Analisi dell'influenza dei campi acustici sullo scambio termico per convezione e possibili applicazioni agli scambiatori di calore

(1)

U

NIVERSITÀ

DI

P

ISA

S

CUOLA

DI

I

NGEGNERIA

D

IPARTIMENTO

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I

NGEGNERIA

DELL

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NERGIA

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I

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NERGETICA

T

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DI

L

AUREA

M

AGISTRALE

A

NALISI

DELL

’

INFLUENZA

DEI

CAMPI

ACUSTICI

SULLO

SCAMBIO

TERMICO

PER

CONVEZIONE

E

POSSIBILI

APPLICAZIONI

AGLI

SCAMBIATORI

DI

CALORE

Relatori:

Prof. Ing. Alessandro Franco

Prof. Ing. Carlo Bartoli

Candidato:

Francesco Niccolini

(2)

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di quel segnor de l’altissimo canto che sovra li altri com’aquila vola.

Da ch’ebber ragionato insieme alquanto, volsersi a me con salutevol cenno,

e ’l mio maestro sorrise di tanto; e più d’onore ancora assai mi fenno, ch’e’ sì mi fecer de la loro schiera, sì ch’io fui sesto tra cotanto senno. Così andammo infino a la lumera, parlando cose che ’l tacere è bello, sì com’era ’l parlar colà dov’era.

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-Sommario

Oggetto del presente elaborato è l’analisi delle possibili influenze che il generico moto vibrazionale può avere sullo scambio termico convettivo tra un fluido ed una parete e di come questo moto vibrazionale può essere eventualmente impiegato negli scambiatori di calore per conseguire determinati obiettivi tecnici.

L’attuale letteratura disponibile sull’argomento è piuttosto ampia e articolata, prendendo in considerazione svariati fluidi in differenti configurazioni geometriche e condizioni operative. Tuttavia, non risulta ad oggi disponibile nessun modello matematico che consenta di prevedere l’entità dell’alterazione dello scambio termico convettivo in seno ad uno scambiatore di calore volontariamente posto in vibrazione, noti che siano i parametri di tale eccitazione.

Al fine di sopperire a questa mancanza, si tenta di delineare un possibile percorso logico che, partendo dai bilanci della meccanica del continuo nella loro forma più generale ed operando successive e mirate semplificazioni, porta allo sviluppo di sei differenti modelli matematici.

L’elaborato si conclude esemplificando la concreta applicazione dell’ultimo modello sviluppato a sei casi d’interesse applicativo, evidenziando chiaramente come il tema della “messa in risonanza” sia con ogni probabilità l’aspetto determinante per il conseguimento di elevati incrementi dello scambio termico convettivo.

Abstract

The subject of this thesis is the analysis of the influences that vibrations may have on convective heat transfer and how these influences could be usefully exploited in heat exchangers.

The scientific literature dealing with this topic is rather extensive and articulated: a lot of fluids in different geometrical configurations and operative conditions have been investigated. However, no mathematical model able to predict how convective heat transfer is altered by vibrations of known frequency and amplitude has been developed yet.

To bridge this gap, six different mathematical models are proposed, in a sort of path which moves from generality and physical exactness to mathematical simplicity.

The thesis ends with the concrete application of the last mathematical model in six different situations of practical interest, clearly showing how resonance phenomena are probably the key for reaching high enhancements of convective heat transfer.

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Indice generale

Indice generale...i Indice delle figure...v Introduzione...xi

CAPITOLO 1 : SCAMBIOTERMICO CONVETTIVOECAMPI ACUSTICI: INTRODUZIONE GENERALE ERASSEGNABIBLIOGRAFICA

1.1 Elementi di base e terminologia...2 1.1.1 Alcuni concetti di base dell’acustica...2 1.1.2 Distinzione dei campi acustici in base alla loro frequenza: infrasuoni, suoni ed ultrasuoni...9 1.1.3 Principali fenomeni di alterazione dello scambio termico convettivo di una sostanza gassosa con una parete in presenza di campi acustici...11 1.1.4 Principali fenomeni di alterazione dello scambio termico convettivo di una sostanza liquida monofase con una parete in presenza di campi acustici...21 1.1.5 Principali fenomeni di alterazione dello scambio termico convettivo di una sostanza liquida in pool-boiling in presenza di campi acustici...35 1.2 Rassegna bibliografica...44 1.2.1 Breve inquadramento storico delle conoscenze sulla relazione fra scambio termico e campi acustici...44 1.2.2 Alcune rassegne bibliografiche reperibili...47 1.2.3 Articoli di carattere teorico e fisico di base riguardanti sistemi con aria come mezzo elastico fluido...53 1.2.4 Articoli di carattere teorico e fisico di base riguardanti sistemi con liquido monofase come mezzo elastico fluido...65 1.2.5 Articoli di carattere teorico e fisico di base riguardanti sistemi con liquido in pool-boiling come mezzo elastico fluido...85 1.2.6 Articoli di carattere sperimentale-applicativo sugli scambiatori di calore volontariamente eccitati...101 1.2.7 Alcune considerazioni critiche sullo stato dell’arte attuale...116 CAPITOLO 2 : SVILUPPO E DESCRIZIONE DI MODELLI MATEMATICI ATTI ALLA PREVISIONE DELL’ALTERAZIONEDELLO SCAMBIOTERMICO CONVETTIVODAPARTE DIUNCAMPOACUSTICO INUNOSCAMBIATOREDICALORE

2.1 Sviluppo ed esposizione di modelli fisico-matematici complessi di applicazione più generale...120 2.1.1 Identificazione degli elementi in gioco e delle relative mutue interazioni: delineamento della struttura di un modello omni-comprensivo per lo studio di uno scambiatore di calore volontariamente eccitato...120

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pulite, rigide e ferme e con fluidi puliti e incontaminati: il modello continuo del fluido...126 2.1.3 Tabellazione delle principali proprietà d’interesse applicativo dei due modelli fisico-matematici proposti...132 2.2 Un primo livello di semplificazione dei modelli fisico-matematici in modelli fenomenologici...134 2.2.1 Studio delle equazioni di Navier-Stokes nell’intorno di uno stato di equilibrio mediante linearizzazione per un flusso monofase laminare: il modello lineare a coefficienti variabili...134 2.2.2 Alcune possibili linee guida per l’estensione del modello lineare a coefficienti variabili a flussi turbolenti e/o soggetti a cavitazione acustica vaporosa...148 2.2.3 Tabellazione delle principali proprietà d’interesse applicativo del modello fenomenologico con un primo livello di semplificazione proposto e delle sue estensioni...151 2.3 Un secondo livello di semplificazione dei modelli fisico-matematici in modelli fenomenologici...153 2.3.1 Studio delle equazioni di Navier-Stokes linearizzate nell’intorno di uno stato di equilibrio di un fluido fermo ed omogeneo: il modello lineare a coefficienti costanti dissipativo...153 2.3.2 Studio delle equazioni di Navier-Stokes linearizzate nell’intorno di uno stato di equilibrio di un fluido fermo, omogeneo e privo di effetti dissipativi: il modello lineare a coefficienti costanti ideale...160 2.3.3 Un tentativo di comprendere fenomenologicamente nelle equazioni del modello lineare a coefficienti costanti ideale i termini dissipativi legati alla viscosità e alla conducibilità termica: il modello lineare a coefficienti costanti semi-dissipativo...175 2.3.4 Tabellazione delle principali proprietà d’interesse applicativo dei tre modelli fenomenologici con un secondo livello di semplificazione proposti...178 CAPITOLO 3 : APPLICAZIONE DEIMODELLIMATEMATICI FENOMENOLOGICI A CASI CONCRETI DISCAMBIATORIDICALOREVOLONTARIAMENTEECCITATIDAUNATRASDUZIONEACUSTICA

3.1 Descrizione dei modelli e delle relative correlazioni fenomenologiche adoperati...182 3.1.1 Modello e correlazioni fenomenologiche impiegate per lo studio dell’alterazione dello scambio termico convettivo fra una parete di uno scambiatore ed un flusso di aria...182 3.1.2 Modello e correlazioni fenomenologiche impiegate per lo studio dell’alterazione dello scambio termico convettivo fra una parete di uno scambiatore ed un flusso di acqua...189 3.1.3 Cenni all’utilizzo dei campi fasoriali per la soluzione dell’equazione delle onde

