P ERCORSI DIDATTICI Consideriamo la circonferenza di

diame-tro i 6/10 dello spigolo e tracciamo la per-pendicolare al diametro che lo divide nel rapporto 1/5 (Fig. 15).

BC misura perciò

Determiniamo M punto medio dello spigolo e riportiamo BC sullo stesso spi-golo, determinando D (Fig. 16). MD misura perciò

Abbiamo riportato MD a partire dagli estre-mi di ogni spigolo e possiamo così costruire il decagono regolare cercato (Fig. 17). Otteniamo infine il deodecaedro

tron-cato, formato da 20 facce triangolari e

12 decagonali (Fig. 18).

Passiamo infine all’icosaedro. Dividendo ciascuno spigolo in 2 parti uguali riot-teniamo l’icosidodecaedro (Fig. 19). Invece dividendo in 3 parti uguali, otte-niamo l’icosaedro troncato formato da 12 facce pentagonali e 20 esagonali (Fig. 20), sostanzialmente la struttura del classico pallone da calcio.

Abbiamo così costruito solo sette dei tre-dici poliedri archimedei. Possiamo ot-tenerne altri quattro con un procedi-mento anch’esso descritto in [H, pag. 100] e che consiste nel sezionare con ni paralleli agli spigoli e poi con altri pia-ni in modo da lasciare sulle facce origi-narie del poliedro regolare dei poligoni regolari. Spieghiamo meglio con un primo esempio. Ripartiamo dall’ottago-no regolare inscritto nella faccia di un esaedro, che abbiamo già costruito per il cubo troncato. Tracciando le perpen-dicolari ai lati per i loro estremi veniamo ad ottenere un quadrato centrato sulla faccia (Fig. 21).

Ripetiamo la procedura su tutte le facce e quindi uniamo questi vertici fra loro (Fig. 22). Non è difficile mostrare che i triangoli ottenuti sono equilateri e che gli altri quadrilateri sono anch’essi qua-drati. Otteniamo perciò un altro

polie-dro archimedeo, detto

rombicubot-taedro, che ha 8 facce triangolari e 18

quadrate (Fig. 23).

Un altro poliedro lo costruiamo inscri-vendo nella faccia del cubo un ottaedro regolare, costruito sempre in modo tale che gli altri poligoni che si andranno a formare siano regolari. Guardiamo la figura 24 per chiarire meglio.

L’ottagono deve essere regolare, ma an-che il quadrilatero e l’esagono mostrati devono esserlo. Determiniamo quindi quanto deve misurare il lato di tutti e tre i poligoni regolari, in funzione dello spi-golo del cubo (Fig. 25, a pagina

succes-siva).

Diciamo x la misura di DE, non è difficile capire che i triangoli ABH e BCD sono fra loro congruenti e sono rettangoli isosceli di ipotenusa x, quindi i cateti misurano .

Perciò abbiamo la seguente relazione:

Visto che abbiamo già capito come possiamo costruire segmenti di questo tipo, non riteniamo necessario mo-strarne la costruzione, ma proponiamo direttamente il poliedro archimedeo,

Figura 21 Figura 22 Figura 23 Tabella 1 Tetraedro troncato 8 12 18 4P3, 4P6 Cubo troncato 14 24 36 8P3, 6P8 Ottaedro troncato 14 24 36 6P4, 8P6 Dodecaedro troncato 32 60 90 20P3, 12P10 Icosaedro troncato 32 60 90 12P5, 20P6 Cubottaedro 14 12 24 8P3, 6P4 Icosidodecaedro 32 30 60 20P3, 12P5 Rombicubottaedro 26 24 48 8P3, 18P4 Cubottaedro troncato 26 48 72 12P4, 8P6, 6P8

Poliedro N. N. N. Tipi di facce

Facce Vertici Spigoli e numero per tipo Figura 24

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ERCORSI DIDATTICI

poliedri in cui il numero di facce e quello di vertici si scambiano fra loro, come vi-sto per i poliedri regolari.

I duali dei poliedri archimedei si chia-mano solidi di Catalan.

In figura 27 vediamo il duale del cubo troncato, il cosiddetto triacisottaedro formato da 24 triangoli isosceli uguali. In ogni vertice si incontrano 4 triangoli. Ha 14 vertici, 24 facce e 36 spigoli. Sempre riferendoci alla tabella, osservia-mo che osservia-moltiplicando il numero di lati di ogni poligono per quanti poligoni di quel tipo vi sono ed effettuiamo le somme per tutti i poligoni presenti, ot-teniamo il doppio del numero di spigoli. Per esempio nel caso del tetraedro

BIBLIOGRAFIA

[B] L. Brusotti, Poligoni e poliedri, in Enciclopedia delle matematiche elementari e complementi, a cura di L. Berzolari, G. Vivanti, D.

Gi-gli, Volume II, parte I, Hoepli, Milano 1979.

