L’idea di partire dalla lettura di un testo di narrativa1 permette di variare l’approccio alla lezione nell’ottica di catturare l’interesse della classe, ma anche di fornire strumenti di varia natura (intuitiva, applicativa, for-male, ...) che consentano a tutti gli
studenti di avvicinarsi a concetti di non facile comprensione.
La comprensione dell’operazione di estrazione di radice e la sua applizione, ad esempio, a contenuti di ca-rattere geometrico (quali il Teorema di Pitagora) sono infatti passaggi
delicati, in quanto meno immediati e meno procedurali delle operazioni precedentemente studiate.
Unità 4
Le competenze promosse nel percorso:
WESVHMREVIIGPEWWM½GEVIETTPMGERHSGVMXIVMSTTSVXYRMIPIQIRXMGSQTPIWWMHIPPEVIEPXkMRHMZMHYERHSRIPI relazioni; WEETTPMGEVIPITVSGIHYVIMRHMGEXIIHYXMPM^^EKPMSTTSVXYRMWXVYQIRXMHMPEZSVS WEVM¾IXXIVIWYJYR^MSRMIVIPE^MSRMXVEHEXMVMIPEFSVERHSPMIJSVQYPERHSMTSXIWMHMWSPY^MSRI WEGSQYRMGEVIQIWWEKKMGSIVIRXMIEVXMGSPEXMMRQSHSEHIKYEXSEPGSRXIWXSIEPVIJIVIRXIYXMPM^^ERHS GSHMGMPMRKYEKKMWTIGM½GMIXIGRMGLIGSQYRMGEXMZIHMZIVWI WESVKERM^^EVIXIQTMIWTE^MHMPEZSVSVMWTIXXERHSMPGSRXIWXSIHYXMPM^^ERHSPITVSTVMIGETEGMXkKPMWXVY menti e le conoscenze acquisite.
I traguardi disciplinari, ossia come la disciplina concorre al raggiungimento delle competenze: VMGSRSWGIVIIGSRJVSRXEVIRYQIVMIKVERHI^^I TEHVSRIKKMEVIMPGEPGSPS VETTVIWIRXE^MSRIWXMQEIVMWYPXEXS WIPI^MSREVIGSRWETIZSPQIRXIPITVSGIHYVIHMGEPGSPS GSRSWGIVIIETTPMGEVI TVSHYVVIJSVQEPM^^E^MSRMKIRIVEPM^^ERHSHEYRTVSFPIQEWTIGM½GSEHYREGPEWWIHMTVSFPIQM YXMPM^^EVIIMRXIVTVIXEVIMPPMRKYEKKMSQEXIQEXMGS __________________________________________________________________________________ Gli obiettivi di apprendimentoGLIIZMHIR^MERSPIGSRSWGIR^IIPIEFMPMXkGLIGMWMEWTIXXEZIRKERSEGUYMWMXI SVHMREVIIGSRJVSRXEVIRYQIVMIKVERHI^^I VEKMSREVIGSRRYQIVMISTIVE^MSRM GPEWWM½GEVIKPMIPIQIRXMHIMHMZIVWMMRWMIQMRYQIVMGM GSRSWGIVIIHIWGVMZIVITVSGIHYVIHMGEPGSPSIHMVMWSPY^MSRIHMTVSFPIQM IWXVEVVIPEVEHMGIGSRQIXSHMIWXVYQIRXMHMZIVWM WETIVGSKPMIVIMRIWWMIPIVIPE^MSRMXVEMHEXMTVSTSWXM PIKKIVIIWGVMZIVIRYQIVMVIEPM GSRSWGIVIIHYXMPM^^EVIMPPIWWMGSIMWMQFSPMHIPPMRKYEKKMSQEXIQEXMGS KIWXMVIMXIQTMHMPEZSVS Finalità ___________________ Obiettivi formativi
1 H.M. Enzensberger, Il mago dei numeri, Einaudi, Torino 1997, p. 71 ss.
s
cuola in atto MATEMATICAPercorso didattico
Si procede alla lettura del brano tratto dal capitolo “Quarta notte” pp. 71-81 del testo Il mago dei numeri contestualizzandolo con una breve sintesi dell’opera.