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acusticamente eccitata, con trasduttore longitudinalmente e trasversalmente illimitato, ma lateralmente limitato...206 3.2.2 Secondo esempio applicativo: scambiatore di calore a piastre percorso da acqua acusticamente eccitata, con trasduttore longitudinalmente e trasversalmente illimitato, ma lateralmente limitato...227 3.3 Scambiatori di calore monodimensionali cilindrici con un flusso fluido eccitato acusticamente...242 3.3.1 Terzo esempio applicativo: scambiatore di calore tubo-tubo percorso da aria acusticamente eccitata, con trasduttore longitudinalmente ed azimutalmente illimitato, ma radialmente limitato...242 3.3.2 Quarto esempio applicativo: scambiatore di calore tubo-tubo percorso da acqua acusticamente eccitata, con trasduttore longitudinalmente ed azimutalmente illimitato, ma radialmente limitato...262 3.4 Scambiatori di calore bidimensionali cartesiani con un flusso fluido eccitato acusticamente...281 3.4.1 Quinto esempio applicativo: scambiatore di calore a piastre percorso da aria acusticamente eccitata, con trasduttore trasversalmente illimitato, ma lateralmente e longitudinalmente limitato...281 3.4.2 Sesto ed ultimo esempio applicativo: scambiatore di calore a piastre percorso da acqua acusticamente eccitata, con trasduttore trasversalmente illimitato, ma lateralmente e longitudinalmente limitato...319

Conclusioni...349 Bibliografia Generale...355

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(11)

Indice delle figure

Figura 1: Concetto di mezzo elastico fluido, parete, trasduttore acustico e trasduttore meccanico...2

Figura 2: Sistema vibratorio eccitato acusticamente e concetto di stato di equilibrio...3

Figura 3: Eccitazione per un tempo finito del trasduttore acustico in un sistema in equilibrio...4

Figura 4: Concetto di perturbazione acustica od onda acustica (caso Δt<∞t<∞)...5

Figura 5: Eccitazione per un tempo infinito del trasduttore acustico in un sistema in equilibrio...6

Figura 6: Concetto di onda acustica stazionaria o campo acustico (caso Δt<∞t→∞)...6

Figura 7: Estensione dei concetti visti a un sistema vibratorio eccitato meccanicamente...8

Figura 8: Classificazione in base a frequenza e potenza degli ultrasuoni...9

Figura 9: Concetto di ultrasuono a bassa o elevata potenza...10

Figura 10: Gas che scambia termicamente in assenza di campo acustico...11

Figura 11: Fluttuazione turbolenta della generica variabile ψ...13

Figura 12: Gas che scambia termicamente in presenza di un campo acustico...14

Figura 13: Accensione del trasduttore in caso di moto laminare...15

Figura 14: Accensione del trasduttore in caso di moto turbolento...16

Figura 15: Concetto di dissipazione viscosa del campo acustico...17

Figura 16: Concetto di corrente acustica...18

Figura 17: Possibili effetti di rafforzamento o di indebolimento del moto convettivo...19

Figura 18: Concetto di modificazione acustica dello strato limite termico...20

Figura 19: Liquido che scambia termicamente in assenza di campo acustico...21

Figura 20: Liquido che scambia termicamente in presenza di un campo acustico...22

Figura 21: Sistema per l'illustrazione del concetto della cavitazione acustica vaporosa...23

Figura 22: Traiettorie dello stato termodinamico dell'acqua sul relativo piano P-T...24

Figura 23: Cavitazione acustica vaporosa e strato limite termico...25

Figura 24: Sistema per l'interpretazione della fenomenologia della cavitazione acustica gassosa....27

Figura 25: Caso di concentrazione di gas disciolto inferiore a quella minima...28

Figura 26: Caso di concentrazione superiore a quella minima e coesistenza delle due fasi...29

Figura 27: Visualizzazione dell'insorgenza della cavitazione gassosa sul piano P-T...30

Figura 28: Tre tipi di manifestazione della cavitazione acustica gassosa sul piano P-T...31

Figura 29: Effetto anti-fouling della cavitazione acustica...33

Figura 30: Schema concettuale del sistema per lo studio del pool-boiling dell’acqua...35

Figura 31: Schema concettuale del sub-cooled pool-boiling...36

Figura 32: Schema concettuale del saturated pool-boiling...37

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Figura 35: Descrizione sulla curva di Nukiyama dei diversi regimi del pool-boiling...40

Figura 36: Sistema in pool-boiling in presenza di eccitazione acustica e/o meccanica...42

Figura 37: Andamento delle pubblicazioni reperibili su Google Scholar nel periodo 1960-2010...46

Figura 38: Incremento del coefficiente convettivo al variare della potenza immessa...49

Figura 39: Incremento del coefficiente convettivo al variare della frequenza di trasduzione...50

Figura 40: Fenomeno ritenuto preponderante ai fini dell'alterazione dello scambio termico...51

Figura 41: Ambito di indagine degli articoli presi in rassegna...52

Figura 42: Schema concettuale del sistema analizzato in [6]...54

Figura 43: Andamento del numero di Nusselt in funzione del numero di Peclet...55

Figura 44: Trasduttore e trave di alluminio impiegati in [7]...56

Figura 45: Sorgente di calore per la valutazione dell’effetto della corrente acustica...56

Figura 46: Diminuzione della temperatura all'avvio della trasduzione a 10 μmm...57

Figura 47: Evoluzione del campo di moto mediante analisi CFD...58

Figura 48: Evoluzione e comparazione delle dinamiche termiche della piastra...59

Figura 49: Apparato sperimentale impiegato in [9]...60

Figura 50: Coefficiente convettivo al variare di potenza dissipata e ampiezza di oscillazione [11]..62

Figura 51: Coefficiente convettivo al variare di potenza dissipata e frequenza di oscillazione [11]. 62 Figura 52: Raffigurazione visiva dello “stretched film” in [11]...63

Figura 53: Andamento del coefficiente convettivo al variare della pressione statica del bagno [15] 66 Figura 54: Configurazione del sistema simulato e sperimentato in [16]...67

Figura 55: Sistema di riferimento cartesiano impiegato...67

Figura 56: Andamento del campo acustico di pressione...68

Figura 57: Andamento della corrente acustica...68

Figura 58: Apparato sperimentale usato in [18]...70

Figura 59: Andamento calore scambiato - differenza di temperatura ricavato in [18]...71

Figura 61: Dettaglio dei cinque blocchi della piastra elettroriscaldata...72

Figura 62: Effetto dell'attivazione della trasduzione acustica sulla temperatura della piastra...73

Figura 63: Andamento del numero di Nusselt al variare della potenza di trasduzione...74

Figura 64: Variazioni del campo medio di velocità in presenza del campo acustico ultrasonoro...75

(13)

Figura 71: Incremento di h al variare di frequenza e ampiezza di oscillazione, per Re=1'460 [24]. .82

Figura 75: Incremento del coefficiente convettivo nel pool-boiling (caso di acqua)...88

Figura 78: Influenza del campo acustico ultrasonoro sulla curva temperatura-calore...92

Figura 79: Influenza del campo acustico ultrasonoro sulla curva calore-coefficiente convettivo...92

Figura 80: Influenza del campo acustico ultrasonoro sul saturated pool-boiling...93

Figura 81: Aumento del flusso termico critico nel saturated pool-boiling...94

Figura 82: Calore scambiato a pari frequenza e ad ampiezza di oscillazione variabile [34]...95

Figura 83: Calore scambiato a pari ampiezza di oscillazione e a frequenza variabile [34]...96

Figura 85: Superficie alettata e superficie elicoidale del tubo elettroriscaldato...98

Figura 86: Campo di pressione nel dominio fluido (f=21 kHz)...98

Figura 87: Campo di pressione nel dominio fluido (f=45 kHz)...99

Figura 88: Incrementi del coefficiente convettivo ottenuti nelle varie configurazioni...100

Figura 89: In alto, da sinistra a destra: trasduttore meccanico, blocco di alluminio e scambiatore. 101 Figura 90: Andamento temporale di temperatura, perdite di carico e portata...102

Figura 91: Andamento periodo per periodo dell'effetto anti-fouling...103

Figura 93: Dinamiche termiche in assenza e in presenza del campo ultrasonoro...104

Figura 94: Risultati delle varie indagini sperimentali...105

Figura 96: Scambiatore tubo-tubo impiegato in [39]...107

Figura 97: Scambiatore a tubi e mantello impiegato in [39]...108

Figura 98: Andamento della trasmittanza termica al variare della portata di acqua calda...108

