IL PROCESSO DI STIMA

1.4.1 IL PROCESSO DI STIMA

I più comuni prodotti della geostatistica sono le mappe ad isovalori⁵ che vengono costruite attraverso un’operazione di stima. Un processo di stima consiste nell’ attribuire un valore ad una variabile in un punto in cui essa non è nota mediante l’utilizzo dei punti circostanti. Il procedimento tramite il quale si ottengono le curve ad isovalori della grandezza in oggetto viene definito contouring⁶(interpolazione).

FIG 10. Il processo di stima permette di ottenere carte vettoriali a partire dai valori in alcuni punti.

Il processo di interpolazione è legato (ma va da esso distinto) all’operazione di adattamento di una funzione a una serie di punti. In particolare, una funzione interpolante passa attraverso tutti i punti originari mentre una funzione di adattamento non necessariamente.

Esistono due diversi tipi di interpolazione a seconda della disposizione dei punti noti.

5 Nel gergo cartografico sono anche chiamate carte vettoriali.

6 Le linee al contorno si ottengono interpolando sui lati della maglia i valori da rappresentare. Se ne deduce che

1. Se i dati sono disponibili su una griglia uniforme, il processo di stima interessa i punti non giacenti sulla griglia.

2. Se i dati sono disponibili in corrispondenza di un set di punti casualmente distribuiti, il processo di stima è utilizzato per ottenere i valori su una griglia rettangolare.

In ogni modo, l’operazione di stima consiste nel ricostruire in un punto qualsiasi di una mappa il valore del parametro ignoto con la maggiore precisione possibile⁷ . Per ottenere mappe ad isovalori attendibili è necessario disporre di un campione di dati numericamente rappresentativo e distribuirlo in maniera il più possibile uniforme nell’area di studio. Le misure non devono essere affette da errori e le modalità di campionamento (tempi, profondità di prelievo, ecc..) devono essere omogenee. Bisogna però osservare che nella realtà i campioni raramente si presentano disposti a maglia regolare.

Gli stimatori più usati sono quelli lineari, ovvero quelli in cui il valore da attribuire ad un punto del dominio è calcolato mediante una combinazione lineare dei valori noti situati nelle vicinanze. In particolare, gli interpolatori bi-lineari prendono una serie di punti (x,y,z) e generano valori stimati delle z per nuovi punti (x,y) attraverso una media pesata dei quattro punti della griglia più vicini. I coefficienti della combinazione

lineare sono chiamati ponderatori.

I due stimatori tradizionali più utilizzati sono:

1. Inverso delle distanze (I.D): I ponderatori da attribuire ai campioni hanno un peso proporzionale all’inverso delle distanze:

λ = k/d con k= 1 /

Σ

7 Condizione garantita rendendo minima la varianza di stima.

FIG 11. Carte delle isopieze.

2. Inverso dei quadrati delle distanze (I.Q.D): I ponderatori dal attribuire ai campioni hanno un peso proporzionale all’inverso del quadrato delle distanze.

λ = k/d ² con k= 1 /

Σ

)

Viene definito errore di stima la differenza tra il valore reale e il valore stimato in un punto.

La qualità della stima è legata all’ampiezza di tali errori. Questi possono essere rappresentati su un curva di tipo gaussiana con una media nulla e una varianza che misura la precisione di stima.

1.4.2 DETERMINAZIONE DELL’INTERPOLATORE KRIGING

La stima è condizionata dal tipo di interpolatore matematico impiegato. I metodi visti nel paragrafo precedente (I.D e I.Q.D) sono deterministici poiché si basano sull’ipotesi che i fenomeni naturali siano continui e regolari e presuppongono che l’andamento delle grandezze in esame possa essere accuratamente descritto da opportune combinazioni lineari di funzioni analitiche i cui coefficienti vengono determinati con il metodo dei minimi quadrati.

Nella geostatistica si utilizza comunemente il kriging (D.C Krige: ingegnere minerario del Sud Africa, 1964-66). I valori incogniti di una variabile regionale (VR) vengono calcolati mediante “stimatori” lineari, ovvero combinazioni dei valori noti della VR, i cui coefficienti (ponderatori) sono scelti in modo tale de rendere minima la varianza dell’errore di stima, ovvero dell’errore che si commette nello stimare il valore incognito della grandezza in un punto sulla base dei valori noti della stessa in altri punti. A differenza dei precedenti metodi di stima, gli stimatori, cioè le combinazioni lineari dei valori noti, hanno coefficienti che dipendono strettamente dalle caratteristiche strutturali delle VR in esame. In altre parole, con l’uso del kriging non si tiene conto solo della posizione reciproca tra i vari punti in cui è noto il valore della VR, ma si considera anche l’andamento generale della grandezza in esame.

Le applicazioni del kriging alla idrogeologia includono l’uso di questa per produrre mappe di contorno dei livelli di falda o dei parametri dell’acquifero in due dimensioni. Queste mappe possono essere usate per specificare i parametri input in modelli numerici basati sulle differenze finite o sugli elementi finiti.

