La funzione di somiglianza di Stalnaker

La teoria di Stalnaker, enunciata solo in forma intuitiva in [150] e formalizzata in un articolo scritto a quattro mani con Rich Thomason [152], `e basata su una funzione di selezione su mondi possibili.

Come rilevato in precedenza, Stalnaker parte dall’interpretazione che Ramsey d`a del condizionale e cerca un “analogo ontologico” del corpus di credenze ipotetiche di cui quest’ultimo parlava. Tale analogo ontologico sono, appunto, i mondi possibili.

Cos`ı Stalnaker fornisce una semantica basata sui mondi possibili compren- dente anche una funzione di selezione che discrimina tra i mondi possibili; ci`o permette di effettuare la valutazione dell’enunciato controfattuale solo su alcuni di questi o, pi`u precisamente, come vedremo meglio in seguito, su uno di questi in particolare.

Stalnaker afferma dunque che un controfattuale `e vero in un mondo se il conseguente `e vero in un mondo possibile individuato da una funzione di selezione, la quale dovrebbe scegliere il mondo possibile in cui l’antecedente `e vero e che differisce il meno possibile dal mondo di partenza.

La funzione di selezione dell’approccio di Stalnaker prende come argo- menti una proposizione e un mondo possibile e restituisce un altro mondo possibile. La funzione seleziona, per ogni antecedente, un mondo possibile nel quale tale antecedente `e vero. L’intero controfattuale `e vero nel mondo di partenza se il suo conseguente `e vero nel mondo individuato dalla funzione.

La selezione `e fondata su un ordinamento dei mondi possibili secondo la somiglianza al mondo di partenza.

In [150] troviamo una spiegazione intuitiva del modo in cui Stalnaker ricava il valore di verit`a dei controfattuali:

In addition to a model structure, our semantical apparatus in- cludes a selection function, f , which takes a proposition and a

possible world as its value. The s-function selects, for each ante- cedent A, a particular world in which A is true. [. . . ] I shall use the following terminology for talking about the arguments and values of s-functions: where f (A, α) = β, A is the antecedent, α is the base world, and β is the selected world.

1. For all antecedents A and base worlds α, A must be true in f (A, α).

2. For all antecedents A and base worlds α, f (A, α) = λ only if there is no world possible with respect to α in which A is true.

[. . . ] The informal truth conditions that were suggested above required that the world selected differ minimally from the actual world2_.

[A theory of conditionals, pp.34-35]

λ nella citazione rappresenta il mondo assurdo. In sostanza, la funzione f prende il mondo di partenza α e l’antecedente del controfattuale, A e restituisce un mondo possibile, β, nel quale valutare il conseguente; nel caso in cui la funzione non riesca a individuare nessun mondo possibile, allora render`a λ, il mondo assurdo.

Ma quando un controfattuale del tipo A > B (Stalnaker usa il simbolo > per indicare il connettivo controfattuale) pu`o essere valutato come vero?

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Oltre alla struttura modello, il nostro apparato semantico comprende anche una fun- zione di selezione, f , che prende come suoi valori una proposizione e un mondo possibile. La s-funzione seleziona, per ogni antecedente A, un mondo particolare in cui A `e vero. [. . . ] User`o la seguente terminologia per parlare di argomenti e valori delle s-funzioni: dove f (A, α) = β, A `e l’antecedente, α `e il mondo base e β `e il mondo selezionato.

1. Per tutti gli antecedenti A e mondi base α, A deve essere vero in f (A, α).

2. Per tutti gli antecedenti A e mondi base α, f (A, α) = λ solo se non c’`e nessun mondo possibile rispetto ad α in cui A `e vero.

[. . . ] Le condizioni di verit`a informali che sono state suggerite sopra richiedevano che il mondo selezionato differisca minimamente dal mondo attuale. [traduzione mia]

A > B is true in α if B is true in f (A, α); A > B is false in α if B is false in f (A, α)3_.

[A theory of conditionals, p.35]

Quindi il valore di verit`a assunto dall’enunciato conseguente nel mondo se- lezionato dalla funzione determina il valore di verit`a che l’intero enunciato controfattuale assume nel mondo di partenza.

