Rendimento

Il rendimento è uno dei parametri maggiormente osservati dall’investitore; talvolta – erroneamente – rappresenta l’unico parametro osservato attentamente per prendere la decisione tra investire in un titolo piuttosto che in un altro.

Il concetto di rendimento più rilevante per l’analisi di un portafoglio titoli, assimilabile quindi ai fondi, è quello di tasso di rendimento totale di periodo (TRTP, holding period total

return), definito in un determinato orizzonte temporale.

È necessario distinguere due tipologie di portafogli: a) Portafoglio senza versamenti e/o prelevamenti; b) Portafoglio con versamenti e/o prelevamenti.

Il primo caso tipicamente può riguardare i fondi chiusi che nel periodo di investimento non prevedono né prelevamenti, quindi vendite di quote al fondo da parte degli investitori, né versamenti, quindi acquisti di quote dal fondo, da parte di potenziali investitori. In questa circostanza è consentita solo la cessione della quota da un investitore all’altro, senza che il patrimonio investito del fondo possa variare.

In questo caso, identificato un periodo unitario qualsiasi (1 giorno, 1 mese, 1 anno), naturalmente non superiore alla durata del portafoglio “si definisce tasso di rendimento

𝑃(𝑡) e all’inizio del periodo 𝑃(𝑡 − 1), aumentata degli eventuali flussi cedolari o dividendi, 𝐷(𝑡 − 1, 𝑡), incassati tra le date 𝑡 − 1 e 𝑡, e il prezzo tel quel all’inizio69_.

𝑇𝑅𝑇𝑃 = 𝑃(𝑡) − 𝑃(𝑡 − 1) + 𝐷(𝑡 − 1, 𝑡)

𝑃(𝑡 − 1)

Il portafoglio in questo caso non è valutato sino alla sua scadenza 𝑇 ma solo tra il tempo 𝑡 − 1 e 𝑡. Se il tempo corrente è 𝑡, il tasso di rendimento è calcolato ex-post. Se invece si assume 𝑡 come tempo corrente, il rendimento di periodo è aleatorio poiché dipenderà dal prezzo che si formerà alla successiva scadenza periodale 𝑡 + 1. In questo caso si parla di rendimento

ex-ante o, meglio, tasso di rendimento atteso di periodo, formalizzato con la seguente

formula:

𝑇𝑅𝑇𝑃5IJK4/5=

𝐸_/L𝑃M(𝑡 + 1)N − 𝑃(𝑡) + 𝐸_/[𝐷(𝑡 + 1, 𝑡)]

𝑃(𝑡)

Dove in questo caso 𝐸_/L𝑃M(𝑡 + 1)N rappresenta il valore atteso a oggi del prezzo alla scadenza 𝑡 + 1 e 𝐸_/[𝐷(𝑡 + 1, 𝑡)] rappresenta il flusso cedolare o di dividendi atteso ad oggi nel periodo tra 𝑡 + 1 e 𝑡.

Sostanzialmente, il rendimento totale è composto da due parti: a) capital gain b) coupon o

dividend yield.

Come anticipato, tale metodologia di calcolo è idonea quando non vi sono versamenti e/o prelevamenti di risorse finanziarie dal portafoglio. In caso contrario, è pacifico che il rendimento del portafoglio sia influenzato dal loro ammontare.

Definendo quindi 𝑃(𝑡) il valore finale del portafoglio, 𝑃(𝑡 − 1) il valore iniziale e 𝐹(𝑡 − 1, 𝑡) il valore dei versamenti al netto dei prelevamenti tra 𝑡 − 1 e 𝑡 si determina la seguente uguaglianza:

𝑃(𝑡) = 𝑃(𝑡 − 1) + 𝐶𝐺𝐴𝐼𝑁(𝑡) + 𝐷(𝑡 − 1, 𝑡) + 𝐹(𝑡 − 1, 𝑡)

dove il nuovo elemento 𝐶𝐺𝐴𝐼𝑁(𝑡) rappresenta i guadagni, se positivo, o le perdite, se negativo, in conto capitale, ossia le variazioni dei prezzi di mercato dei titoli nel portafoglio.

In caso di versamenti il concetto di rendimento può essere quindi diverso. Si può parlare di rendimento time-weighted che neutralizza l’effetto dei versamenti e di rendimento money-

weighted che tiene invece conto di questi ultimi.

Il rendimento time-weighted è detto anche metodo delle quote e consente appunto di neutralizzare gli effetti dei versamenti e prelevamenti tipici di un fondo, considerato che, come abbiamo detto, la partecipazione al fondo comune avviene mediante la sottoscrizione di quote la cui valorizzazione è data dal rapporto tra il valore netto del fondo (net asset value, NAV) e il numero di quote in circolazione.

