EQUAZIONE DEL TRASPORTO DEL SOLUTO

Il processo attraverso il quale le sostanze si muovono attraverso un mezzo poroso è complicato. Può essere espresso in termini matematici anche se molto spesso non siamo in grado di ottenere i dati necessari per applicare le equazioni teoriche. Sono tre i processi che operano nel trasporto dei soluti:

1. la diffusione: E’ il processo attraverso il quale specie molecolari e ioniche disciolte in acqua si spostano verso zone a minore concentrazione.

2. la convezione: E’ il processo attraverso il quale l’acqua sotterrane in moto trasporta i soluti.

3. la dispersione: E’ il processo che provoca la diluizione del soluto.

2 Un acquitardo è uno strato di terreno di bassa permeabilità che può immagazzinare acqua e trasmetterla

Si fa sin da ora l’ipotesi di aver a che fare con un soluto conservativo e cioè che non dà luogo a reazioni fisiche con le specie con le quali viene a contatto. Riporteremo nelle parti successive l’espressione dell’equazione del trasporto nel caso generale. Per ora ci riferiremo a condizioni stazionarie nel caso 1D.

DIFFUSIONE

La diffusione di un soluto in acqua è descritta dalle leggi di Fick.

La prima legge di Fick descrive il flusso del soluto :

F = - D dC/dx

dove : F= flusso in massa del soluto per unità di tempo D³= coefficiente di diffusione ( area/tempo) C= concentrazione del soluto ( massa/tempo) dC/dx= gradiente di concentrazione

Il segno negativo indica che il movimento va dalle concentrazioni maggiori a quelle minori.

La seconda legge di Fick fornisce un’utile relazione per quei sistemi dove le concentrazioni variano col tempo:

∂C/∂t = D ∂²C/∂x²

In un mezzo poroso, la diffusione non può procedere così velocemente come nell’acqua perché gli ioni devono seguire dei percorsi più lunghi tra i grani. Inoltre, la diffusione può aver luogo solo in corrispondenza delle aperture dei pori perché i grani minerali bloccano molti dei percorsi. Per prendere in considerazione ciò, si introduce un fattore correttivo ω e si definisce diffusione effettiva il prodotto:

D* = ω D

ω si ricava sperimentalmente. Si è visito che ω è direttamente proporzionale alla porosità e inversamente proporzionale alla tortuosità. La tortuosità è la lunghezza effettiva della linea di flusso, che ha una forma curvilinea, diviso la lunghezza del segmento che collega l’inizio e la fine del percorso.

3 D assume valori da 1 x 10^-9 a 2 x 10^-9 m²/s

Il processo di diffusione è reso ancora più complicato dal fatto che gli ioni devono mantenere una condizione di neutralità elettrica mentre si diffondono. Ciò implica, ad esempio, che nel caso della dissoluzione del sale NaCl, lo ione Na⁺ non può diffondersi più velocemente di Cl^-, a meno della presenza di altre cariche negative.

E’ possibile avere un fenomeno di diffusione anche in assenza del movimento dell’acqua o in presenza di un flusso molto piccolo, dovuto ad esempio alla presenza di un terreno poco permeabile. In tal caso la diffusione è preponderante rispetto alla convezione.

CONVEZIONE

La velocità del flusso di acqua è data dalla legge di Darcy:

vx = K/ne dh/dx

dove : vx = velocità media in direzione x ne = porosità effettiva

dh/dx= gradiente idraulico

I contaminanti viaggiano con la stessa velocità del flusso.

DISPERSIONE MECCANICA E IDRODINAMICA

Mentre un fluido contaminato si muove attraverso il mezzo poroso, esso si mescolerà con acqua non contaminata: il risultato sarà una diluizione. Il mescolamento che avviene lungo la linea di flusso si definisce dispersione longitudinale, mentre quella che avviene normalmente si definisce dispersione laterale (o trasversale).

Sono tre le cause principali che danno luogo alla dispersione longitudinale:

1. Mentre il fluido si muove attraverso i pori, si muoverà più velocemente in corrispondenza del centro dei pori che lungo i bordi.

2. Una parte del fluido viaggerà seguendo dei percorsi più lunghi.

3. La porzione di fluido che si muove attraverso i pori più grossi sarà più veloce.

La dispersione laterale è causata dal fatto che mentre il fluido contenente l’inquinante fluisce attraverso il mezzo poroso, le linee di flusso tendono a dividersi.

E’ ovvio che la dispersione sarà più accentuata in acquiferi caratterizzati da una forte eterogeneità. In tal caso non si parla di dispersione a scala dei pori ma di macrodispersione. La prima può essere misurata in laboratorio ed è dell’ordine dei centimetri. La seconda è invece misurata sul campo ed è dell’ordine dei metri.

La dispersione meccanica è pari al prodotto tra la velocità media e un fattore chiamato dispersività dinamica (aL):

D.M = aL v^x

I processi di diffusione molecolare e dispersione non possono essere separati nel flusso di acqua sotterranea. Bisogna pertanto introdurre un coefficiente di dispersione idrodinamica D^L che include entrambi i fenomeni ed è definito come:

D^L = aL v^x +D*

L’equazione della dispersione idrodinamica nel caso 2D è dato da:

∂C/∂t = D^L ∂²C/∂x² + D^T ∂²C/∂y²- v^x ∂C/∂x

avendo indicato con C la concentrazione del soluto, D^L il coefficiente di dispersione longitudinale e DT il coefficiente di dispersione trasversale.

Tale equazione è basata sulle seguenti assunzioni:

1. Il centro di massa del soluto si muove con la stessa velocità di quella media del flusso.

FIG 3. Dispersione in funzione della dimensione e disposizione dei pori.

2. La dispersione idrodinamica causa lo spargimento del soluto avanti e indietro rispetto al centro di massa secondo uno schema che segue una distribuzione statistica di tipo gaussiana.

Il movimento dell’acqua in un acquifero può essere matematicamente descritto dalle equazioni sopra riportate. Si tratta di equazioni alle derivate parziali nelle quali la testa h la concentrazione C sono descritte in termini delle variabili x,y,z e t. Esse sono risolte attraverso modelli matematici che includono l’equazione di flusso, l’equazione del trasporto e le equazioni descriventi le condizioni iniziali e al contorno dell’acquifero. Se l’acquifero è omogeneo e isotropo, e le condizioni al contorno sono equazioni algebriche, il modello matematico può essere risolto con l’uso di soluzioni analitiche basate su calcoli integrali. Se però ci si discosta da questi casi semplici, bisogna ricorrere a soluzioni numeriche basate sul concetto che le equazioni alle differenze parziali possono essere sostituite da equazioni simili risolte utilizzando l’aritmetica. Ne consegue che le equazioni governanti le condizioni iniziali e al contorno sono sostituite da espressioni numeriche.

Saranno presentate nella Parte IV le espressioni generali da usarsi nel caso della risoluzione di un problema di flusso e di trasporto in un acquifero eterogeneo e anisotropo.