Se in [150] sono contenute spiegazioni intuitive sui meccanismi di valuta- zione dei condizionali, [152] elenca una serie di definizioni che caratterizzano la semantica. Vediamone solo alcune e cominciamo con la definizione di struttura modello, gi`a utilizzata senza esplicitarla in [150]:

A CQ model structure (CQms) is a structure M = hK, R, λ, D, D0_{i where λ ∈ K, K}0 _{= K − {λ} is a non-empty}

set, R is a binary reflexive relation on K0_{, D is a function taking}

members α of D0 _{into possibly empty sets D}

α, and D0 is a set

disjoint from Sα∈K0Dα4

[A semantic analysis of conditional logic, p.25]

Una struttura `e quindi composta da un insieme di mondi, K, da una relazione di accessibilit`a, R, dal mondo assurdo, λ, da una funzione, D e da un insieme, D0

.

Una volta definita la struttura modello, Thomason e Stalnaker, passando attraverso le nozioni di sequenza e valutazione, definiscono la s-funzione:

A sequence σ on a morphology M and QMms hK, R, λ, D, D0_i

is a function taking members of VM (individual variables) x into

members σ(x) of D.

3

A > B `e vero in α se B `e vero in f (A, α);

A > B `e falso in α se B `e falso in f (A, α). [traduzione mia]

4

Una CQ struttura modello (CQms) `e una struttura M = hK, R, λ, D, D0_{i dove λ ∈}

K, K0 _{= K − {λ} `e un insieme non vuoto, R `e una relazione riflessiva binaria su K}0_{, D}

`e una funzione che applica elementi α di K0 _{in insiemi eventualmente vuoti D}

α, e D0 un

[. . . ] A valuation of a morphology M on a QMms hK, R, λ, D, D0

i is a function v assigning, for each member α of K0

, (i) a value vα(P ) in {T, F } to each 0-ary predicate letter P of M; (ii) a

subset vα(Q) of the cartesian product Dnto each n-ary predicate

letter Q of M; (iii) to each individual constant a of M a member vα(a) of D.

[. . . ] An s-function on a QMms M = hK, R, λ, D, D0_{i and mor-}

phology M is a function f which assigns to each wff A, each α ∈ K0_{, and each sequence σ on M and M a member f (A, α, σ)}

of K0 _{meeting the following condition: for all A, α, and σ, if}

f (A, α, σ) 6= λ, then αRf (A, α, σ)5_.

[A semantic analysis of conditional logic, pp.26–27]

Quindi la funzione di selezione parte da un mondo, α, un enunciato (l’an- tecedente A) e una sequenza, σ, che, come abbiamo visto, associa variabili individuali a elementi di D e restituisce un altro mondo, connesso ad α attra- verso la relazione di accessibilit`a R. Questo mondo `e, tra i mondi accessibili da α in cui sia vero l’antecedente A, quello (l’unico) pi`u simile ad α.

Una teoria fondata su presupposti molto simili `e quella avanzata da David K. Lewis, che sar`a presentata nel prossimo paragrafo.

5

Una sequenza σ su una morfologia M e una QMms hK, R, λ, D, D0_{i `e una funzione}

che applica elementi di VM (variabili individuali) x in elementi σ(x) di D.

[. . . ] Una valutazione di una morfologia M su una QMms hK, R, λ, D, D0_{i `e una funzio-}

ne v che assegna, per ciascun elemento α di K0_{, (i) un valore v}

α(P ) in {V, F } a ciascuna

lettera per predicati 0-adici P di M; (ii) un sottoinsieme vα(Q) del prodotto cartesiano

Dn _{a ciascuna lettera predicativa n-adica Q di M; (iii) a ciascuna costante individuale a}

di M un elemento vα(a) di D.

[. . . ] Una s-funzione su una QMms M = hK, R, λ, D, D0_{i e una morfologia M `e una}

funzione f che assegna a ciascuna fbf A, ciascun α ∈ K0_{, e ciascuna sequenza σ su M e M}

un elemento f (A, α, σ) di K0_{, che soddisfa la condizione seguente: per ogni A, α e σ, se}