vo non è abbastanza e ciente ed intervengono quindi meccanismi aggiuntivi di trasporto di energia: il trasporto convettivo, e il trasporto conduttivo. Molto brevemente il traspor- to convettivo è associato ad un usso di materia che sale da regioni più calde in zone più fredde cedendo calore all'ambiente circostante (vedere paragrafo 2.6, e Appendice
D), mentre il trasporto conduttivo2 è presente nelle zone più dense dove la materia è
parzialmente o totalmente degenere, e il cammino libero medio degli elettroni diventa paragonabile, se non superiore a quello dei fotoni. In questi due casi l'equazione del tra- sporto energetico assume una forma diversa, ma questo non è rilevante ai ni dell'attuale descrizione qualitativa.
Utilizzando la condizione di equilibrio idrostatico e termico, l'equazione del trasporto energetico, la relazione tra massa e densità, e l'equazione di stato, si ottiene un sistema
di 5 equazioni nelle 5 incognite3 P(r), T(r), L(r), M(r), ρ(r). Per quanto discusso prece-
dentemente, la stella è una struttura gassosa per cui le varie grandezze termodinamiche sono collegate tra loro da una equazione di stato;
P = P (µ, ρ, T ) (2.7)
dove µ indica il peso molecolare del gas, e chiaramente dipende dalla composizione chimica.
Utilizzando queste 5 equazioni si può integrare completamente una struttura stella- re. Solitamente si preferisce utilizzare la massa M, invece del raggio come variabile di integrazione, e si ottiene quindi il sistema,
dP dM = − GM 4πr4 dr dM = 1 4πρr2 dT dM = f (κ, L, T, ρ, r) dL dM = ε P = P (µ, ρ, T )
2.2 Opacità.
L'opacità è legata a tutti quei processi sici di interazione tra fotoni e materia che determinano un variazione del usso energetico uscente dalla stella. Il calcolo delle opacità in diverse condizioni siche è molto complesso richiede una notevole potenza di calcolo. Per questo motivo i codici evolutivi stellari in genere leggono delle tabelle
2Vedere ad esempio Castellani (1985).
3Le quantità κ, ε non sono incognite, ma possono essere calcolate in ogni punto della stella in funzione della composizione chimica e delle variabili siche di quel punto.
di opacità sviluppate da gruppi di ricerca dedicati, e interpolano sulle griglie i valori corrispondenti alla densità, temperatura e composizione chimica richiesta.
Nel franec vengono usate due tabelle di opacità radiativa: negli interni, no a tem-
perature di 12·000 K vengono usate le tabelle sviluppate dal gruppo opal4 (Iglesias &
Rogers (1996)), aggiornate al 2006, e calcolate con la mistura solare di Asplund et al. (2005). Fuori dall'intervallo di validità delle opal, cioè nelle regioni atmosferiche, ven- gono usate le tabelle di Alexander & Ferguson (1994) che trattano in maniera molto accurata la presenza di atomi non ionizzati molecole e grani, fonti importanti di opacità in queste zone relativamente fredde. Per quanto riguarda le opacità conduttive, vengo-
no usate quelle calcolate da Potekhin5 (vedere ad esempio Potekhin (1999), Shternin &
Yakovlev (2006)).
Nello sviluppo delle tabelle di opacità ci sono alcuni punti che è bene evidenziare: uno è la forte dipendenza dalle abbondanze relative dei vari elementi, in particolare dei metalli, che sono quelli che avendo più elettroni hanno un maggior numero di righe di assorbimento; per questo motivo le tabelle devono essere calcolate ssando un particolare valore della mistura, cioè un determinato rapporto tra le abbondanze frazionarie in massa dei vari metalli rispetto alla metallicità totale. Per le stelle di disco, di cui mi sono occupato in questa tesi, ci sono numerose indicazioni sia osservative che teoriche sul fatto che la loro mistura sia quella solare. La mistura solare è una quantità che comunque è nota con una certa incertezza (stimata attorno al 10%) dovuta ai modelli sici utilizzati per calcolare le abbondanze relative degli elementi nello spettro del Sole. Una descrizione più dettagliata verrà data nel paragrafo 2.7.
Per il calcolo delle opacità poi è fondamentale la conoscenza delle occupazioni dei vari livelli energetici e molecolari delle specie chimiche che compongono il gas, quindi è necessario utilizzare una equazione di stato; nel franec per il calcolo delle varie quantità termodinamiche del gas viene adottata la stessa equazione di stato che il gruppo opal utilizza per il calcolo delle tabelle di opacità, in questo modo il calcolo delle variabili siche è completamente consistente. Tale equazione di stato copre quasi completamente l'evoluzione di stelle con massa circa maggiore o uguale a quella necessaria per avere l'innesco della fusione dell'idrogeno centrale, e quindi per diventare una stella (vedi paragrafo 2.8).