Figura 99: Andamento della trasmittanza termica al variare della portata di acqua calda...109

Figura 100: Scambiatore di calore tubo-tubo analizzato in [40]...110

Figura 101: Risposta globale dello scambiatore all'avvio della trasduzione meccanica...111

Figura 102: Variazione della trasmittanza termica globale a causa della trasduzione meccanica....112

Figura 103: Scambiatore di calore con tubo interno rimovibile impiegato in [41]...113

Figura 104: Tipi di verniciature eseguite in [41] per simulare l'effetto del fouling...113

(14)

Figura 107: Rimozione dello strato di vernice sulla superficie esterna del tubo di vetro...115

Figura 108: Evoluzione della trasmittanza termica globale a seguito della pulizia...115

Figura 109: Elementi modellati in uno scambiatore di calore eccitato meccanicamente...122

Figura 110: Struttura relazionale del modello omni-comprensivo (eccitazione meccanica)...123

Figura 111: Elementi modellati in uno scambiatore di calore eccitato acusticamente...123

Figura 112: Struttura relazionale del modello omni-comprensivo (eccitazione acustica)...124

Figura 113: Struttura relazionale del modello continuo del fluido...127

Figura 114: Schema per la discussione delle equazioni del modello continuo del fluido...127

Figura 115: Struttura concettuale di un modello matematico fenomenologico...135

Figura 116: Schema per l’esposizione del modello lineare a coefficienti variabili...136

Figura 117: Orbite ristrette intorno ad un punto di equilibrio e concetto della linearizzazione...139

Figura 118: Schema per l’esposizione del modello lineare a coefficienti costanti ideale...154

Figura 119: Esempi di sistemi divergenti alle frequenze di risonanza...174

Figura 120: Individuazione dello stato termodinamico omogeneo scelto per l’aria...183

Figura 121: Temperatura in un punto dello stato di equilibrio antecedente la trasduzione...185

Figura 122: Variazione della temperatura secondo i soli meccanismi avvettivi...185

Figura 123: Individuazione dello stato termodinamico omogeneo scelto per l’acqua...189

Figura 124: Ampiezza dell'oscillazione di pressione e cavitazione acustica vaporosa...192

Figura 125: Eventuale intercettazione dell’effetto attenuante da parte di una parete...194

Figura 126: Dominio d'integrazione Ω per uno scambiatore tubo-tubo...195

Figura 127: Figura per l'esposizione della contraddizione fenomenologica di principio...197

Figura 128: Configurazione geometrica dello scambiatore a piastre monodimensionale ad aria....207

Figura 129: Valori di EF per f=1÷150 Hz e δ=0,02÷0,50 μmm...214

Figura 131: Ingrandimento della zona longilinea ad alto EF...216

Figura 132: Andamento dello scostamento con l'ascissa per tre frequenze e per δ=0,13 μmm...217

Figura 133: Repentina divergenza di EF per δ che tende a un δ critico...218

Figura 135: Andamento dell'ampiezza di oscillazione per le prime tre frequenze di risonanza...221

Figura 136: Configurazione geometrica dello scambiatore a piastre monodimensionale ad acqua.228 Figura 137: Valori di EF per f=1÷1˙000 Hz e δ=0,01÷0,1 μmm...232

(15)

Figura 143: Incipienza della cavitazione per le frequenze di anti-risonanza...237

Figura 144: Sezione longitudinale dello scambiatore tubo-tubo monodimensionale...243

Figura 145: Sezione trasversale dello scambiatore tubo-tubo monodimensionale...243

Figura 148: Valori di EF per f=160÷170 Hz e δ=0,02÷0,13 μmm (primo ingrandimento)...254

Figura 149: Valori di EF per f=162,82÷162,83 Hz e δ=0,105÷0,1085 μmm (ultimo ingrandimento)255 Figura 150: Valori di EF per f=320÷350 Hz e δ=0,01÷0,20 μmm...256

Figura 152: Valori di EF per f=339,58÷339,59 Hz e δ=0,240÷0,2435 μmm (ultimo ingrandimento)257 Figura 153: Sezione longitudinale dello scambiatore tubo-tubo monodimensionale...263

Figura 154: Sezione trasversale dello scambiatore tubo-tubo monodimensionale...263

Figura 155: Dominio di integrazione della correlazione cavitativa ponderata percentuale...266

Figura 156: Metodo per ridurre l'integrale doppio ad un integrale singolo...267

Figura 157: Valori di EF per f=1÷1˙000 Hz e δ=0,01÷0,1 μmm...269

Figura 160: Andamento radiale dell’oscillazione di pressione per tre frequenze e per δ=0,04 μmm. 271 Figura 161: Valori di EF per f=1˙000÷10˙000 Hz e δ=0,02÷0,20 μmm...272

Figura 162: Valori di EF per f=1˙460÷1˙470 Hz e δ=0,02÷0,20 μmm...273

Figura 163: Valori di EF per f=100˙000÷110˙000 Hz e δ=0,02÷0,20 μmm...273

Figura 164: Andamento della massima oscillazione di pressione per f=7000 Hz e per δ=0,1 μmm. .274 Figura 165: Configurazione geometrica dello scambiatore bidimensionale a piastre...282

Figura 168: Valori di EF per f=206,297÷206,298 Hz e δ=0,001÷0,361 μmm...299

Figura 169: Effetto dell'avvicinamento all'ampiezza critica sulla distribuzione M(y)...300

Figura 170: Effetto dell'avvicinamento all'ampiezza critica sulla distribuzione EF(y)...301

Figura 171: Andamento del massimo scostamento lungo x per f=206 Hz e per δ=0,3 μmm...302

Figura 172: Verifica del rispetto della condizione al contorno sul trasduttore...303

Figura 173: Verifica del rispetto della condizione al contorno sulla parete di scambio termico...303

Figura 174: Andamento della massima oscillazione di pressione per f=206 Hz e per δ=0,3 μmm....304

Figura 175: Andamento della derivata dello spostamento lungo x per f=206 Hz e per δ=0,3 μmm...304

Figura 176: Verifica del rispetto della condizione al contorno sul confine fluido in alto...305

(16)

Figura 179: Andamento dell’oscillazione di pressione per f=206,29763 Hz e per δ=0,3 μmm...306

Figura 180: Andamento della derivata dello spostamento per f=206,29763 Hz e per δ=0,3 μmm...307

Figura 182: Valori di EF per f=361,8695÷361,8705 Hz e δ=0,001÷0,483 μmm...308

Figura 183: Andamento del massimo scostamento lungo x per f=361,86997 Hz e per δ=0,40 μmm.309 Figura 184: Configurazione geometrica dello scambiatore bidimensionale a piastre...320

Figura 185: Valori di EF per f=1÷1˙000 Hz e δ=0÷0,1 μmm...323

Figura 186: Valori di EF per f=889÷891 Hz e δ=0÷0,1 μmm...324

Figura 187: Valori di EF per f=493÷494 Hz e δ=0÷0,1 μmm...325

Figura 191: Tracciamento alla frequenza di risonanza anomala per altezze doppie...328

Figura 192: Tracciamento alla frequenza di risonanza anomala per altezze 1ˈ000 volte superiori..329

Figura 193: Analoga tracciatura per il caso monodimensionale...329

Figura 194: Valori di EF per f=1˙000÷2˙000 Hz e δ=0÷0,1 μmm...330

Figura 195: Valori di EF per f=1˙560,5÷1˙561,5 Hz e δ=0÷0,1 μmm...331

Figura 197: Andamento dell’oscillazione di pressione per f=1481 Hz e per δ=0,05 μmm...332

Figura 199: Andamento dell’oscillazione di pressione per f=1˙655,81 Hz e per δ=0,05 μmm...333

Figura 200: Valori di EF per f=2˙000÷ 3˙200 Hz e δ=0÷0,1 μmm...334

(17)

Introduzione

Oggetto della presente opera di tesi magistrale è l’analisi delle interrelazioni esistenti fra lo scambio termico convettivo e il generico moto vibrazionale.

In effetti, negli ordinari corsi di base sulla Termodinamica Applicata e sulla Trasmissione del Calore, le dinamiche termiche e meccaniche di un fluido soggetto a scambio termico per convezione vengono volontariamente descritte trascurando i moti di vibrazione che i confini solidi di tale fluido possono esibire.