Interessante spingere gli alunni a ri-fl ettere sulla scoperta che il protago-nista, un bambino di nome Roberto non particolarmente attratto dalla matematica, fa nel corso del libro: la possibilità di meravigliarsi e entu-siasmarsi di fronte a questioni mate-matiche.
Successivamente si procede all’ana-lisi del testo, suddividendo il brano in tre parti:
2 La giovane età degli studenti rende diffi -cile un utilizzo critico dello strumento cal-colatrice: un’introduzione troppo repen-tina potrebbe indurli a sentirsi autorizzati ad un uso indiscriminato della stessa con evidenti danni nel consolidamento e po-tenziamento dell’agilità di calcolo e nello sviluppo di quell’essenziale capacità di orientarsi nei risultati che permette di uti-lizzare poi in modo effi cace lo strumento stesso. Naturalmente tale discorso non vale nei casi di diagnosi di discalculia o di fronte a BES con evidenti diffi coltà in tali ambiti. In queste situazioni è impor-tante che l’insegnante riesca a spiegare il diverso approccio come conseguenza della diversità insita in ognuno di noi.
Prima partePORTAREIRAGAZZIADEDURRE la definizione di radice quadrata non-CHÏ DI RADICE CUBICA QUARTA QUINTA ..., e sottolineare lo stretto legame di questa operazione con l’elevamento a potenza. È utile sottolineare il con-cetto di operazione inversa, partendo da quanto già appreso con operazioni a loro familiari come addizione e sot-trazione o moltiplicazione e divisione. Seconda parte INTRODURRE IL CONCETTO di quadrato perfetto e guidare gli ALUNNIANOTARECHELELORORADICIQUA drate sono numeri naturali. Oltre al calcolo a mente di radici di quadrati perfetti, l’attività prevede l’introdu-ZIONE ALLUSO DELLE TAVOLE NUMERICHE come strumento per trovare radici esatte comprese tra 1001 e 1000000. Terza parte FAR NOTARE AGLI STUDENTI i differenti risultati, rispetto a quelli PRECEDENTEMENTE CALCOLATI CHE SI OT tengono considerando radici quadrate di numeri naturali non quadrati per-fetti. Sottolineare la numerosità dei NUMERI CHE NEL LIBRO VENGONO DEFINITI irragionevoli e la novità rispetto ai decimali già incontrati (ad esempio quelli visti nell’ambito della classifica-zione dei numeri illimitati periodici), EVIDENZIANDOCHEVENGONOCHIAMATIIR RAZIONALIPERILLORO@NONLEGAMECONLE FRAZIONI )MPORTANTE Ò ANCHE EVIDEN ZIARE CHE QUESTI NUMERI NON VENGONO introdotti sulla carta, ma come conse-guenza di misure realmente esistenti (ad es. 2 come diagonale del qua-drato di lato 1).
I ragazzi hanno a disposizione le ta-vole numeriche, che diventeranno strumento di lavoro; per ora non viene introdotto l’utilizzo della cal-colatrice per cercare di migliorare le abilità di calcolo mentale2. La spie-gazione verbale è intervallata da do-mande per testare la comprensione e rendere protagonisti gli studenti. Seguono esercizi di calcolo e stima a mente di radici di numeri naturali e decimali, identifi cazione di quadrati perfetti, uso delle tavole come stru-mento di calcolo. Questi esercizi do-vranno puntare a consolidare i concetti appresi, spingendo i ragazzi a divenire elastici nella capacità di calcolare in modo esatto o approssimare le radici di numeri, alternando a seconda delle necessità le varie modalità apprese.