Per una descrizione più dettagliata delle nuove tabelle di opacità e degli aggiornamenti rimando alla tesi di laurea specialistica di Gennaro (2008).
2.3 Equazione di stato.
Per equazione di stato (eos) si intende la conoscenza delle varie grandezze termodina- miche di interesse in funzione di due di queste e della composizione chimica, ad esempio nel nostro caso tutte le grandezze vengono espresse in funzione della pressione e tem- peratura. Nel franec vengono utilizzate due equazioni di stato per trattare in modo
4Le tabelle di opacità si trovano alla pagina web data nella bibliogra a OPAL (2006). 5Le tabelle sono disponibili al sito http://www.iore.rssi.ru/astro/conduct/conduct.html.
2.4 Sezioni d'urto. 43 completo i diversi regimi temperatura e pressione che si incontrano nell'evoluzione di una struttura stellare: utilizzeremo la eos sviluppata dal gruppo opal (vedere ad esempio Rogers & Nayfonov (2002)), e l'equazione di stato di Straniero (1988)(strn98), nelle regioni di temperatura e densità non coperte dalla eos opal.
L'uso di due eos è necessario perchè stelle di massa e composizione chimica diversa nelle diverse fasi evolutive presentano un intervallo di valori possibili di pressione tempe- ratura e densità molto esteso che può essere di cilmente coperto da una unica equazione di stato, cioè da un unico modello teorico che riesca a calcolare con l'accuratezza ne- cessaria le grandezze termodinamiche indispensabili per il calcolo del modello stellare in tutte le condizioni siche possibili. Nel paragrafo 2.8 descriverò più in dettaglio cosa si intende per equazione di stato, e discuterò le principali dierenze nei modelli stellari prodotte dall'uso di diverse eos.
2.4 Sezioni d'urto.
Il calcolo dei processi nucleari nel plasma stellare è un altro aspetto fondamentale per l'integrazione di un modello; oltre a de nire l'energia generata, e quindi stabilire l'equili- brio di una struttura stellare, le reazioni nucleari sono responsabili anche dell'evoluzione chimica della stella. Nella versione corrente del franec vengono presi in esame 25 elementi,
H, 2H, 3He, 4He,6Li,7Li, 9Be, 11B, 12C, 13C, 14N, 15N, 16O, 17O, 18O 19F, 20Ne,21Ne, 22Ne, 23Na, 24Mg,25Mg, 26Mg, 28Si, 56Fe
necessari per descrivere l'evoluzione di una struttura dalle fasi di PMS, in cui si ha la
combustione di elementi leggeri come2H,6Li,7Li,9Be, 11B, no all'innesco dell'ossigeno
(AGB)6.
Per un processo di fusione generico il numero di eventi al secondo per unità di volume è de nito da,
Ri,j = ninj
1 + δi,j
< σi,j(v)vi,j > (2.8)
Dove nk rappresenta il numero di particelle che interagiscono per unità di volume, vi,j
la velocità relativa tra le due particelle, e < σi,jvi,j > è legato alla probabilità che il processo avvenga, ed è de nito come (vedere ad esempio Rolfs & Rodney (1988)):
< σ(v)v >= s 8 πµ(kBT )3 Z +∞ 0 σ(E) E exp(−E/kBT ) dE (2.9)
dove σ(E) è la sezione d'urto del processo in esame. Nel franec sono usate le sezioni d'urto tabulate nel lavoro di Angulo et al. (1999)(NACRE), che contiene oltre ai pro- cessi nucleari che sostengono la stella anche le reazioni secondarie, come quelle che non in uenzano in modo signi cativo l'energetica della stella, ma che sono importanti per il calcolo delle abbondanze di alcuni elementi.
2.5 Diusione.
La trattazione dei processi di diusione degli elementi è stata implementata utilizzando i valori dei coe cienti di diusione forniti da Thoul et al. (1994), come descritto in Ciacio et al. (1997). Vediamo brevemente quali sono i principali processi che portano ad una diusione degli elementi attraverso la struttura di una stella,
• Sedimentazione gravitazionale: agisce sugli elementi più pesanti spingendoli
verso le zone centrali della stella; si osserva che mentre per l'elio e i metalli la sedimentazione porta a una diminuzione super ciale, spingendoli verso le regioni centrali della stella, si ha l'eetto contrario per l'idrogeno, più leggero, che invece viene spinto verso l'esterno.
