ragionamento controfattuale
Analogamente a quanto fatto prima per le definizioni generali, poniamo che La sia il linguaggio della teoria ca che contiene le credenze dell’agente a,
(ossia, contiene i termini del linguaggio e gli assiomi, cio`e i fatti e le leggi che l’agente considera valere sempre). LF ⊆ La `e il linguaggio di cF, ossia
del contesto che l’agente utilizza per ragionare su un problema specifico ed esprime i fatti che l’agente ritiene essere veri nella situazione sulla quale sta ragionando; LCF ⊆ La`e il linguaggio di cCF, ossia del contesto ipotetico che
l’agente costruisce per ragionare a partire dall’ipotesi controfattuale. Per semplicit`a, assumiamo che La, LF e LCF siano tutti proposizionali, con l’u-
nica aggiunta, per Lae per LF, di tre operatori modali: ⊗(A, C), che traduce
il legame controfattuale tra A e C – “Se fosse successo A sarebbe successo C”, (A, C), che traduce la possibilit`a controfattuale di C dato A – “Se fosse successo A avrebbe potuto succedere C” e (A, C), che traduce il legame semifattuale tra A e C – “Se anche fosse successo A comunque non sarebbe successo C”, quindi LCF ⊂ LF ⊆ La.
Definiamo Ma come la classe di tutti i possibili modelli (interpretazio-
ni) per La. Gli elementi sono tutti gli ma ∈ Ma sono detti anche modelli
locali (per La). Allo stesso modo, MF contiene tutti gli mF ∈ MF, pos-
sibili interpretazioni di LF e MCF contiene tutti gli mCF ∈ MCF, possibili
Ora, il processo che si sta tentando di caratterizzare `e quello di un agente che, a partire da due fatti che conosce (o crede di conoscere) sulla realt`a relativa a un dato problema, ipotizza che per uno di questi fatti (la premessa) si inverta il valore di verit`a, ragiona a partire da questa premessa e decide se, controfattualmente, la conclusione continua a mantenere il valore di verit`a originale anche sotto la nuova ipotesi o se lo cambia anch’essa.
Per comodit`a, assumiamo la prospettiva in cui l’agente parte da fatti che non si sono verificati (e quindi ¬A e ¬C) e ipotizza che il primo, A, si verifichi. In altri termini, siamo nella situazione in cui l’agente si chiede: “Se fosse successo A sarebbe successo C?”.
Questo processo, rappresentato nella figura 4.5 `e reso formalmente possi- bile dalla relazione di controfattualit`a che, attraverso l’imposizione di alcuni vincoli che essi devono soddisfare, definisce, all’interno di MF, il contesto
fattuale (cF) e all’interno di MCF il contesto controfattuale (cCF)6, in altri
termini, la relazione di controfattualit`a fissa le condizioni che due contesti devono soddisfare perch´e possano essere considerati uno controfattuale del- l’altro. A questo punto `e sufficiente verificare qual `e il valore di verit`a del conseguente in tutti i modelli locali di cCF.
Diamo ora le principali definizioni della semantica a modelli locali relative al ragionamento controfattuale.
Definizione 4.3.1 (Coppia di controfattualit`a) Una coppia di contro- fattualit`a s(A,C) rispetto a due fatti A e C `e una coppia (ossia una sequenza
con due elementi) di compatibilit`a
s(A,C)= hcF, cCFi
dove cF e cCF sono sottoinsiemi rispettivamente di MF e di MCF che
soddisfano il seguente vincolo:
Se cF |= ¬A ∧ ¬C, allora cCF |= A
Definizione 4.3.2 (Relazione di controfattualit`a) Una relazione di controfattualit`a <(A,C) rispetto a due fatti A e C `e un insieme {s(A,C)} di
6
Da non dimenticare che la definizione di fattualit`a e controfattualit`a `e, nel nostro sistema, completamente epistemica.
c
CFc
FR
M
FM
CF (A,C)Ma
Figura 4.5: Coppia di controfattualit`a
coppie di controfattualit`a per A e C, come mostrato nella figura 4.6. E` quindi una relazione del tipo:
<(A,C) ⊆ 2MF × 2MCF
Anche in questo caso, quindi, <(A,C) `e sottoinsieme di tutte le possibili
combinazioni di modelli locali.
Definizione 4.3.3 (Modello controfattuale) Un modello controfattuale `e una relazione di controfattualit`a <(A,C) tale che:
• <(A,C)6= ∅
• h∅, ∅, . . . , ∅, . . .i /∈ <(A,C)
Definizione 4.3.4 (Contesto fattuale) Data una relazione di controfat- tualit`a <(A,C), definiamo contesto fattuale ogni cF, cio`e l’insieme dei model-
li locali mF ∈ cF permessi da <(A,C) all’interno di ogni singola coppia di
c
F5c
CF5c
F1c
F2c
F3c
F4c
CF1c
CF2c
CF3c
CF4M
aFigura 4.6: Relazione di controfattualit`a
Definizione 4.3.5 (Contesto controfattuale) Data una relazione di con- trofattualit`a <(A,C), definiamo contesto controfattuale ogni cCF, cio`e l’insieme
dei modelli locali mCF ∈ cCF permessi da <(A,C) all’interno di ogni singola
coppia di controfattualit`a.
Nel seguito, qualora questo non dia adito ad ambiguit`a, useremo le notazioni cF e cCF indifferentemente per indicare i contesti fattuale e controfattuale
oppure i modelli locali facenti parte dei rispettivi contesti.