Si considerino delle variabili idrologiche V osservate in N punti. Vogliamo stimare il valore della variabile in un punto qualsiasi x^o. Una maniera semplice di stimare il valore V(x^o) è

quella di esprimerla in termini di combinazione lineare pesata dei valori osservati:

Vo = V(xo) = Σi wiVi (1)

Ma usando i dati dei punti osservati ci si può aspettare che la variabile idrologica presenterà complesse e irregolari variazioni nelle spazio. E’ pertanto plausibile guardare la distribuzione della variabile come una realizzazione di un campo casuale. In quest’ottica probabilistica, che incorpora anche la persistenza spaziale della variabile, si impongano due requisiti per permettere di determinare i pesi wi.

1. Innanzitutto si richiede che lo stimatore sia imparziale: questo vuol dire che la media dell’errore di stima vale zero.

E[V(xo)-V(xo)]=0

E[V(x^o)] =E[V(x^o) ]= m = E [ Σi wⁱVⁱ ]= E [Vⁱ]· Σ i wⁱ = m Σ i wⁱ

Σ i wi=1 (2)

La somma dei pesi deve essere pari a 1. E’ da notare che per arrivare a questo risultato si è assunto che il valore atteso della variabile sia costante in tutto il campo, ma non noto.

2. Una seconda richiesta è che lo stimatore abbia minimo il valor atteso del quadrato dell’errore. Se il campo casuale è assunto stazionario, ovvero statisticamente omogeneo, il valore atteso del quadrato dell’errore può essere espresso in termini della funzione di covarianza come segue:

E[ ( Vo -Vo)²] = Ε[(Σ i wiVi – Vo)²]= σ² + Σ iΣj wi wi Rij - 2Σ i wi Rio

σ² = RVV(0) Rrs = RVV (xr-xs)= E[{V(x^r) -m}{V(x^s) -m}] (3)

Se vogliamo trovare i pesi wⁱ che minimizzano l’errore e che soddisfano il vincolo (1), otteniamo come condizione,usando la tecnica di Lagrange:

Σj wj Rij –µ= Rio ; i = 1,…., n (4)

dove µ è il moltiplicatore di Lagrange e Rio è il termine di covarianza.

Le equazioni (2) e (4) rappresentano un sistema di N+1 equazioni lineari determinanti gli N pesi wⁱ e µ. Poiché la funzione di covarianza è definita positiva, il sistema di equazioni avrà sempre una soluzione.

Una misura dell’errore del kriging può essere trovata valutando l’errore quadratico medio:

σ^2k = [ ( V^o -V^o)²] = σ² - Σi wⁱ R^io + µ (5)

Questa espressione mostra la riduzione della varianza, nella stima tramite kriging, come risultato della struttura di correlazione spaziale del campo casuale.

1.4.3 PROPRIETÀ DEL KRIGING

Il kriging è il migliore BLUE ( Best Linear Unbiased Estimate) ovvero il miglior stimatore lineare imparziale. Lo stimatore kriging è una funzione lineare dei dati e possiede le seguenti caratteristiche:

1. E’ un interpolatore esatto. Se proviamo a calcolare il valore in un punto misurato, il sistema ha una soluzione con un peso corrispondete al punto pari a 1 e σ²k =0. In altre parole, otteniamo il valore misurato in partenza.

2. Il valore atteso dell’errore quadratic è minimo.

3. I pesi wⁱ dipendono dalle posizioni x^o e xⁱ attraverso la funzione di covarianza ma non dipendono esplicitamente dai valori osservati nei punti (a meno che questi valori non siano usati per valutare la funzione di covarianza). Il kriging prende in considerazione le distanze relative tra le misure di due punti e la localizzazione dove la stima è effettuata.

4. Nella selezione dei pesi dello stimatore lineare, il kriging prende in considerazione il fatto che due misure localizzate vicine contribuiscono nella stessa maniera all’informazione. Pertanto è presa in considerazione l’area di influenza di ogni misura..

5. Lo stimatore kriging ha però la caratteristica di appiattimento della variabilità spaziale.

Altro metodo di interpolazione è dato dai poligoni di Thiessen. Questo viene utilizzato soprattutto nel campo dell’idrologia per la stima della precipitazione media areale a partire da misure puntuali. Un grande vantaggio del kriging è che è molto più flessibile rispetto agli altri metodi di interpolazione. I pesi non sono selezionati sulla base di una legge arbitraria che può essere applicata solo ad alcuni casi ma non in altri, ma dipende da come la funzione varia nello spazio. Il kriging,in altre parole, tiene conto del variogramma della grandezza in esame.

Questo, però, implica che per usarlo come strumento di interpolazione bisogna effettuare un’attenta analisi spaziale dei dati a disposizione. Un altro vantaggio del kriging è che ha gli strumenti per valutare la grandezza dell’errore di stima. L’errore quadratico medio è una misura utile e razionale per stabilire l’attendibilità della soluzione.

Una limitazione dei metodi di stima lineari è che implicitamente assumono che l’informazione a disposizione, sulla struttura della funzione spaziale possa essere descritta adeguatamente attraverso un variogramma. Anche se questa assunzione molto spesso è valida, bisogna tener in conto che diverse tipi di funzioni possono avere lo stesso variogramma.

Questo intuitivamente vuol dire che se si specifica solo il variogramma, specifichiamo una famiglia di funzioni che contengono diverse soluzioni.

La fortuna dei metodi geostatistici risiede nel fatto che non sono strumenti a “scatola nera”, ma permettono di utilizzare contemporaneamente diverse tipologie di informazioni:

statistiche, geologiche, storiche ecc..