fattuali:
un esempio analizzato con la
SML
Ci serviremo ora di un esempio classico, proposto da Kit Fine, quello di “Ni- xon e l’olocausto”, per mostrare come, nella nostra trattazione, sia semplice rappresentare il fatto che lo stesso enunciato controfattuale, a seconda di qua- li elementi l’agente decida di importare nel contesto di ragionamento, possa risultare vero, falso o indecidibile. L’enunciato dell’esempio recita cos`ı: “Se Nixon avesse premuto il bottone, ci sarebbe stato l’olocausto nucleare”, dove il bottone in questione, collocato nella famigerata stanza dei bottoni della Casa Bianca, sarebbe collegato a un sistema di lancio di testate nucleari.
Esempio 4.4.1 Se Nixon avesse premuto il bottone, ci sarebbe stato l’olocausto?
In questo esempio molto semplice, l’agente a sa che Nixon non ha premuto il bottone e che non c’`e stato l’olocausto e si domanda se ci sarebbe stato l’olocausto se solo Nixon avesse premuto il bottone e tutta la sua teoria sul problema ammonta a un solo assioma che dice cha la pressione del bottone causa l’olocausto.
La teoria contiene dunque un solo assioma: B → O e tutti i suoi possibili modelli locali sono dunque:
• ma1 = B ∧ O
• ma2 = ¬B ∧ O
• ma3 = ¬B ∧ ¬O
Tra questi modelli, la relazione di controfattualit`a individua quelli che faran- no parte del contesto fattuale cF come tutti i modelli in cui non sono vere n´e
B n´e O. In questo caso ne risulter`a un solo modello: • mF1 = ¬B ∧ ¬O
All’interno di MCF andranno ora individuati i modelli locali che fanno parte
del contesto controfattuale cCF e saranno precisamente i modelli in cui `e vera
B, e quindi,
• mCF1 = B ∧ O
Poich´e in questo unico modello O `e vera, il controfattuale risulta vero. Esempio 4.4.2 Sappiamo che un guasto al circuito elettrico ha il potere di impedire l’olocausto, ma non facciamo alcuna ipotesi sul guasto. Se Nixon avesse premuto il bottone, ci sarebbe stato l’olocausto?
In questo caso l’agente sa che la pressione di un bottone, unita al buon funzionamento del circuito di trasmissione (cio`e l’assenza di guasti) porta all’olocausto, sa che non ci sono stati n´e pressione del bottone n´e olocausto,
si chiede se, alla pressione del bottone da parte di Nixon sarebbe seguito l’olocausto, senza fare alcuna ipotesi aggiuntiva su eventuali guasti.
La teoria contiene l’assioma B ∧ ¬G → O. I suoi possibili modelli sono dunque i seguenti: • ma1 = B ∧ G ∧ O • ma2 = B ∧ G ∧ ¬O • ma3 = B ∧ ¬G ∧ O • ma4 = ¬B ∧ G ∧ O • ma5 = ¬B ∧ G ∧ ¬O • ma6 = ¬B ∧ ¬G ∧ O • ma7 = ¬B ∧ ¬G ∧ ¬O
Di questi, i modelli che fanno parte del contesto fattuale sono solo quelli dove B e O sono entrambe false (nessuna informazione su G). E dunque:
• mF1 = ¬B ∧ G ∧ ¬O
• mF2 = ¬B ∧ ¬G ∧ ¬O
E quelli che fanno parte del contesto controfattuale solo quelli in cui B `e vera, ma in cui nessuna ipotesi viene fatta su G:
• mCF1 = B ∧ G ∧ O
• mCF2 = B ∧ G ∧ ¬O
• mCF3 = B ∧ ¬G ∧ O
Poich´e in due dei tre modelli locali O `e vera, ma nel terzo modello `e falsa, il valore di verit`a del controfattuale rester`a indeterminato in questo caso, sar`a tuttavia possibile affermare la possibilit`a controfattuale, ossia “Se Nixon avesse premuto il bottone, avrebbe potuto esserci l’olocausto”.
Esempio 4.4.3 Sappiamo che un guasto impedisce l’olocausto. Se Nixon avesse premuto il bottone e si fosse verificato un guasto nel circuito, ci sarebbe stato l’olocausto?
Questo caso `e molto simile al precedente: l’agente sa che un guasto nel circuito elettrico pu`o impedire l’olocausto, non sa se nella realt`a questo guasto si sia verificato o meno, ma sa che Nixon non ha premuto il bottone e non c’`e stato l’olocausto. Si chiede cosa sarebbe successo se Nixon avesse premuto il bottone e non si fosse verificato nessun guasto. La domanda `e: “Ci sarebbe stato l’olocausto?”