Riassumere in una mappa
A questo punto è necessario proce-dere alla sistemazione formale dei concetti su cui si è lavorato.
Un approccio utile è quello di riassu-mere in una mappa quanto appreso, partendo da una sorte di brainstorming tra gli alunni, andando ad introdurre quanto non ancora visionato (in par-ticolare le proprietà della radice qua-drata, sottolineando lo stretto legame con le proprietà delle potenze, e l’uso della scomposizione in fattori primi
Proprietà: sPRODOTTO sQUOZIENTE sPOTENZA (2 MODO facilitare il calcolo) NUMERI IRRAZIONALI
Operazione inversa all'elevamento a potenza: Rad. quadrata ... elevamento al quadrato
Rad. cubica ... elevamento al cubo Rad. quadra ... elevamento alla quarta
Tavole numeriche (4 MODO) Def. (1 MODO a mente) ESTRAZIONE DI RADICE Quadrato perfetto (3 MODO con la scomposizione)
per identifi care i quadrati perfetti e estrarre le radici). Il risultato potrebbe essere del tipo proposto in allegato 1. In tale presentazione non si è fatto cenno all’algoritmo per l’estrazione della radice, in quanto si ritiene poco utile proporre la memorizzazione di un procedimento complesso, in cui l’errore accidentale è frequente. La signifi catività di tale studio potrebbe essere indicata nella necessità di ap-prendere ordine e rigore, ma si pensa esistano molte altre procedure (ad esempio l’approccio letterale ai pro-blemi) che possano permettere l’ac-quisizione di tali abilità.
È comunque signifi cativo presentare alla classe un’esemplifi cazione
s
cuola in attoMATEMATICA
mite il libro di testo o un esercizio alla lavagna) che può divenire occa-sione per sottolineare cosa si intende in matematica per algoritmo risol-vente e per ricordare che c’è molta matematica oltre quella che si studia a scuola!
Un approfondimento interessante ricavabile sempre dalla lettura pro-posta è quello sulla scuola dei pita-gorici, in quanto permette un’inqua-dratura storica di quanto affrontato mostrando tra l’altro come la fatica che sorge di fronte a questi concetti sia stata provata anche da molti ma-tematici prima di loro.
Le “fatiche” storiche
Si può partire dallo stupore di Ro-berto (protagonista del testo) alla scoperta di 2 sottolineando l’a-nalogia con i pitagorici, che fa-ticarono a tal punto ad accettare l’esistenza dei numeri irrazionali da uccidere il giovane matematico Ippaso di Metaponto (V sec. a.C.) che ne proclamava l’esistenza. Per i Pitagorici infatti numero signifi cava soltanto numero intero e secondo la loro dottrina tutti i fenomeni dell’u-niverso potevano essere ridotti a numeri interi o a loro rapporti. La scoperta di numeri irrazionali (“in-commensurabili”, cioè dal greco non riconducibili a rapporti) impli-cava l’introduzione di un elemento dell’universo che negava il loro pensiero. Questa scoperta mandò in frantumi l’identifi cazione fi no ad allora fatta del numero con la geometria, aprendo le porte ad una nuova serie di studi.
Percorso valutativo
In itinere dovranno essere previsti una serie di momenti valutativi de-gli obiettivi di apprendimento perse-guiti. Alla conclusione del percorso potranno essere proposti due diversi momenti valutativi: uno formativo basato sulla rifl essione metacognitiva e che potrebbe tradursi nella realiz-zazione di un documento di sintesi (a coppie) che illustri il percorso rea-lizzato e uno sommativo con quesiti tipo quelli presentati qui di seguito.
Prima parte (senza far uso delle tavole numeriche) Es 1. Completa:
s,ESTRAZIONEDIRADICEQUADRATAÒLOPERAZIONEDELLELEVAMENTOA POTENZACONESPONENTECHESICALCOLATROVANDO s,ARADICEQUADRATADIUNPRODOTTOÒUGUALEALDELLEDEI singoli ...