• Diusione chimica: è un processo analogo all'osmosi, che tende ad omogeneizzare
la chimica in regioni in cui si ha una dierente abbondanza di elementi.
• Diusione termica: tende a spingere elementi pesanti e carichi nelle regioni più
calde, quindi verso le zone centrali della stella.
I processi diusivi hanno una e cienza molto bassa, e di conseguenza gli eetti sulla
struttura stellare si manifestano su tempi scala dell'ordine di ∼ 109 anni. Tuttavia, come
discusso ad esempio in Thoul et al. (1994), Ciacio et al. (1997), le variazioni indotte dalla diusione sulla chimica in uiscono in modo non trascurabile sull'evoluzione dei modelli stellari di piccola massa che evolvono su tempi scala dell'ordine dei miliardi di anni. Ad esempio nel caso del Sole all'età attuale di circa 4.5 miliardi di anni, si hanno indicazioni di una variazione dell'abbondanza super ciale di elio di ∼ 10% (vedere ad esempio Bahcall et al. (1995); Ciacio et al. (1997); Christensen-Dalsgaard (2002)).
La diusione è importante anche per l'abbondanza super ciale degli elementi leggeri, come discuterò in dettaglio nel Capitolo 3, in particolare per le stelle più calde, dove l'estensione della zona convettiva esterna è molto ridotta, così da favorire i processi diusivi, che invece sono inibiti in parte nelle stelle più fredde. In ogni caso comunque la diusione è un processo molto lento a causa della bassa e cenza, per cui gli eetti sono presenti solo per età superiori al miliardo di anni.
Nel franec la diusione viene calcolata utilizzando i coe cienti dati da Thoul et al. (1994), che considerano direttamente la diusione degli elettroni e di H, He, C, N, O, e Fe, trattandoli come atomi completamente ionizzati, approssimazione abbastanza precisa nel caso degli interni stellari dove la temperatura è su cientemente alta; tutti gli altri elementi vengono fatti diondere con una e cienza uguale a quella del ferro, ma riscalata per le loro abbondanze reali.
Tra i processi diusivi che modi cano l'abbondanza super ciale degli elementi an- drebbe anche considerato il processo di levitazione radiativa, cioè una forza risultante dall'accoppiamento tra il usso di fotoni uscente dalla stella e gli elementi, che riduce la gravità e cace, e quindi rallenta o addirittura inverte la diusione verso il centro. Nel lavoro di Thoul et al. (1994) questo processo non viene considerato, tuttavia, come
2.6 Convezione. 45 mostrato ad esempio in Turcotte & Christensen-Dalsgaard (1998), l'eetto su stelle di piccola massa è trascurabile, mentre i primi eetti non trascurabili si cominciano ad
osservare solo per masse intermedie 1.2 ÷ 1.3M¯ nelle fasi nali della MS.
La levitazione radiativa non è stata inclusa ni nostri calcoli, dato che nell'intervallo di masse che analizzerò in questo lavoro (0.7 ÷ 1.3, nelle prime fasi di MS) l'eetto può essere trascurato.
2.6 Convezione.
L'instabilità convettiva di una regione viene valutata utilizzando il criterio di Schwarz- schild (vedere Appendice D), che considera la variazione di temperatura di una bolla di materia che si sposta adiabaticamente di un tratto h, rispetto alla variazione della temperatura dell'ambiente esterno nel caso di trasporto radiativo; l'instabilità si ha se
il gradiente radiativo è maggiore rispetto al gradiente adiabatico (∇rad > ∇ad), in altre
parole se la bolla risulta più calda dell'ambiente dopo il tratto h. In questo caso il moto non è frenato, ma è accelerato dalla forza di Archimede che la bolla di materia risente, e quindi si ha instabilità.
Negli interni stellari la trattazione del problema riguardante la convezione è molto sempli cata dalla densità abbastanza elevata della materia, che fa sì che il gradiente
ambientale7 sia praticamente identico a quello adiabatico (vedere ad esempio Castellani
(1985)).
Negli inviluppi esterni invece il problema diventa molto più complicato, a causa delle basse densità della materia, e non esiste ancora un modello completo che consenta di trattare la convezione super ciale in modo accurato.
L'approccio comunemente usato è quello descritto da Böhm-Vitense (1958) noto co- me Teoria della Mixing Length (MLT) (vedere Appendice D); descrivendolo in modo molto sempli cato, la convezione super ciale può essere schematizzata come delle colon- ne di materia che salgono da regioni calde, no a raggiungere in modo adiabatico dopo un cammino h regioni più fredde, dove si mescolano con l'ambiente, cedendo calore. Questa descrizione consente di trattare la convezione super ciale in modo abbastanza semplice, ma introduce un parametro libero, appunto la lunghezza del cammino per- corso dall'elemento di convezione prima che la materia si mescoli completamente con l'ambiente.
