Il criterio di Kelly

Per ultimo, ma non per questo meno importante, si introduce il criterio di Kelly il quale

consente di stabilire l’estensione della posizione sempre attraverso un’equazione matemati-

ca in cui però non sono presenti parametri discrezionali. L’obiettivo della formula di Kelly

è quello di calcolare la quantità ottimale di una serie di investimenti per massimizzare, nel

lungo periodo, i profitti e, parallelamente, minimizzandone i rischi. Tale formula risulta

essere molto famosa nell’ ambiente del blackjack e più in generale nei giochi d’azzardo. La

forma generale è la seguente:

Figura 1.29: La formula di Kelly.

Dove :

• Investimento è la frazione del capitale che dovremo scommettere

1.3 Le tecniche di Money Management

29

• p è la probabilità di successo

• q è la probabilità di insuccesso

Come di consuetudine verrà riportato un esempio a titolo semplificativo della tecnica in

questione. Partendo da un capitale die5.000, disponiamo di un’opzione che restituisce un

payout del 60%. Dati gli storici dell’opzione presa in analisi siamo consapevoli di poter

ottenere una probabilità di successo pari al 70%; sostituendo tali valori nella formala di

Kelly, sopra citata otterremo:

Figura 1.30: Esempio: la formula di Kelly.

Nel criterio introdotto da Kelly vi sono due parametri che spiccano e che sono considerati

molto importanti ma, altrettanto difficili da comprendere. Stiamo parlando in primis della

probabilità di successo (e per rigor di logica anche di quella di insuccesso) poiché diviene

facile comprendere come questa sia il rapporto tra i casi di vincita e di quelli di perdita.

Per trovare tale rapporto necessitiamo della serie storica, con numerose osservazioni, delle

quali, però, non sempre disponiamo.

Per di più sappiamo che il rapporto di vincite su perdite può essere di due tipi:

• fisso, ovvero dopo aver fatto il calcolo utilizzando la formula per X osservazioni il

risultato è mantenuto costante.

• dinamico, ovvero dopo fatto il calcolo utilizzando la formula per la prima osservazione

ciò viene ripetuto per anche nelle seguenti osservazioni. Di fatto perciò il rapporto

viene aggiornato di volta in volta.

Nel caso in cui non avessimo a disposizione la nostra serie storica, il suggerimento che

viene dato è quello di utilizzare la probabilità di successo dinamica, cosicché si possa andare

ad aggiustare l’obiettivo in maniera continuativa. Il secondo parametro è legato al Payout

dell’opzione poiché è normale che ci si trovi di fronte a strumenti con rendimenti diversi

tra di loro, ma ciò che bisogna capire è quali rendimenti dobbiamo evitare.

Nella pratica è buona regola fissare, solo mentalmente, un payout minimo e successiva-

mente impostare tutti i calcoli con esso. Da evitare sono certamente quei rendimenti che

risultano inferiori al rendimento prestabilito mentre ben accetti saranno i rendimenti con

rendimenti superiori, in quanto rappresenteranno il profitto. Da non sottovalutare di certo

è che dalla formula di Kelly potrebbe risultare un valore negativo, cosa che nella realtà

però non trova una definizione.

A tal proposito si è ben pensato di escogitare una soluzione: si fissa un investimento, il

più basso possibile, il minimo utilizzato per i risultati con segno negativo. A dimostrazione

di quanto appena detto, come d’altronde era stato fatto per le altre tecniche, presentiamo

l’esempio con le 20 osservazioni così da ottenere successivamente un confronto tra strategie:

Figura 1.31: La Formula di Kelly:simulazione su 20 opzioni. (Fonte: Finecobank)

Ciò che ne risulta è un totale die982,94 traducibile in una perdita pari a e17,06

Figura 1.32: La Formula di Kelly: Kelly Line. (Fonte: Rielaborazione personale)

A questo punto possiamo fare perciò una prima distinzione, tenendo a mente i risultati

ottenuti anche nelle tecniche precedenti. Se avessimo una percentuale di vittoria pari al 60%

avremmo che, con la formula di Kelly e la Fixed Fractional, si otterrebbe un rendimento

negativo mentre con la Fixed Ratio e la formula di Larry un guadagno.

