nelle applicazioni sul campo, però, le distribuzioni spaziali della conducibilità idraulica3 e del coefficiente di immagazzinamento non sono disponibili. Anzi, le stesse condizioni al contorno, e in particolare la ricarica, non sono note con esattezza.
Per quanto riguarda la conducibilità idraulica, esso è un parametro che si può ricavare attraverso test di pompaggio. Oltre al fatto che i test di pompaggio costano, non si possono costruire pozzi dappertutto. In un approccio deterministico si ovvia al problema della
2 Lo stesso discorso vale per il problema del trasporto. In tal caso anziché parlare di livello piezometrico si parla di concentrazione del soluto.
3 In alternativa (ma è uguale) si può parlare della trasmissività T.
FIG 8. Passi da seguire per l’analisi stocastica dei dati.
distribuzione interpolando i valori misurati in punti vicini. In un approccio stocastico, invece, si stimano i parametri che caratterizzano la struttura statistica di Y=ln K4 e si usano le tecniche del kriging per calcolare i momenti.
Si osserva, però, che la soluzione dell’equazione del flusso, ovvero il livello piezometrico, è facilmente misurabile. Tale testa non la si deve necessariamente misurare all’interno di pozzi ma si può ricorrere anche all’utilizzo di semplici piezometri. La precedente considerazione porta a formulare un problema inverso (anche detto di identificazione). In tal caso sono la conducibilità idraulica, il coefficiente di immagazzinamento e la ricarica ad essere determinati una volta trovati dei livelli piezometrici che rispettano l’equazione del flusso.
Esistono vari modi di affrontare la risoluzione de l problema:
• Se si utilizza un approccio di tipo deterministico, esistono due alternative [Neuman, 1973]:
1. Approccio diretto: La distribuzione dei livello nello spazio e nel tempo H(x,t),