[D] C. Di Stefano, Dal triangolo al tetraedro, Nuova Secondaria numeri di Aprile, Maggio, Giugno 2010 e Gennaio 2011. [H] T. Heat, A history of Greek Mathematics, Vol. II, Form Aristarchus to Diophantus, Dover, New York 1981.

[L] I. Lakatos, Proofs and refutations, Cambridge University Press, Cambridge 1976.

Figura 25 _{Figura 26 Figura 27}

noto come cubottaedro troncato le cui facce sono 6 ottagoni regolari, 8 esa-goni regolari e 12 quadrati (Fig. 26). Procedure analoghe possono essere ef-fettuate su dodecaedri ed icosaedri pro-ducendo altri due poliedri semiregolari. Poiché le costruzioni sono alquanto complesse, comprese quelle dei rima-nenti due poliedri archimedei, non le presentiamo.

Concludiamo il paragrafo riportando nella Tabella 1 alcuni dati dei poliedri ar-chimedei che abbiamo costruito. Indi-chiamo con P_n un poligono di n lati. Osserviamo intanto che il duale di un poliedro archimedeo non è archimedeo, dato che non troviamo in questa tabella

troncato 4 × 3 + 4 × 6 = 2 × 18; nel caso del cubottaedro troncato 12 × 4 + 8 × 6 + 6 × 8 = 2 × 72. Questa proprietà è vera per tutti i poliedri convessi (vedi [B, pag, 300]).

Nella successiva e ultima parte conside-reremo le sezioni piane dei poliedri. Ricordiamo che tutte le costruzioni proposte possono scaricarsi come files Cabri3d dal sito

http://matdidattica.al-tervista.org/Cabri3D.htm.

Carmelo Di Stefano Liceo Scientifico «E. Vittorini » Gela (CL)

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el mondo contemporaneo ve-diamo da una parte una mol-teplicità di culture e di religioni e dall’altra una mentalità planetaria sostanzialmente omogenea che attraver-so la scienza e la tecnica sembra consen-tire un’intesa universale.

Quando però ci si avvia ad un’esplora-zione un po’ più attenta del mondo cul-turale e religioso come pure di quello scientifico-tecnico dell’Oriente – cosa che cercheremo di effettuare in questo contributo – si ha la netta sensazione di immergersi in una realtà che ci è quasi del tutto sconosciuta e per esprimere la quale non possediamo le appropriate ca-tegorie di pensiero e il relativo vocabo-lario.

Anzitutto ci sorprende il fatto che la

complessa compattezza e l’articolata uni-tarietà di quelle tradizioni costituisca

una sfida alle nostre parcellizzazioni esperienziali e disciplinari, per cui diven-ta difficile anche selezionare ciò che ri-guarda propriamente le scienze e le re-ligioni, e le loro reciproche correlazioni. Inoltre non si potrà omettere di consi-derare all’occorrenza la dinamica storica e le trasformazioni che ovviamente anche le scienze e le religioni orientali hanno conosciuto, come pure i dibattiti suscitati entro di esse e i contatti che tra di esse sono stati attuati.

Infine si deve riconoscere che non po-tremo tralasciare di condurre confronti sia pure solo di massima tra scienze orientali e occidentali, come pure tra re-ligioni orientali e cristianesimo; d’altro canto si dovranno segnalare anche i vari tipi di ricezione delle visioni orientali nel nostro mondo occidentale, sia scientifico che religioso. A proposito delle intera-zioni tra Occidente e Oriente riguardo agli sviluppi scientifici e tecnologici giova sin d’ora ricordare una considera-zione ormai comunemente accolta: «Noi siamo abituati a pensare alla storia post-romana come accentrata nell’Eu-ropa e specialmente nell’Eunell’Eu-ropa nord-occidentale, che da secoli è ormai, tec-nologicamente, la sua parte più progre-dita. L’Europa non è tuttavia che una piccola penisola del grande continente afroasiatico. Questa è, invero, la sua posizione geografica e questa, almeno fino al tredicesimo secolo d.C., fu anche, in genere, la sua posizione tecnologica. Per la maggior parte del periodo che va dal secolo VIII a.C. al sec. XVI d.C. il Vi-cino Oriente fu superiore, in capacità in-ventiva, all’Occidente, e l’Estremo Orien-te fu, forse, superiore a entrambi»1. Detto e chiarito tutto ciò – che serve an-che a riconoscere i limiti effettivi e d’altro canto inesorabili che la nostra trattazione conoscerà – non vogliamo

ri-nunciare ad iniziare ad esplorare il tema, cioè scienze e religioni, volgendo la nostra attenzione verso Oriente. Ovviamente faremo tesoro di alcuni tra i molti studi anche specialistici che al ri-guardo sono stati e sempre di più ven-gono elaborati da parte di qualificati stu-diosi sia occidentali che orientali; ma l’autore di questo contributo si riserva pure di tener conto della sua pluriennale esperienza maturata frequentando le ter-re e le cultuter-re asiatiche.

Nel documento 8 Nuova Secondaria (pagine 76-79)