Da notare come nella figura 1.31, precisamente alla terza operazione (la casella con

contorno rosso) si sia voluto evidenziare il risultato negativo dell’investimento.

Come

anticipato, si è proceduto a fissare un investimento minimo (in questo caso 0,25%) ovvero

il limite al di sotto del quale non si dovrebbe scendere con un investimento.

1.3 Le tecniche di Money Management

31

Esattamente come nei paragrafi precedenti si è aumentata la probabilità di vincita al

70%, mostrando cambiamenti rilevanti.

Figura 1.33: La Formula di Kelly: Kelly Line con probabilità di successo al 70%. (Fonte:

rielaborazione personale)

Avendo già anticipato come l’andamento della curva di Kelly e quello della Fixed Frac-

tional viaggino parallelamente, è opportuno mostrare un confronto fra di esse. Uno dei van-

taggi che si può notare di primo acchito, è dato dal ripetersi di eventi “successo” portando

il nostro capitale a rapidi aumenti, con l’ottimizzazione massima dei risultati.

Uno degli svantaggi, invece, è sicuramente quello che già fu enunciato dallo stesso Larry

Williams: la Kelly Line si presenta con un aspetto molto irregolare, con cambiamenti

repentini e grandi salti; ciò può essere un vero problema per il trader, il quale si sente

psicologicamente messo a dura prova.

Per di più Kelly con la sua formula alla stato primordiale, non prendeva in considera-

zione alcun aspetto quantitativo: di fatto tra vincite e perdite non vi è alcun parametro

considerabile come tale.

Figura 1.34: Confronto tra la tecnica del Fixed Fractionale la formula di Kelly. (Fonte:

rielaborazione personale)

Volendo tirare le somme su di tale tecnica, sappiamo che essa nel corso degli anni ha

subito diverse trasformazioni. Di fatto fu studiata e analizzata da molti occhi esperti e,

tutt’oggi, viene considerata come la migliore per la gestione de capitale.

Il metodo di Kelly è sicuramente uno dei più attendibili ma forse un po’ troppo sem-

plificativo, poiché volendo essere precisi ciò che dovremmo fare è calcolare la probabilità

per ogni singola operazione. In ogni caso potrebbe risultare come una stima approssima-

tiva poiché i parametri sarebbero ugualmente discrezioni; in particolar modo la formula,

introdotta anche all’inizio del capitolo, fu ridimensionata e presentata come segue:

Figura 1.35: Rielaborazione della formula di Kelly.

Così come viene rappresentata però la formula dimostra di avere dei punti critici perciò

si consiglia di procedere per passi con lo scopo di definere e calcolare quanto segue:

1. L’aspettativa di successo (W), per farlo sarà sufficiente dividere il guadagno medio

per la perdita media delle operazioni, riportando il risultato in valore assoluto, cioè

sempre positivo.

2. Il profit factor (P), ovvero il rapporto tra i profitti totali e le perdite totali.

3. Il rapporto fra successi e insuccessi,(R).

Di seguito riportiamo un esempio per il calcolo delle singole determinanti della formula di

Kelly:

Opzione

Investimento

Pay Out

W/L

Rendimento

1

10

75%

W

e7,50

2

10

75%

L

e-7,50

3

10

81%

W

e8,10

4

15

81%

L

e-12,15

5

10

75%

W

e7,50

6

20

75%

W

e15,00

7

15

75%

W

e11,25

8

10

81%

W

e8,10

9

20

75%

L

e-15,00

10

10

75%

L

e-7,50

Tabella 1.1: La Formula di Kelly: dati per il calcolo dei parametri.

Con tali dati otteniamo i risultati che seguono2:

2

_{Con i dati che si otterrano di seguito e applicandoli alla formula risulta di poter rischiare lo 0,85% del}

1.3 Le tecniche di Money Management

33

WIN

6

Profitto medio

9,58

Profitto totale

e57,45

LOSS

4

Perdita media

10,54

Perdita totale

e42,15

R

1,5

W

0,91

P

1,36

Tabella 1.2: La Formula di Kelly: calcolo dei singoli parametri.

Nel documento La Formula di Kelly: dal gioco d'azzardo al money management, un'applicazione empirica (pagine 44-49)