Il motivo di questa assunzione a priori è duplice: da un lato, si cerca di contenere per quanto possibile la complessità fisico-matematica dei modelli sviluppati, ritenendo questi fenomeni vibrazionali di secondaria rilevanza; dall’altro, si prende atto del fatto che nelle varie installazioni tecniche di scambio termico la vibrazione è spesso volontariamente ridotta al minimo mediante opportuni accorgimenti meccanici, col fine ultimo di prevenire e limitare eventuali danneggiamenti per fatica dello scambiatore stesso.

Per quanto detto, il tema della relazione fra la vibrazione e lo scambio convettivo è rimasto sostanzialmente inaffrontato per tutto il XIX secolo e per la prima metà del XX secolo. Tuttavia, è proprio negli anni ‘50 - ‘60 del secolo scorso che questo argomento comincia invece ad assumere un certo interesse nella comunità scientifica. I motivi alla base di questo crescente interessamento sono due: da un lato, il tema risulta un buon punto di partenza per la conduzione di dissertazioni fisiche di base che consentano di ampliare gli orizzonti della termofluidodinamica teorica allora conosciuta; dall’altro lato, alcuni ricercatori conducono esperimenti mirati a valutare la concreta modificazione dello scambio termico convettivo in seno ad uno scambiatore volontariamente sottoposto a fenomeni vibratori, ottenendo in particolari condizioni importanti incrementi del calore scambiato.

Questo secondo punto assume peculiare rilevanza nell’ottica ingegneristica: l’energia meccanica fornita per la messa in vibrazione dello scambiatore può essere ampiamente ripagata non solo nei termini di un importante incremento dell’efficienza globale dello scambiatore, ma anche nella possibilità di esercitare un’azione di controllo sull’apparecchio variando in maniera pressoché continua tale incremento (si pensi, ad esempio, all’utilità che questo controllo potrebbe avere nel sopperire alle forti variabilità di carico alle quali sono sottoposti gli scambiatori delle reti di teleriscaldamento).

Tuttavia, benché numerosi esperimenti siano stati condotti su scambiatori di differenti geometrie e operanti in differenti condizioni operative, non risulta ad oggi disponibile nessun modello che consenta di dedurre, note le caratteristiche di vibrazione alle quali l’apparecchio è sottoposto, l’effettivo incremento dello scambio termico convettivo. Questa mancanza, inquadrata ancora in un’ottica ingegneristica, risulta assai gravosa. In particolare, numerose questioni rimangono aperte, fra le quali, ad esempio: A quale frequenza conviene porre in vibrazione lo scambiatore per ottenere un dato obiettivo? Qual è la potenza di trasduzione che consente di ottimizzare un certo indice? In quale posizione dello scambiatore conviene installare l’apparecchio di eccitazione vibrazionale?

(18)

presente elaborato, il quale s’incentra appunto sullo sviluppo e sulla descrizione della struttura di opportuni modelli matematici pensati appositamente per eseguire previsioni quantitative su situazioni d’interesse applicativo.

Per far ciò, il lavoro di tesi è stato suddiviso in tre distinti capitoli.

Il primo capitolo costituisce una sorta d’introduzione all’argomento in analisi. Nella sua prima parte, si cercherà innanzitutto di delineare, con un'esposizione piuttosto discorsiva e qualitativa, una terminologia di base che consenta d’identificare univocamente le idee e i concetti mediante i quali l’acustica inquadra i fenomeni vibrazionali di un fluido o di un solido; fatto ciò, questa terminologia verrà estesa ai vari fenomeni d’interazione fra acustica e scambio termico convettivo ritenuti maggiormente rilevanti dalla letteratura sull’argomento. In particolare, tali fenomeni d’interazione verranno separatamente descritti per i tre casi più comunemente indagati nella letteratura sull’argomento, ovvero fluido gassoso, fluido liquido in convezione monofase e fluido liquido in pool-boiling.

La terminologia delineata costituirà dunque la base per la seconda parte del primo capitolo, nella quale essa verrà infatti adoperata per esporre un possibile stato dell’arte sull’argomento, concentrandosi in questa esposizione soprattutto sullo sviluppo storico delle conoscenze e sui vari risultati di volta in volta conseguiti. Al fine di delineare un ordine concettuale fra i vari articoli riportati, essi verranno suddivisi in tre categorie: rassegne bibliografiche, articoli di natura teorica riguardanti l’indagine della fisica di base soggiacente l’interazione fra scambio termico convettivo ed acustica e, per finire, articoli di natura applicativa riguardanti lo studio del comportamento d’insieme di scambiatori volontariamente posti in vibrazione.

Terminata questa introduzione, si procederà poi nel secondo capitolo allo sviluppo e alla descrizione di sei possibili modelli matematici atti alla previsione quantitativa dell’influenza che la vibrazione può avere sull’alterazione dello scambio termico per convezione. Questi modelli matematici verranno sin da subito distinti in tre diverse categorie.

I primi due prendono il nome di modelli fisico-matematici. Tale designazione trae giustificazione dal fatto che questi modelli si fondano sulla trascrizione in linguaggio matematico dei tre bilanci di massa, quantità di moto ed energia che la fisica di base impone sui sistemi continui. L'esattezza e il rigore concettuale a fondamento delle equazioni così ricavate è dunque il vero punto di forza di questa categoria di modelli: la loro risoluzione consente di valutare puntualmente come i diversi campi dinamici e termici vengono influenzati da una eventuale eccitazione vibratoria, cosicché la determinazione dell’alterazione dello scambio termico convettivo può condursi in maniera concreta, esatta e puntuale. La natura di queste equazioni costituisce purtroppo anche il principale limite di questi modelli. Infatti, è noto che i tre bilanci di cui sopra si esprimono nella loro forma generale

(19)

indica che il modello matematico in esame abbandona il ricorso alle equazioni della fisica di base nella loro forma più generale, sostituendo ad esse un’opportuna loro semplificazione ed utilizzando apposite correlazioni fenomenologiche per stimare l’effettiva alterazione dello scambio termico convettivo sulla base delle soluzioni ricavate. Invece, la designazione “con semplificazione di primo livello” indica che questa operazione di semplificazione si effettua mediante un procedimento di linearizzazione che prende comunque in considerazione le eventuali disomogeneità termofluidodinamiche dello stato precedente la messa in vibrazione. Tuttavia, al termine di questo procedimento si ottiene ancora un problema differenziale la cui risoluzione analitica è complessa (spesso impossibile) e la cui risoluzione numerica è comunque onerosa.

Per contenere ulteriormente questo costo di risoluzione, si proporranno infine tre ulteriori modelli matematici che rientrano invece nella categoria dei modelli fenomenologici con semplificazione di secondo livello. La dizione “con semplificazione di secondo livello” serve qua ad indicare che l’operazione di linearizzazione di cui sopra viene adesso condotta trascurando completamente ogni eventuale disomogeneità termofluidodinamica presente nello stato precedente la messa in vibrazione. Al prezzo delle pesanti approssimazioni introdotte in questo processo di graduale semplificazione, si ottiene in conclusione un problema matematico costituito da un’unica equazione differenziale alle derivate parziali lineari, equazione che può finalmente risolversi in forma chiusa con procedure relativamente semplici.

Il terzo capitolo concluderà infine il lavoro di tesi esemplificando la concreta applicazione dell’ultimo dei sei modelli sviluppati nel capitolo precedente. Per far ciò, anche questo capitolo viene suddiviso in due parti concettualmente distinte.

Nella prima delle due, verranno proposte e sviluppate due diverse correlazioni fenomenologiche (una per l’aria e una per l’acqua) che consentano il succitato collegamento fra i risultati ottenuti dalla risoluzione del modello fenomenologico impiegato e l’effettivo incremento dello scambio termico convettivo. Contestualmente, si forniranno anche i lineamenti fondamentali del metodo fasoriale, metodo che consente di descrivere mediante opportuni numeri complessi i fenomeni oscillatori sinusoidali in maniera compattata e che permette di conseguenza una drastica riduzione della complessità del procedimento risolutivo dell’equazione differenziale in gioco.