Es. 2. Rispondi alle seguenti domande:
s.ELLASCRITTURA 575 QUALÒILRADICANDO EQUALÒILRADICALE s3APENDOCHE 57523,9792QUALÒLARADICEQUADRATAapprossimata a meno di 1 centesimo s#OMESIPUÛCALCOLARELARADICEQUADRATADIUNNUMEROUSANDOLASCOMPOSIZIONEINFATTORI PRIMI s¶SBAGLIATOOCORRETTODIRECHELARADICEQUADRATADI Ò 0ERCHÏ s#HECOSÒUNNUMEROIRRAZIONALE s#OSASIGNIlCANOLEDUESCRITTURE 9 e 2 5 3
Es. 3. Estrai le radici quadrate con il metodo della scomposizione 1296 67600 Es. 4. CalcolaNONDEVIAPPROSSIMARE 75 12 36 64+ = 0,0081 25000000 1 27 3 10003 0 36 9 25⋅ ÷ = 25÷ 23=
%S3TABILISCItra quali numeri interi ÒCOMPRESALARADICEDATAEcalcola l’approssimazione CORRETTA 26 74
%S1UALETRAISEGUENTINUMERIÒLAMIGLIOREapprossimazione di 7 49 7
%S,ARADICEQUADRATADIÒcompresa tra
E E E E Es. 8. Metti il segno di >, < o =
$$ 100 144 100 144 ## 9 16 3 16 ## 100 25 2 ## 0,36 0,36 34##6 16 25 ## 16 25
Es. 9. Metti in ordine crescenteISEGUENTINUMERI 3 0,2 10 7 3 9 Seconda parte (utilizzando le tavole)
Es. 1. Usando le tavole indica il valore esatto o approssimatoDELLESEGUENTIRADICIQUADRATE 788 15 1,57 349281 37,21 2,5 46 21 %S2ISOLVILESEGUENTIESPRESSIONI 1. 6 3 5 10 8 2 2 4 2 2 ÷ × − = 2. 81 : 44 5
{
− ×[
13 2− ×(14 24 : 3− ) (+ + ×3 5 9 : 8)]}
= 3. £ ¤ ² ¥¦´ <£¤² ¥¦´ ²¤£ ¥¦´ £¤² ¥¦´ ³ μ < 3 2 3 2 3 2 3 2 1 3 1 4 3 25 4 4 3 2 4. < £ < ¤ ² ¥¦´ 5 3 1 9 25 16 2 : 4 9 14 5 16 5 5 2s
cuola in atto MATEMATICAAd esempio nell’es. 2 le domande sono formulate in modo aperto per valutare i livelli raggiunti dagli allievi nell’utilizzo del linguaggio matema-tico: il livello base avrà acquisito simbologia e terminologia, il livello avanzato riuscirà a riempire di signi-fi cato i confronti e i concetti richiesti. La richiesta di calcolo dell’es. 4 può essere soddisfatta nel momento in cui oltre alle tecniche procedurali di estrazione della radice (livello base di abilità) ho acquisito la capacità di
scegliere tra le stesse, rifl ettendo sui dati proposti e le loro relazioni. Negli es. 8 e 9 viene richiesto di padroneg-giare le rappresentazioni del numero reale, utilizzando stime e procedure di calcolo studiate.
Riferimenti bibliografi ci
s(-%NZENSBERGER Il mago dei numeri, Einaudi, Torino 1997, pp. 63-81. s - +LINE Storia del pensiero matema-tico, Einaudi, Torino 1991, pp. 37-47.
Valutazione
Valutare il livello di competenza tramite una prova di verifica è sicuramente riduttivo, visto che la competenza è, per sua stessa definizione, rilevabile in un altro contesto rispetto a dove viene stu-diata, si è cercato quindi di pro-porre quesiti che richiedano di ragionare su conoscenze e abilità acquisite per giungere all’elabora-zione della possibile strategia ri-solvente.