La teoria contiene (come nell’esempio precedente) l’assioma B ∧¬G → O. I suoi possibili modelli sono dunque ancora:
• ma1 = B ∧ G ∧ O • ma2 = B ∧ G ∧ ¬O • ma3 = B ∧ ¬G ∧ O • ma4 = ¬B ∧ G ∧ O • ma5 = ¬B ∧ G ∧ ¬O • ma6 = ¬B ∧ ¬G ∧ O • ma7 = ¬B ∧ ¬G ∧ ¬O
Ugualmente, i modelli che fanno parte del contesto fattuale sono solo quelli dove B e O sono entrambe false (nessuna informazione su G). E dunque:
• mF1 = ¬B ∧ G ∧ ¬O
• mF2 = ¬B ∧ ¬G ∧ ¬O
Questa volta, per`o, le assunzioni del contesto controfattuale sono cambiate: si prendono quindi i modelli in cui B `e vera, ma G `e falsa:
Poich´e l’unico modello del contesto controfattuale catturato da questa specifica relazione di controfattualit`a verifica O, allora in questo caso il controfattuale risulta vero.
Esempio 4.4.4 Sappiamo che, qualunque cosa decida di fare o non fare Nixon, un guasto impedisce l’olocausto. Se Nixon avesse premuto il bottone e si fosse verificato un guasto nel circuito, ci sarebbe stato l’olocausto?
L’unico assioma della teoria stavolta non prende in considerazione la pres- sione del bottone, ma solo il fatto che un guasto impedisce in ogni caso l’olocausto, l’assioma `e: G → ¬O. I modelli soddisfacibili di Masono quindi:
• ma1 = B ∧ G ∧ ¬O • ma2 = B ∧ ¬G ∧ O • ma3 = B ∧ ¬G ∧ ¬O • ma4 = ¬B ∧ G ∧ ¬O • ma5 = ¬B ∧ ¬G ∧ O • ma6 = ¬B ∧ ¬G ∧ ¬O
I modelli locali del contesto fattuale hanno il vincolo di soddisfare ¬B e ¬O, sono quindi:
• mF1 = ¬B ∧ G ∧ ¬O
• mF2 = ¬B ∧ ¬G ∧ ¬O
Mentre i modelli del contesto controfattuale devono soddisfare B ∧ G, l’unico modello “superstite” `e dunque:
• mCF1 = B ∧ G ∧ ¬O
E, dal momento che in tale modello (quindi in tutti i modelli del contesto controfattuale) `e soddisfatta ¬O, allora il controfattuale sar`a falso e sar`a invece vero il semifattuale: “Se anche Nixon avesse premuto il bottone, non ci sarebbe comunque stato l’olocausto”.
Infine diamo un suggerimento ancora molto preliminare di come il nostro modello potrebbe affrontare il problema dell’iterazione.
Esempio 4.4.5 Se fosse vero che, se Nixon avesse premuto il bottone ci sarebbe stato l’olocausto, allora sarebbe vero che non ci sono stati guasti?
Possiamo partire da una teoria che contenga solamente l’assioma G → ¬O, cio`e che quando ci sono guasti non si verifica l’olocausto, e costruire l’insieme dei modelli soddisfacibili:
• ma1 = B ∧ G ∧ ¬O • ma2 = B ∧ ¬G ∧ O • ma3 = B ∧ ¬G ∧ ¬O • ma4 = ¬B ∧ G ∧ ¬O • ma5 = ¬B ∧ ¬G ∧ O • ma6 = ¬B ∧ ¬G ∧ ¬O
Di questi, i modelli fattuali sono quelli in cui valgono ¬B e ¬O, ossia i modelli nei quali Nixon non preme il bottone e non si ha l’olocausto.
Tali modelli sono: • mF1 = ¬B ∧ G ∧ ¬O
• mF2 = ¬B ∧ ¬G ∧ ¬O
Il primo passo `e quello di costruire un contesto controfattuale in cui sia vero l’antecedente del controfattuale globale, ossia in cui sia vero il controfattuale “Se Nixon avesse premuto il bottone, ci sarebbe stato l’olocausto nucleare” e nel quale si verifichi se sia vero o meno che in quel caso ci sarebbe stato un guasto. Stipulare questo enunciato controfattuale come vero nel contesto controfattuale ha una serie di conseguenze. La prima `e quella che, anche in questo primo contesto controfattuale, sia falso che Nixon abbia premuto il bottone e che ci sia stato l’olocausto nucleare. Quindi, almeno in partenza, i modelli locali di questo contesto sono gli stessi del contesto fattuale:
• mCF2 = ¬B ∧ ¬G ∧ ¬O
Ma a questo punto, per poter verificare del guasto, `e necessario costruire un secondo contesto controfattuale, chiamiamolo cCF0, nel quale postulare che
Nixon abbia premuto il bottone. I modelli di cCF0 sono dunque:
• mCF0 1 = B ∧ G ∧ ¬O • mCF0 2 = B ∧ ¬G ∧ O • mCF0 3 = B ∧ ¬G ∧ ¬O
Tuttavia, poich´e la nostra relazione di controfattualit`a ci impone che il con- trofattuale “Se Nixon avesse premuto il bottone, ci sarebbe stato l’olocausto nucleare” sia vero nel contesto cCF, dobbiamo togliere da cCF0 i modelli
che non siano compatibili con la verit`a di tale enunciato in cCF. Questa
operazione individua il solo modello: • mCF0
2 = B ∧ ¬G ∧ O
nel quale G `e falsa e il controfattuale “globale” `e quindi verificato.