Assumendo di essere al tempo 0 (𝑡 = 0) con un valore del denaro raccolto dal fondo al tempo 0 definito 𝑁𝐴𝑉(0) e definendo il valore della quota pari a 𝑞(0) il numero delle quote emesse inizialmente dal fondo, definito 𝑛(0) sarà dato dalla seguente formula:

𝑛(0) =𝑁𝐴𝑉(0) 𝑞(0)

Con il passare del tempo il valore dei titoli nel portafoglio varierà e di conseguenza varierà il 𝑁𝐴𝑉 del fondo. Se il numero delle quote emesse dal fondo permane invariato tra il tempo 0 e il tempo 𝑡, quindi con 𝑛(0) = 𝑛(𝑡), la quotazione della quota sarà:

𝑞(𝑡) =𝑁𝐴𝑉(𝑡) 𝑛(𝑡)

Se oltre alla variazione dei titoli vi sono stati movimenti anche sulle risorse finanziarie ottenute dal fondo, si hanno variazioni sul numero delle quote date dai versamenti e dai prelevamenti.

Per ogni versamento 𝐹(𝑡W_{) al tempo 𝑡}W _{(definito il tempo 𝑡}W _{un istante successivo al tempo}

𝑡) effettuato dall’investitore, si ha l’attribuzione a questi ultimi di un dato numero di quote, pari a 𝐹(𝑡W_{)/𝑞(𝑡). Al contrario, ogni prelevamento determina un’uscita pari al numero delle}

quote prelevate per il loro valore unitario del momento. Un versamento pari a 𝐹(𝑡W_{) genera 𝐷}

Viceversa, il prelevamento del medesimo valore 𝐹(𝑡W_{) distrugge 𝐷}

4 quote. Trascurando per

comodità di rappresentazione cedole e guadagni in conto capitale conseguite dai titoli del fondo, il valore netto del fondo passa da 𝑁𝐴𝑉(𝑡) a 𝑁𝐴𝑉(𝑡W_{) definito:}

𝑁𝐴𝑉(𝑡W_{) = 𝑁𝐴𝑉(𝑡) + 𝐹(𝑡}W₎

Conseguentemente, il numero delle quote in circolazione diventa: 𝑛(𝑡W_{) = 𝑛(𝑡) + 𝐷}

4

Invece, il valore unitario della quota all’istante 𝑡W _{non varia per effetto del versamento.}

Questo si dimostra con le seguenti espressioni: 𝑞(𝑡W_{) =}𝑁𝐴𝑉(𝑡W) 𝑛(𝑡W₎ = 𝑁𝐴𝑉(𝑡) + 𝑞(𝑡) ∙ 𝐷4 𝑛(𝑡) + 𝐷₄ = 𝑁𝐴𝑉(𝑡) 𝑛(𝑡) 𝑛(𝑡) + 𝑁𝐴𝑉𝑛(𝑡) ∙ 𝐷(𝑡) 4 𝑛(𝑡) + 𝐷₄ = 𝑁𝐴𝑉(𝑡) 𝑛(𝑡) = 𝑞(𝑡)

Da questa si può determinare il tasso di rendimento time-weighted, detto anche tasso di

rendimento del gestore del portafoglio (manager rate of return), rappresentato dalla

seguente formula:

𝑅Z[(𝑡) =

𝑞(𝑡)

𝑞(𝑡 − 1)− 1

Il rendimento money-weighted è detto anche tasso interno di rendimento dell’investitore (investor rate of return) e, come abbiamo detto, tiene conto anche dei prelevamenti e versamenti effettuati sul patrimonio del fondo.

Per calcolare il tasso di rendimento money-weighted è necessario procedere al calcolo del tasso interno di rendimento 𝑅\[(𝑡) in regime composto che verifica la relazione tra valore

finale 𝑁𝐴𝑉(𝑡), valore iniziale 𝑁𝐴𝑉(𝑡 − 1), flussi intermedi 𝐹], 𝐹^, … , 𝐹4, ciascuno

ponderato per la durata rispetto al momento finale 𝑡, 𝑤_], 𝑤_^, … , 𝑤₄:

𝑁𝐴𝑉(𝑡) = 𝑁𝐴𝑉(𝑡 − 1)[1 + 𝑅_\[(𝑡)] + 𝐹][1 + 𝑅\[(𝑡)]bc + 𝐹^[1 + 𝑅\[(𝑡)]bd+ ⋯

In regime di capitalizzazione semplice invece si ottiene la seguente formula:

𝑁𝐴𝑉(𝑡) = 𝑁𝐴𝑉(𝑡 − 1)[1 + 𝑅_\[(𝑡)] + 𝐹_][1 + 𝑤_]𝑅_\[(𝑡)] + 𝐹_^[1 + 𝑤_^𝑅_\[(𝑡)] + ⋯

Ciò consente di esplicitare il tasso money-weighted con la seguente formula:

𝑅_\[(𝑡) =𝑁𝐴𝑉(𝑡) − 𝑁𝐴𝑉(𝑡 − 1) − ∑42g]𝐹/ 𝑁𝐴𝑉(𝑡 − 1) + ∑4 𝑤₂𝐹_/

2g]

Ai fini dell’analisi empirica oggetto dell’elaborato i rendimenti giornalieri, mensili e annuali sono stati computati secondo il metodo delle quote senza naturalmente tenere conto dei prelevamenti e versamenti. Questo al fine di valutare la capacità del gestore ed operare confronti tra la gestione attiva e passiva.