Nella seconda parte, infine, si procederà con l’applicazione del modello fenomenologico e delle relative correlazioni fenomenologiche sviluppate a sei casi d’interesse, casi ottenuti combinando tre differenti geometrie (cartesiana monodimensionale, cilindrica monodimensionale, cartesiana bidimensionale) con due differenti fluidi (aria ed acqua). Al termine del procedimento, saranno così disponibili sei diverse formule che correlano, caso per caso, la variazione dello scambio termico convettivo ai vari parametri di messa in vibrazione dello scambiatore, perseguendo dunque, nei limiti delle approssimazioni condotte, l’obiettivo preposto al lavoro.

Pisa, 29 Settembre 2018

(20)

(21)

C

APITOLO

1 :

S

CAMBIO

TERMICO

CONVETTIVO

E

CAMPI

ACUSTICI

:

INTRODUZIONE

GENERALE

E

RASSEGNA

BIBLIOGRAFICA

Nella prima parte del presente capitolo vengono esposte, in maniera qualitativa ed intuitiva, le principali nozioni e definizioni relative all’interazione fra scambio termico convettivo e acustica, al fine di delineare una terminologia di base propedeutica ai successivi sviluppi.

Fatto ciò, si procede nella seconda parte del capitolo alla stesura di una rassegna bibliografica sull’argomento, evidenziando i vari risultati ottenuti e l’attuale stato dell’arte.

(22)

1.1 Elementi di base e terminologia

In questa prima parte dell’elaborato si vogliono definire alcuni concetti dell’acustica, nonché discutere come questi si relazionino ai vari processi di scambio termico convettivo. L’esposizione avrà un piglio qualitativo, concentrandosi sugli aspetti fenomenologico-intuitivi dei vari processi fisici d’interesse; la loro modellazione quantitativa è invece demandata ai successivi capitoli.

1.1.1 Alcuni concetti di base dell’acustica

Si consideri per prima cosa la seguente figura:

In essa, con la dizione di mezzo elastico fluido si intende una qualsiasi porzione di materia, nello stato fisico di fluido, che può essere soggetta a compressione; i mezzi elastici fluidi di maggiore interesse ai fini del presente elaborato sono sostanzialmente i quattro seguenti: aria, acqua degassata, acqua con aria disciolta e vapore d’acqua.

Per parete s’intende invece un corpo solido, impermeabile al mezzo elastico fluido e dunque costituente un confine nei suoi confronti. In linea generale, la parete interagisce meccanicamente col mezzo elastico, deformandosi e deformandolo; un caso particolarmente importante è quello della parete rigida, ovvero quella parete per la quale il proprio spostamento e la propria

Figura 1: Concetto di mezzo elastico fluido, parete, trasduttore acustico e trasduttore meccanico

Trasduttore acustico Parete Mezzo elastico fluido Trasduttore meccanico

(23)

Il trasduttore meccanico è ancora un corpo solido che può essere animato di un moto vibratorio mediante una sorgente esterna di energia, ma, a differenza del precedente, esso non è in contatto col mezzo elastico fluido, bensì con una delle pareti del sistema.

Nel caso in cui nel sistema sia presente un trasduttore acustico si è soliti parlare di sistema

vibratorio eccitato acusticamente; analogamente, nel caso in cui sia presente un trasduttore

meccanico si parla invece di sistema vibratorio eccitato meccanicamente.

Naturalmente, non è necessario che il sistema vibratorio assuma la semplice configurazione di Figura 1: il trasduttore può esibire forme e movimenti più complessi, il mezzo elastico può a sua volta essere costituito da miscele eterogenee di mezzi elastici fluidi, le pareti possono avere forme complesse o essere assenti in alcune regioni ecc.

Precisata la terminologia di cui sopra, si consideri adesso il seguente sistema vibratorio eccitato acusticamente, nel quale è stato posto a distanza finita dal trasduttore e in una posizione generica un rilevatore di pressione, che si suppone in ogni caso essere sufficientemente piccolo da non alterare la dinamica del sistema:

S’immagini che al tempo t=0-_{il sistema si trovi in una situazione di quiete: il trasduttore è fermo,}

così come le pareti e il mezzo elastico; il rilevatore di pressione esibirà giocoforza un andamento temporale costante della pressione rilevata:

∂ P ∂t =0

Figura 2: Sistema vibratorio eccitato acusticamente e concetto di stato di equilibrio

Trasduttore acustico Parete Mezzo elastico fluido Rilevatore di pressione

A

(24)

In generale, detta ψ la generica variabile dinamica di un sistema vibratorio e detta Ω la porzione di spazio occupata dal sistema in esame, si definirà stato di equilibrio uno stato per il quale vale:

∀ψ ∧∀ ⃗x∈Ω →→→ ∂ψ (⃗x ,t) ∂t =0

Si osservi che al concetto di stato di equilibrio non è necessariamente associato quello di invariabilità spaziale; in altre parole, possono esistere stati di equilibrio per i quali:

∃ψ ∧∃⃗x∈Ω : ∇ ψ≠⃗0

Per convincersi dell’esistenza di stati di equilibrio che presentino variabilità spaziale è sufficiente pensare a una massa d’aria ferma, ma non isoterma, o ancora ad una massa di acqua in un campo gravitazionale.

Ciò precisato, si riprenda in considerazione il sistema vibratorio di figura 2 e si animi, al tempo t=0+_{e per un intervallo temporale finito}_{Δ t<∞ , il trasduttore di moto oscillatorio:}

Figura 3: Eccitazione per un tempo finito del trasduttore acustico in un sistema in equilibrio

Trasduttore acustico Parete Mezzo elastico fluido Rilevatore di pressione Onda acustica Eventuale movimento delle pareti

A

(25)

Osservando l’andamento della pressione misurata si registra quanto segue:

Il misuratore non denuncia variazioni di pressione al tempo t=0+_{, bensì è necessario il trascorrere}

di un tempo τ (che è generalmente diverso da Δ t ) prima che essa inizi a discostarsi dalla pressione di equilibrio PE; infine, poiché il trasduttore rimane eccitato per un intervallo temporale limitato,

al tendere di t→∞ la pressione misurata esibisce oscillazioni vieppiù smorzate dai fenomeni dissipativi, fino a ritornare al valore di equilibrio.

L’insieme delle sopra esposte dinamiche viene designato con l’appellativo di perturbazione

acustica o con quello di onda acustica.

Si osservi che nel passaggio dell’onda acustica anche le pareti giocano un proprio ruolo, perturbando e venendo perturbate dal mezzo elastico in una mutua interazione. Solamente nel caso in cui esse fossero rigide e fisse, la dinamica rimarrebbe confinata al solo mezzo elastico.

All'occorrenza, al fine di rendere più precisa la terminologia impiegata, può risultare utile distinguere le dinamiche del mezzo fluido e della parete adoperando il relativo suffisso: si avranno così un’onda acustica nel fluido e un’onda acustica nel solido.

(26)

Prendendo ancora una volta in considerazione il medesimo sistema di figura 2, si supponga che il trasduttore venga animato di moto periodico sempre al tempo t=0+_{, ma adesso per un intervallo}

temporale Δ t →∞ :

In questo caso si registra un andamento differente:

Figura 5: Eccitazione per un tempo infinito del trasduttore acustico in un sistema in equilibrio

Trasduttore acustico Pareti (eventualmente oscillanti) Mezzo elastico fluido oscillante Rilevatore di pressione A

(27)

Ancora una volta, il misuratore non mostra variazioni di pressione al tempo iniziale t=0+_{, ma è}

comunque necessario il trascorrere del tempo τ' prima che essa inizi a discostarsi dal valore di equilibrio; tuttavia, poiché in questo caso il trasduttore non viene diseccitato, la pressione registrata non tenderà, col passare del tempo, a quella di equilibrio, bensì si porterà ad una situazione di periodicità temporale:

∀ψ ∧∀ ⃗x∈Ω , ∃T (⃗x) : ψ (⃗x ,t+T )=ψ (⃗x ,t)

L’insieme delle sopra esposte dinamiche viene designato col nome di onda acustica stazionaria o con quello di campo acustico.

Il campo acustico può essere in altre parole definito come la descrizione, punto per punto del dominio in esame, di come le diverse variabili ψ oscillano nel loro moto periodico, il quale, beninteso, può discostarsi sensibilmente dal moto sinusoidale.

Infine, è ancora importante precisare come le pareti giochino il proprio ruolo nello stabilire le caratteristiche del campo acustico derivante da un dato movimento del trasduttore e come solamente nel caso di pareti rigide sia possibile derivare tale campo prescindendo dalla loro dinamica.