Solitamente h viene de nito in base alla lunghezza scala della pressione (Hp), cioè
la distanza tra due regioni contigue in cui la pressione si riduce di un fattore 1/e; con
questa scelta h = α · Hp, dove α è un parametro che generalmente è inferiore a 3.
Utilizzando la teoria della mixing length, quindi il problema è quello di riuscire a calibrare il valore di α; è abbastanza evidente infatti che il valore di α incida pesante- mente sull'e cienza della convezione, ossia valori di α più grandi rendendo più lungo il cammino delle bolle di materia e diminuendo il gradiente di temperatura nelle zone 7Il gradiente ambientale è quello reale della regione considerata, cioè quello risultante da tutti i meccanismi di trasporto, ad esempio radiativo+convettivo.
esterne, comportano quindi un incremento della temperatura super ciale della stella. Ri- guardando solo le regioni esterne, prive di sorgenti di energia, l'incertezza sull'e cienza della convezione esterna, non in uenza la luminosità della struttura: cambiando però la temperatura e cace, lasciando inalterata la luminosità, cambia il raggio della stella, che è legato a queste due quantità dalla relazione valida per un corpo nero (vedere ad esempio Castellani (1985)):
L = 4πR2∗Tef f4 (2.10)
Una descrizione più completa della convezione e della teoria della mixing length viene data nell'Appendice D, dove vengono discussi anche i metodi comunemente usati per calibrare il valore di α.
2.7 Mistura solare.
Con il termine mistura solare ci si riferisce alle abbondanze dei vari elementi pesanti (elementi più pesanti dell'elio, come ad esempio C, N, O, Ne, Fe, ecc. . .) relative alla metallicità totale.
Le informazioni sulle abbondanze relative degli elementi nella fotosfera8 solare è con-
tenuta nello spettro della luce emessa; per passare però dalle righe di assorbimento osservate alle abbondanze è necessario costruire un modello numerico che consenta di modellizzare i vari meccanismi cici che intervengono nella formazione delle righe stesse, in funzione delle caratteristiche della stella e delle transizioni delle varie specie chimi- che considerate. Lo sviluppo di codici numerici sempre più completi, sia dal punto di vista sico, quindi migliorando le approssimazioni fatte nella modellizzazione, che dal punto di vista computazionale, come ad esempio la possibilità di riuscire a calcolare le transizioni per un numero sempre maggiore di livelli atomici o molecolari, ha portato a diverse determinazioni della mistura solare sempre più aggiornate, Anders & Greves- se (1989), Grevesse & Noels (1993)(GN93), altre più recenti, come Grevesse & Sauval (1998)(GS98), e Asplund et al. (2005)(AS05). In particolare l'ultima mistura (AS05) è stata ottenuta utilizzando per la prima volta dei modelli teorici di atmosfera tridimen- sionale, molto più realistici dei precedenti, capaci di trattare in modo più appropriato anche gli eetti dovuti alla presenza di moti della materia nella regione fotosferica, come ad esempio la granulazione super ciale che in uenza in modo signi cativo il pro lo delle righe di assorbimento, come discusso in dettaglio in Asplund et al. (2005) e in Grevesse et al. (2007).
La nuova mistura determinata da Asplund et al. (2005) ha permesso di risolve- re alcuni problemi inerenti alla composizione chimica del Sole, ma ha aperto nuove problematiche.
Uno dei vantaggi è che le nuove abbondanze degli elementi ricavate da Asplund et al. sono in ottimo accordo sia con i valori osservati nelle meteoriti (Asplund et al. (2005); 8La fotosfera è la zona nella quale la profondità ottica nel visibile è minore di 1 per cui i fotoni riescono a sfuggire; la profondità ottica indicata con τ è de nita come, dτ = dr/λ dove λ è il cammino libero medio nel mezzo.
2.7 Mistura solare. 47 Grevesse et al. (2007)), sia con i risultati ottenuti dalle osservazioni degli elementi pesanti come C, N nel mezzo interstellare (André et al. (2003)) e nelle stelle vicine (Turck-Chièze et al. (2004); Grevesse et al. (2007)). Un problema aperto invece sembra essere la determinazione dell'abbondanza di ossigeno; come discuterò meglio nel paragrafo 5.10, le stelle con pianeti sembrano mostrare in genere una sovrabbondanza di metalli, in particolare di ossigeno, rispetto alle stelle che non ne hanno (vedere ad esempio Ecuvillon et al. (2006)). L'abbondanza di ossigeno del Sole riportata nella mistura di AS05 sembra essere troppo bassa rispetto al valore medio ricavato da Ecuvillon et al. (2006), mentre il valore ottenuto dalla mistura di GS98 è in ottimo accordo con quello osservato nelle stelle di tipo solare con pianeti.