La definizione forse pi`u interessante che vorremmo fornire `e quella di con- seguenza controfattuale. Questa definizione muove dall’assunto che esistano processi di ragionamento nei quali premesse e conclusione appartengono a contesti diversi. Nel caso dei controfattuali questa peculiarit`a si traduce nel fatto che, per poter inferire qualcosa a livello ipotetico (nel contesto con- trofattuale) `e necessario partire da fatti contenuti nel contesto fattuale. Il risultato di un ragionamento controfattuale (cio`e l’assegnazione di un valore di verit`a a un enunciato controfattuale nella teoria specifica nella quale si sta ragionando) `e ottenuto da un’operazione su teorie e precisamente dal-
la selezione di alcuni modelli locali all’interno del modello della teoria che soddisfano determinati vincoli.
Una volta fornita la definizione di conseguenza controfattuale, non `e diffi- cile ottenere le nozioni correlate di possibilit`a controfattuale (ossia, l’analogo di ci`o che Lewis definisce might counterfactuals, controfattuali aventi la for- ma: “Se fosse successo A, avrebbe potuto succedere C”) e di conseguenza semifattuale (“Se anche fosse successo A, non sarebbe comunque successo C”).
Definizione 4.3.6 (Conseguenza controfattuale) C segue controfat- tualmente da A in una particolare situazione, descritta da un contesto fattuale cF, ovvero
cF |= ⊗(A, C)
sse per ogni cCF tale che cF e cCF sono una coppia di controfattualit`a per
(A, C), ∀m ∈ cCF, m |= C
Definizione 4.3.7 (Possibilit`a controfattuale) C potrebbe seguire con- trofattualmente da A in una particolare situazione, descritta da un contesto fattuale cF, ovvero
cF |= (A, C)
sse esiste un cCF tale che cF e cCF sono una coppia di controfattualit`a per
(A, C), ∀m ∈ cCF, m |= C
Definizione 4.3.8 (Conseguenza semifattuale) C segue semifattual- mente da A in una particolare situazione, descritta da un contesto fattuale cF, ovvero
cF |= (A, C)
sse per ogni cCF tale che cF e cCF sono una coppia di controfattualit`a per
(A, C), ∀m ∈ cCF, m |= ¬C
Definizione 4.3.9 (Conseguenza controfattuale analitica) C segue controfattualmente da A analiticamente, ovvero
ca |= ⊗(A, C)
sse per ogni coppia di controfattualit`a per (A, C), cF |= ⊗(A, C)
Da notare che, secondo queste definizioni, un enunciato controfattuale non ve- ro non equivale necessariamente a un enunciato controfattuale falso. Infatti, tale enunciato potrebbe:
1. semplicemente non essere controfattuale, nel senso di non rispettare i vincoli imposti ai due contesti, fattuale e controfattuale;
2. essere indeterminato (nel caso in cui il conseguente risultasse vero in alcuni modelli locali del contesto controfattuale e falso in altri); 3. essere falso e in tal caso sarebbe vero l’enunciato semifattuale avente
lo stesso antecedente.
Possono inoltre essere enunciate delle relazioni che legano i tre operatori modali:
• ⊗(A, C) → (A, C): “Se fosse successo A sarebbe successo C” implica “Se fosse successo A avrebbe potuto succedere C”. Ovvero, se tutti i modelli locali in cCF soddisfano C, allora almeno un modello locale in
cCF soddisfa C;
• ⊗(A, C) → ¬ (A, C): “Se fosse successo A sarebbe successo C” impli- ca che non `e vero che “Se anche fosse successo A non sarebbe comunque successo C”. Ovvero se tutti i modelli locali in cCF soddisfano C, allora
non `e vero che nemmeno un modello locale in cCF soddisfa C;
• ¬ ⊗ (A, C) → (A, C) ∨ (A, C): “Non `e vero che se fosse successo A sarebbe successo C” implica che “Se fosse successo A avrebbe potuto succedere C” oppure che “Se anche fosse successo A non sarebbe co- munque successo C”. Ovvero, se non `e vero che tutti i modelli locali in cCF soddisfano C, allora o almeno uno di essi soddisfa C, oppure
• ⊗(A, C) ↔ (A, ¬C): “Se fosse successo A sarebbe successo C” `e equivalente a “Se anche fosse successo A non sarebbe comunque suc- cesso ¬C”. Ovvero, se tutti i modelli locali in cCF soddisfano C, allora
nessun modello locale in cCF soddisfa ¬C e viceversa;
• ¬ (A, C) ↔ (A, C): “Non `e vero che se fosse successo A avrebbe potuto succedere C” `e equivalente a “Se anche fosse successo A non sarebbe comunque successo C”. Ovvero, se non `e vero che almeno un modello locale in cCF soddisfa C, allora nessun modello locale in cCF
soddisfa C e viceversa;
• ¬ (A, C) ↔ (A, C): “Non `e vero che se anche successo A sareb- be successo C” `e equivalente a “Se fosse successo A avrebbe potuto succedere C”. Ovvero, se non `e vero che nessun modello locale in cCF soddisfa C, allora almeno un modello locale in cCF soddisfa C e
viceversa.
Per quanto riguarda invece le nozioni di soddisfacibilit`a, validit`a e conse- guenza logica, queste restano le stesse enunciate in [66] per il caso generico, con l’unico accorgimento di sostituire la relazione di controfattualit`a <(A,C)
alla generica relazione di compatibilit`a C.