Analogamente alla distinzione fatta per le perturbazioni, è possibile usare gli stessi suffissi per distinguere i due campi acustici in campo acustico nel fluido e campo acustico nel solido.

(28)

Nel caso in cui si prenda in considerazione un sistema vibratorio eccitato meccanicamente, è possibile descriverne la fenomenologia mediante i medesimi concetti esposti sopra per il caso del sistema vibratorio eccitato acusticamente:

Applicando un’eccitazione del trasduttore temporalmente limitata è possibile trasporre senza alcuna modifica il concetto di onda acustica, così com’è possibile identificare ancora le sue componenti di onda acustica nel fluido ed onda acustica nel solido.

Anche i concetti di campo acustico, campo acustico nel fluido e campo acustico nel solido possono essere estesi dal caso precedente a quello in esame senza modifiche concettuali.

La differenza sostanziale dei due sistemi può essere tuttavia identificata nella conseguenza temporale dei fenomeni fisici: se nel caso di sistema vibratorio eccitato acusticamente è il mezzo fluido ad essere perturbato dal trasduttore, e dunque la parete ad essere perturbata dal mezzo fluido, nel sistema vibratorio eccitato meccanicamente i ruoli s’invertono, essendo la parete il primo soggetto a ricevere la perturbazione e a trasferirla di conseguenza al mezzo fluido.

Figura 7: Estensione dei concetti visti a un sistema vibratorio eccitato meccanicamente

Trasduttore meccanico Parete Mezzo elastico fluido Rilevatore di pressione

(29)

1.1.2 Distinzione dei campi acustici in base alla loro frequenza: infrasuoni, suoni

ed ultrasuoni

I campi acustici, com’è noto, possono essere percepiti dall’essere umano mediante il senso dell’udito. Infatti, la peculiare e complessa morfologia dell’orecchio umano consente la rilevazione delle eventuali oscillazioni di pressione in corrispondenza dello stesso.

Non tutte le oscillazioni di pressione possono tuttavia essere percepite: sebbene si manifestino marcate variazioni da soggetto a soggetto, si è convenzionalmente stabilito che l’essere umano medio non riesca a percepire oscillazioni con frequenza minore di 20 Hz o maggiore di 20 kHz

Alla luce di questa circostanza, si è così convenuto definire infrasuoni tutte le oscillazioni acustiche che avvengono con frequenza inferiore ai 20 Hz, suoni quelle che avvengono con frequenza compresa fra i 20 Hz e i 20 kHz ed ultrasuoni quelle che avvengono con frequenza superiore ai 20 kHz.

Un campo acustico nel quale le varie oscillazioni avvengono in ogni punto con la medesima frequenza ¯f può essere designato utilizzando l’opportuno suffisso, e si parla allora di campo

acustico infrasonoro, campo acustico sonoro e campo acustico ultrasonoro, in dipendenza del

valore di ¯f .

Gli ultrasuoni possono a loro volta ammettere una successiva suddivisione in basa alla frequenza di oscillazione:

Figura 8: Classificazione in base a frequenza e potenza degli ultrasuoni

20 kHz 100 kHz 1 MHz frequenza Ultrasuoni a bassa frequenza Ultrasuoni ad alta frequenza Ultrasuoni a ad altissima frequenza Ultrasuoni ad alta potenza Ultrasuoni a bassa potenza

(30)

Se le dizioni bassa, alta e altissima frequenza si commentano da sole, la distinzione in base alla potenza è quantomeno ambigua e necessita di alcuni chiarimenti. Si consideri a tal riguardo un trasduttore acustico che si interfacci con un mezzo fluido illimitato:

Si immagini dunque di animare il trasduttore acustico di moto oscillatorio a diverse frequenze ultrasonore, ferma restando la potenza meccanica immessa, e di misurare frequenza per frequenza l’entità dell’oscillazione di pressione nei vari punti del mezzo fluido.

La conclusione che si potrebbe trarre da una simile indagine è la seguente: minore è la frequenza di eccitazione, maggiore è l’entità di oscillazione della pressione in ogni punto del mezzo.

Una possibile spiegazione di questo fatto, seppur decisamente euristica, può porsi osservando che tanto minore è il numero di sollecitazioni rivolte dal trasduttore al mezzo fluido nell’unità di tempo, tanto maggiore è l’energia ceduta nella singola oscillazione, se costante deve essere la potenza fornita. In questo senso deve interpretarsi il significato di bassa o alta potenza, cioè nella possibilità di originare alterazioni di pressione di minore o maggiore entità al mantenersi costante della potenza immessa.

Come si avrà modo di osservare nel proseguo del lavoro, l’intervallo ultrasonoro più utilizzato ed indagato nella letteratura sull’argomento è quello degli ultrasuoni ad elevata potenza.

Figura 9: Concetto di ultrasuono a bassa o elevata potenza

Trasduttore acustico Mezzo elastico fluido illimitato Parete rigida (verticalmente illimitata)

(31)

1.1.3 Principali fenomeni di alterazione dello scambio termico convettivo di una

sostanza gassosa con una parete in presenza di campi acustici

Si prenda in considerazione la figura seguente:

In essa è raffigurata una sezione trasversale di in un recipiente adiabatico e rigido contenente del gas (ad esempio, aria), con parte della parete di destra riscaldata per effetto Joule, con potenza regolabile, e con parte della parete inferiore mantenuta mediante un’azione refrigerante esterna ad una temperatura costante (ad esempio, 20 °C). Nel recipiente è anche presente un trasduttore acustico, il quale può animarsi di un moto sinusoidale alternativo di diverse frequenze e diverse ampiezze.

I diversi concetti d’interesse saranno esposti esemplificandoli a questa particolare configurazione: essi possono essere comunque generalizzati a un qualsivoglia sistema che preveda scambi termici fra un gas e una parete, sia esso acusticamente e/o meccanicamente eccitato, aperto o chiuso, con pareti rigide e/o elastiche, diabatiche e/o adiabatiche ecc.

Specificato ciò, si supponga in prima istanza che trasduttore e piastra elettrica siano spenti: è evidente che l’aria si porta in una condizione di equilibrio termodinamico, risultando isoterma a 20 °C e ferma in ogni punto del recipiente.

Figura 10: Gas che scambia termicamente in assenza di campo acustico

Trasduttore acustico Parete riscaldata elettricamente con potenza regolabile Mezzo fluido gassoso Parete isoterma esternamente refrigerata Pareti rigide ed adiabatiche

(32)

Da questa condizione di equilibrio si proceda poi accendendo la piastra alla minima potenza disponibile, dissipando dunque una piccola potenza elettrica in energia interna della piastra stessa. Com’è noto dai corsi di Fisica Tecnica e di Trasmissione del Calore, la temperatura della piastra inizierà ad aumentare e, contestualmente a ciò, i vari fenomeni di scambio termico insorgeranno: la piastra riscaldata inizierà a scambiare calore radiante verso la parete isoterma, l’aria condurrà calore sempre dalla parete riscaldata verso quella isoterma, agevolata in ciò dai moti di convezione naturale che inizieranno ad instaurarsi in suo seno.

Tali fenomeni di scambio termico sono notoriamente tanto più intensi quanto più elevata è la temperatura della piastra riscaldata; per questa ragione, tale piastra si porterà al tendere di t→∞ ad un dato valore di temperatura per il quale la potenza elettrica dissipata eguaglierà esattamente il calore assorbito dalla piastra refrigerata.

In questa condizione le diverse variabili raggiungeranno un valore stazionario: l’aria, in virtù della relativamente piccola potenza elettrica dissipata, assumerà una certa configurazione stabile di

moto laminare, con definiti profili termici e dinamici; anche le pareti raggiungeranno una precisa

distribuzione termica e un conseguente scambio radiativo invariabili nel tempo. Poiché quanto sopra esposto discorsivamente si traduce matematicamente nella:

∀ψ ∧∀ ⃗x∈Ω →→→ ∂ψ (⃗x ,t) ∂t =0

si può asserire, per quanto detto a pag. 4, che il sistema si è portato in un nuovo stato di equilibrio (seppur con variabilità spaziale).

Raggiunto questo stato di equilibrio, si aumenti adesso di un poco la potenza dissipata nella piastra: il sistema percorrerà un nuovo transitorio, al termine del quale si raggiungerà un nuovo stato di equilibrio, con aria in moto più vivace rispetto al caso precedente, ma ancora in condizioni laminari.