Un ulteriore problema è legato alle misure ottenute con l'eliosismologia. Attraverso lo studio dei modi di oscillazione nel Sole, è possibile infatti determinare con precisione alcune grandezze fondamentali, come ad esempio la profondità della zona convettiva, la velocità del suono alla base di quest'ultima, e l'abbondanza di elio (vedere ad esempio Christensen-Dalsgaard (2002)). I modelli solari calcolati utilizzando le misture prece- denti (GN93, GS98) erano in ottimo accordo, almeno entro le incertezze, con i risultati dell'eliosimologia.
I modelli solari calcolati utilizzando la nuova mistura invece presentano dei problemi nel riprodurre le osservazioni fornite dall'eliosismologia soprattuto alla base della zona convettiva; il disaccordo è dovuto al fatto che nel gas originale diminuiscono di oltre il 30% le abbondanze di C, N, O, e Ne, cioè le principali fonti di opacità nelle regioni convettive esterne, rispetto alle vecchie abbondanze. Una diminuzione così sostanziale di questi elementi altera in modo profondo la struttura delle regioni convettive super ciali, portando così al disaccordo con le osservazioni eliosismologiche. Va anche osservato che utilizzando la nuova mistura di Asplund nel nostro codice, si ottiene un valore per l'abbondanza iniziale di elio nel Sole di Y = 0.252, e una metallicità di Z = 0.0137 (paragrafo 5.10), inferiori rispetto a quelle che si ottenevano con la vecchia mistura (Y = 0.269, Z = 0.0198, Ciacio et al. (1997)). Un valore così basso dell'elio iniziale del Sole, confrontato con la quantità di elio prodotta invece nella nucleosintesi (Y ≈
0.248, Capitolo 1) implica che il gas da cui si è formato il Sole ha subito un debolissimo
arricchimento di materiale processato dalla nucleosintesi stellare.
Diversi autori (Montalban et al. (2006); Bahcall et al. (2004); Basu & Antia (2004)) hanno analizzato in dettaglio le incertezze principali degli input sici adottati nei modelli solari, come le incertezze sulle tabelle di opacità, sui coe cienti di diusione, sulle abbon- danze relative dei principali elementi che contribuiscono all'opacità, cercando di capire se le incertezze fossero tali da giusti care il disaccordo (vedere la discussione del modello solare nel Capitolo 5, paragrafo 5.10); tuttavia come discusso ad esempio in Montalban et al. (2006) e in Grevesse et al. (2007), le soluzioni proposte non sembrano essere del tutto convincenti, considerando che le variazioni richieste sulle tabelle di opacità e sui coe cienti di diusione per ottenere accordo con i dati dell'eliosismologia utilizzando la nuova mistura solare, sono troppo grandi rispetto alle incertezze generalmente accettate su tali input sici (Bahcall et al. (2004); Grevesse et al. (2007)).
Recenti analisi dell'abbondanza di ossigeno nel Sole attraverso un codice numerico diverso da quello utilizzato da Asplund et al. (2005) forniscono abbondanze per questo elemento superiori di circa 0.1 dex rispetto a quello della mistura AS05 (vedere ad esempio Caau et al. (2008)), quindi un valore intermedio tra la mistura di GS98 e quella di AS05; questo fatto potrebbe in parte riconciliare i risultati dell'eliosimologia con le previsioni teoriche dato che un incremento dell'abbondanza di ossigeno nel gas comporterebbe un incremento dell'opacità.
Noti questi problemi ancora aperti, abbiamo scelto comunque di utilizzare la nuova mistura di Asplund et al. (2005), che al momento, anche se riapre il problema del disac- cordo con l'eliosismologia, tuttavia è ricavata da un modello teorico molto più completo e realistico. Quindi quando non speci cato farò riferimento a questa mistura, cioè al nuovo valore del rapporto abbondanza di metalli/abbondanza di idrogeno (nel Sole),
µZ X
¶ ¯
2.7 Mistura solare. 49
Input sici utilizzati nel franec
Mistura Solare Asplund et al. (2005)
Equazione di Stato eos Opal (2006)
+
eos Straniero (1998)
Opacità radiativa (interno) Opal (2006)