Si prosegua con questa operazione, aumentando di volta in volta la potenza dissipata per effetto Joule: il sistema si poterà in stati di equilibrio con aria in moto vieppiù animato, fino al punto in cui le velocità saranno così elevate da rendere instabile il moto dell’aria nel recipiente: si raggiungerà così una condizione di moto turbolento.

(33)

Il moto turbolento, com’è noto, è caratterizzato da una fluttuazione temporale pseudo-casuale delle diverse variabili ψ, a causa dei vortici di diverse dimensioni che animano il flusso fluido.

Questa costante fluttuazione impedisce a tutti gli effetti al sistema di raggiungere una condizione esattamente stazionaria; in altre parole, esisteranno comunque delle variabili ψ per le quali varrà:

∂ψ (⃗x ,t) ∂t ≠0

Ci si può allora chiedere se lo stato di moto turbolento raggiunto dall’aria costituisca o meno uno stato di equilibrio, in quanto la definizione stessa di stato di equilibrio sembrerebbe essere contraddetta.

La risposta a questa domanda si può trovare nella cosiddetta teoria statistica della turbolenza, sviluppata da Kolmogorov ed altri nella prima metà del secolo passato. Secondo questa teoria, le diverse variabili di un flusso turbolento stazionario possono vedersi come la somma di un valore medio ψ , costante nel tempo per una data posizione, e di un valore statisticamente fluttuante ~¯ ψ :

ψ (⃗x ,t )=¯ψ (⃗x)+~ψ (⃗x ,t)

Si può allora dire che l’aria raggiunge effettivamente uno stato di equilibrio, se si considerano i valori medi ψ delle diverse variabili in gioco. In termini matematici, si può estendere ai moti¯ turbolenti la nozione di stato di equilibrio esposta a pag. 4, definendola come:

∀ψ ∧∀ ⃗x∈Ω →→→ ∂ ¯ψ (⃗x ,t) ∂t =0

(34)

Chiarito il concetto che l’accensione della piastra porta il sistema in stati di equilibrio con variabilità spaziali, si procede adesso esponendo le modificazioni al campo termofluidodinamico che vengono introdotte con l’accensione del trasduttore acustico.

A tal fine si riprenda in considerazione il sistema di figura 10, e si supponga che tale sistema abbia raggiunto, a seguito dell’accensione della piastra elettrica, uno stato di equilibrio caratterizzato da un moto laminare. Si immagini adesso di eccitare per un tempo illimitato il trasduttore acustico, originando così nell’aria un campo acustico:

Figura 12: Gas che scambia termicamente in presenza di un campo acustico

Trasduttore acustico Parete riscaldata elettricamente con potenza regolabile Mezzo fluido gassoso oscillante Parete isoterma esternamente refrigerata Pareti rigide ed adiabatiche

(35)

La generica variabile ψ seguirà un andamento qualitativo analogo a quello riportato nella figura che segue:

Si osservi che, oltre alla tipica oscillazione periodica propria dei campi acustici, il secondo importante effetto è quello della possibile variazione del valore medio dell’oscillazione rispetto al precedente valore di equilibrio.

Figura 13: Accensione del trasduttore in caso di moto laminare

ACCENSIONE TRASDUTTORE

ARRIVO PERTURBAZIONE

VALORE DEL PRECEDENTE STATO DI EQUILIBRIO NUOVO VALORE MEDIO

(36)

Supponendo invece di eccitare per un tempo illimitato il trasduttore acustico in un sistema che abbia raggiunto uno stato di equilibrio caratterizzato da aria in moto turbolento, l’andamento qualitativo della generica variabile ψ non esibirà più una periodicità esatta, ma sarà sporcato dalle fluttuazioni turbolente che comunque si manifesteranno a regime:

Si sottolinea dunque che l’eccitazione acustica di un mezzo animato di moto turbolento non conduce ad uno stato stazionario che soddisfi pienamente la condizione di periodicità insita nella definizione di campo acustico fornita a pag. 7; è possibile comunque osservare soddisfatta tale periodicità una volta che l’andamento di ψ venga depurato della sua componente stocastica turbolenta. Anche nel caso di moto turbolento, il valore medio di ψ nel corso della sua oscillazione può variare sensibilmente rispetto al valore di equilibrio precedentemente raggiunto.

E’ altrettanto importante osservare come l’interazione fra eccitazione acustica e turbolenza sia un argomento estremamente complesso nella sua modellazione analitica ed interpretazione, motivo per cui essa risulta ad oggi un terreno in gran parte inesplorato. Infatti, se da un lato il campo acustico originato dal trasduttore può modificare entità e natura delle fluttuazioni turbolente, dall’altro queste stesse fluttuazioni possono originare ulteriori perturbazioni acustiche e campi acustici con frequenza anche molto diversa da quella di eccitazione.

Figura 14: Accensione del trasduttore in caso di moto turbolento

ACCENSIONE TRASDUTTORE

ARRIVO PERTURBAZIONE

NUOVO VALORE MEDIO (IN CAMPO ACUSTICO)

(37)

I due tipi di modificazione appena esposti consentono finalmente di interpretare i vari fenomeni di alterazione dello scambio termico da parte dei campi acustici, generalmente richiamati dalla letteratura sull’argomento e riconosciuti da essa come principali.; nel caso di scambio termico fra una parete ed una sostanza gassosa, essi sono tre.

Il primo di essi prende il nome di dissipazione viscosa del campo acustico (in inglese, heating), ed è legata al primo tipo di modificazione, in particolare all’insorgenza dell’oscillazione del campo di velocità nel sistema. Infatti, questo movimento periodico causa a sua volta l’originarsi dei vari fenomeni dissipativi meccanici legati alla viscosità del mezzo gassoso e, in misura generalmente minore, delle eventuali pareti non rigide; il risultato di questo processo è una perpetua degradazione del lavoro meccanico fornito dal trasduttore in energia interna del gas e delle pareti elastiche.

Nella figura che segue, si riporta l’andamento qualitativo del flusso di potenza meccanica introdotta con la trasduzione verso le zone di dissipazione viscosa nel caso esemplificato nel presente capitolo:

In questo caso, la semplice applicazione del primo principio della termodinamica mostra come la totalità della potenza meccanica introdotta dal trasduttore esca dal sistema sotto forma di calore dalla parete esternamente refrigerata, evidenziando come la dissipazione viscosa sia spesso il destino ultimo dell’energia di trasduzione.

Figura 15: Concetto di dissipazione viscosa del campo acustico

Trasduttore acustico Parete riscaldata elettricamente con potenza regolabile Mezzo fluido gassoso oscillante Parete isoterma esternamente refrigerata Pareti rigide ed adiabatiche

=

Flusso dienergia meccanica

(38)

Contestualmente, si osservi anche la forte analogia fra la fenomenologia della dissipazione viscosa del campo acustico e i fenomeni di assorbimento ottico che si osserverebbero iniettando radiazione luminosa nel medesimo sistema.

Il secondo fenomeno di alterazione dello scambio termico è designato come corrente acustica (in inglese, acoustic streaming), ed è invece connesso al secondo tipo di modificazione, in particolare alla variazione della media temporale del vettore di velocità del mezzo elastico fluido.

Gli effetti dissipativi dell’energia di oscillazione immessa con il trasduttore infatti, oltre a produrre il sopra esposto fenomeno di heating, generano una serie di disomogeneità degli sforzi meccanici in seno al fluido, le quali a loro volta danno origine ad un movimento macroscopico del mezzo elastico gassoso; il risultato di questo processo è una iniziale trasformazione dell’energia meccanica di oscillazione in energia cinetica del mezzo elastico gassoso, la quale viene comunque trasformata in energia interna del gas mediante successivi fenomeni viscosi.

Si riporta nella figura seguente una riproduzione qualitativa di una possibile corrente acustica che si origina sopra un trasduttore acustico immerso in un semi-spazio illimitato:

Trasduttore acustico eccitato Mezzo elastico fluido illimitato Parete rigida (orizzontalmente illimitata) Corrente acustica (acoustic streaming)

(39)

Nel particolare caso di figura 16 l’effetto della corrente acustica è evidente: nello stato di equilibrio precedente l’eccitazione il valore medio di velocità era nullo, in quello successivo sono presenti precise traiettorie chiuse.

Il cambiamento della media temporale del vettore di velocità può contribuire sia ad incentivare i diversi fenomeni convettivi, sia ad assottigliare gli strati limite sulle pareti di scambio termico, favorendovi così i processi di conduzione del calore.

Tale incremento è particolarmente evidente nei casi in cui il moto convettivo del precedente stato di equilibrio fosse blando: in questi casi, una vigorosa trasduzione può originare un moto macroscopico che altera sensibilmente lo scambio termico.

Viceversa, nel caso in cui il precedente moto convettivo fosse rilevante, la variazione del moto medio è in genere meno importante e può addirittura andare sia a favorire che a sfavorire lo scambio di calore. Ritornando ancora una volta all’esempio dell’aria contenuta nel recipiente rigido, la corrente acustica può infatti favorire un rafforzamento o un indebolimento del moto di convezione naturale precedentemente instauratosi:

Riferendoci alla figura, nella quale il moto di convezione del precedente stato di equilibrio era caratterizzato da una rotazione antioraria del fluido in prossimità della zona di scambio termico, si avrebbe un rafforzamento della convezione con una variazione in senso antiorario del flusso medio e viceversa con una variazione in senso orario.

Figura 17: Possibili effetti di rafforzamento o di indebolimento del moto convettivo

Trasduttore acustico Parete riscaldata elettricamente con potenza regolabile Mezzo fluido gassoso oscillante Parete isoterma esternamente refrigerata Pareti rigide ed adiabatiche Moto convettivo antecedente la trasduzione

Variazioni dovute alla corrente acustica

(40)

Il terzo ed ultimo meccanismo di scambio termico prende invece il nome di modificazione

acustica dello strato limite termico (in inglese, acoustic modification of thermal boundary layer), ed

è collegato al primo tipo di modificazione, in particolare all’oscillazione della componente normale della velocità relativa fra fluido e parete nella zona dello strato limite termico.

Com’è difatti noto dai corsi di Trasmissione del Calore, in prossimità di una parete soggetta ad uno scambio termico con un gas che la lambisce si origina una zona di flusso detta strato limite termico, nella quale il moto si mantiene laminare e nella quale lo scambio termico è di natura sostanzialmente conduttiva.

In generale, in un mezzo elastico gassoso soggetto ad un campo acustico le particelle di fluido dello strato limite termico subiscono un’oscillazione normale alla parete, così come la parete stessa può oscillare in questa direzione se non è rigida e ferma:

Com’è intuitivo che sia, nella posizione di minima distanza relativa lo scambio termico risulta maggiorato rispetto alla posizione media, mentre nella posizione di massima distanza esso risulta decrementato. Le due fasi non sono tuttavia esattamente bilanciate: il calore scambiato in più nella fase di ravvicinamento è in generale maggiore di quello scambiato in meno nella fase di

Figura 18: Concetto di modificazione acustica dello strato limite termico

Oscillazione dello strato limite termico

Oscillazione relativa

Oscillazione della parete

(41)

1.1.4 Principali fenomeni di alterazione dello scambio termico convettivo di una

sostanza liquida monofase con una parete in presenza di campi acustici

Si riprenda in considerazione il precedente sistema, e si immagini di sostituire al mezzo elastico gassoso un mezzo elastico liquido (ad esempio, acqua):

Nel caso in cui il trasduttore acustico sia spento, tutte le considerazioni fatte al paragrafo precedente per il mezzo gassoso continuano a valere senza modificazione alcuna: gli stati che conseguono all’accensione della piastra sono stati di equilibrio, eventualmente mediati nel caso che presentino condizioni di moto turbolento.

Qua e nel proseguo del paragrafo si assume che le potenze elettriche dissipate non siano così elevate da causare la comparsa di vapore nel dominio fluido, e che dunque l’acqua permanga ovunque in condizioni di liquido monofase; il caso in cui avvengano transizioni di fase nel fluido verrà affrontato nel successivo paragrafo.

Figura 19: Liquido che scambia termicamente in assenza di campo acustico

Trasduttore acustico Parete riscaldata elettricamente con potenza regolabile Mezzo fluido liquido Parete isoterma esternamente refrigerata Pareti rigide ed adiabatiche

(42)

Analogamente a quanto fatto prima, s’immagini dunque di eccitare il trasduttore da un antecedente stato di equilibrio; ancora una volta, le considerazione esposte per il mezzo gassoso continuano ad essere valide senza precisazione alcuna: nel sistema si originerà un campo acustico, eventualmente da depurarsi delle fluttuazioni stocastiche nel caso di zone di flusso turbolento:

Le modificazioni apportate all’andamento della generica variabile ψ, sia essa relativa al liquido o alla parete, rimangono le medesime due: insorgenza di un fenomeno oscillatorio periodico e possibile variazione del valore medio temporale.

Anche i primi due meccanismi di alterazione dello scambio termico sopra esposti, cioè la dissipazione viscosa dello strato limite e la corrente acustica, continuano a manifestarsi senza cambiamenti concettuali: liquido e pareti assorbono energia meccanica nell’oscillazione e il liquido può manifestare sensibili variazioni delle linee di flusso medie.

La modificazione acustica dello strato limite termico, seppure presente e inalterata nella sua descrizione concettuale, assume nel caso dei liquidi un’importanza secondaria a causa della loro sostanziale incomprimibilità, la quale non consente apprezzabili deformazioni dello strato limite termico in direzione normale alla parete.

Figura 20: Liquido che scambia termicamente in presenza di un campo acustico

Trasduttore acustico Parete riscaldata elettricamente con potenza regolabile Mezzo fluido liquido oscillante Parete isoterma esternamente refrigerata Pareti rigide ed adiabatiche

(43)

Sebbene sia stato possibile delineare fino a questo momento un quasi perfetto parallelismo fra il caso del gas e quello del liquido, questi due mezzi elastici presentano una sostanziale e fondamentale differenza a causa degli ultimi due fenomeni di modifica dello scambio termico, qua sotto esposti. Questi due meccanismi, assenti nel gas, ma presenti nel liquido, portano a cinque il numero totale dei fenomeni coinvolti nell’analisi dell’alterazione dello scambio termico di una sostanza liquida con una parete da parte di un campo acustico.

Il primo dei due prende il nome di cavitazione acustica vaporosa (in inglese, vaporous acoustic

cavitation) ed è collegato al primo tipo di modificazione fondamentale, in particolare

all’oscillazione dello stato termodinamico del mezzo elastico liquido.

Per illustrare il concetto, si riprenda in considerazione il sistema di figura 19, e si immagini trasduttore e piastra spenti: come già detto, l’acqua si porterà in uno stato di equilibrio termodinamico, isoterma a 20 °C e isobara; a titolo di esempio si supponga che la pressione, costante nel dominio, sia pari a 1 bar.

Si supponga anche che l’acqua sia stata precedentemente completamente degassata, in modo che essa non presenti alcuna traccia di gas in essa disciolto.

Si animi adesso il trasduttore di un piccolo moto di oscillazione e si vada a misurare in un generico punto del dominio fluido pressione e temperatura:

Figura 21: Sistema per l'illustrazione del concetto della cavitazione acustica vaporosa

Trasduttore acustico Riscaldatore spento Acqua oscillante Parete isoterma esternamente refrigerata Pareti rigide ed adiabatiche Misuratore di pressione e di temperatura

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Nell’acqua si originerà un campo acustico il quale, come più volte detto, causerà un’oscillazione delle variabili misurate, nonché una possibile variazione del loro valore medio.

S’immagini di registrare queste variazioni su una curva, parametrizzata con il tempo, sul piano pressione-temperatura dell’acqua: tale curva, in virtù della periodicità del moto, risulterà una curva chiusa. Si aumenti adesso l’ampiezza del trasduttore acustico, ferma restando la frequenza, e si tracci la nuova curva sul piano P-T; eseguendo questa operazione per ampiezze vieppiù grandi, il risultato che si otterrebbe sarebbe qualitativamente il seguente:

Come si può vedere dalla figura appena riportata, nella quale l’ampiezza dell’oscillazione di temperatura è volutamente esagerata per esigenze di raffigurazione (la curva sarebbe in realtà molto prossima ad un segmento verticale), per un certo valore minimo dell’ampiezza di trasduzione

Figura 22: Traiettorie dello stato termodinamico dell'acqua sul relativo piano P-T

P

T

STATO LIQUIDO STATO DI VAPORE STATO SOLIDO PUNTO CRITICO PUNTO TRIPLO Stato di equilibrio (1 bar, 20 °C) Traiettorie in campo acustico Zona di insorgenza della cavitazione acustica vaporosa