Identificazione degli elementi in gioco e delle relative mutue interazioni: delineamento della struttura di un modello omni-comprensivo per lo studio di uno

scambiatore di calore volontariamente eccitato

Nel paragrafo 1.1 del presente elaborato sono stati esposti in maniera discorsiva i principali fenomeni fisici di base che causano l’alterazione dello scambio termico convettivo in presenza di un campo acustico. La descrizione di questi fenomeni, come più volte detto, era soprattutto necessaria al delineamento di una terminologia di base, motivo per cui l’utilizzo dello strumento matematico è stato volontariamente ridotto al minimo per lasciar spazio alla esposizione discorsiva ed intuitiva dei concetti in gioco.

Tuttavia, le scienze fisiche moderne, come noto, non procedono meramente descrivendo verbalmente i fenomeni in gioco, ma piuttosto sviluppando dei modelli matematici mediante i quali effettuare delle previsioni quantitative quanto più accurate possibili, previsioni che possono essere poi utilizzate in ambito tecnico ed ingegneristico per il progetto e l’esercizio di una qualsivoglia macchina.

Il primo aspetto, forse il più basilare ma anche delicato, da prendere in considerazione è così il seguente: quale porzione di spazio voglio modellare, e quanti e quali fenomeni fisici voglio prendere in considerazione?

Per chiarire quanto appena detto, si riportano qua sotto le parole che il grande fisico Luigi Ettore Picasso utilizza nell’introduzione del suo corso di Fisica Generale [42]:

[…] Desidero concludere queste sbrigative considerazioni con due parole su un aspetto della metodologia fisica che incontrerete continuamente: il problema delle schematizzazioni.

Come ho detto e come ben sapete, il mondo dei fenomeni (fisici) che ci circonda è estremamente complesso: oserei dire che qualsiasi, apparentemente semplice, fenomeno fisico coinvolge in una qualche misura tutta o quasi tutta la fisica. Pensate alla caduta di un grave dalla Torre di Pisa: oltre alla gravitazione universale, a causa della presenza dell’aria entra in gioco la teoria dei fluidi, gli scambi di calore (e quindi la termodinamica), magari l’elettrizzazione per strofinio (e quindi l’elettromagnetismo, la fisica atomica, ecc) e si potrebbe continuare, tirando in ballo senza troppo sforzo la relatività ristretta e quella generale, e così via.

Da quanto appena detto sembrerebbe che la modellizzazione matematica di un qualsiasi fenomeno sia destinata a fallire ancora prima di essere avviata.

In realtà il compito dello scienziato è proprio quello di riuscire ad identificare quali fenomeni prendere in considerazione e quali invece trascurare nel processo di modellizzazione, in modo da raggiungere il quanto più corretto equilibrio fra complessità e precisione nella previsione. Il risultato sarà sempre e comunque sporcato da imprecisioni e trascuratezze, ma può comunque essere un valido ausilio nella scienza applicata.

Per usare ancora una volta le parole di Picasso, si riporta il continuo dell’estratto di sopra:

Per fortuna che Galileo non ha avuto la pretesa (assurda) di capire tutte queste cose quando effettuava i suoi famosi esperimenti, altrimenti non avrebbe fatto molti passi avanti. […] Ho detto “per fortuna che...”, ma in realtà non è una questione di fortuna, è una questione di metodologia, di cui Galileo era ben consapevole, anzi ce l’ha insegnata proprio Lui: sia nella fisica sperimentale che nell’analisi teorica dei fenomeni bisogna cercare di minimizzare (negli esperimenti) , trascurare (nell’analisi teorica) tutti quegli effetti che consideriamo secondari rispetto al problema che ci interessa […]. Scherzosamente si dice che il primo principio della fisica “meglio un cattivo numero che nessun numero […], al quale io però aggiungerei il secondo principio “se un cattivo numero può essere migliorato, deve essere migliorato”.

Così incontrerete continuamente tante semplificazioni o “schematizzazioni” che ci consentiranno di capire e di calcolare gli aspetti principali di un problema: il concetto di punto materiale, quello di corpo rigido, quello di condizioni iniziali ben definite, il trascurare questo o quello (attriti, resistenza dell’aria, effetti relativistici, ecc).

Qui le obiezioni non vengono tanto dai matematici, che anzi sono maestri nel riuscire ad estrarre l’essenziale dal contingente, il generale dai tanti particolari, ma dai filosofi, che ci accusano di occuparci di un “mondo di carta”; un mondo cioè che non è quello reale, ma è quello che ci fa comodo per i nostri conti […].

In conclusione, questa lunga (e forse prolissa) introduzione metodologica ha dunque il fine di evidenziare come non sia possibile rispondere in maniera univoca alla domanda di sopra, mentre si possono solamente sviluppare modelli matematici di diversa complessità, la cui validità risiede solamente nell’efficacia della loro applicazione.

Tutto quanto sopra preposto, si procede adesso alla descrizione della struttura del modello matematico più generale preso in considerazione nel presente elaborato, cioè il cosiddetto modello

omni-comprensivo. Questo modello matematico tenta di prendere in considerazione tutti i fenomeni

fisici e tutte le porzioni di spazio di maggiore rilevanza (si ripete, rilevanza attribuita secondo la personale discrezione dell’autore) coinvolte nella descrizione di uno scambiatore di calore volontariamente eccitato. Come si vedrà, tutti i modelli matematici successivi sono in una qualche misura una semplificazione del modello omni-comprensivo.

Gli attori in gioco nel modello omni-comprensivo sono tutti quelli già esposti discorsivamente nel paragrafo 1.1, nessuno escluso:

• uno o più mezzi elastici fluidi, con i relativi confini fluidi; • pareti dello scambiatore, con i relativi confini solidi e fluidi; • strati incrostanti, con i relativi confini solidi e fluidi;

• trasduttore (acustico o meccanico).

Tutte queste porzioni di spazio interagiscono fra di loro, in una complessa serie di mutue relazioni. La schematizzazione di queste interazioni è diversa a seconda che la trasduzione sia acustica o meccanica, in quanto l’input arriva nel primo caso al mezzo elastico fluido, mentre nel secondo alle pareti dello scambiatore.

Per il caso dello scambiatore di calore eccitato meccanicamente, i quattro elementi formano una struttura analoga a quella sotto riportata come esempio:

Mezzo elastico fluido A

Mezzo elastico fluido B Parete

Confine fluido della parete

Confine fluido del mezzo elastico fluido Confine solido

della parete

In questo caso, il modello omni-comprensivo prevede la struttura relazionale seguente:

Nel caso invece dello scambiatore di calore eccitato acusticamente, gli elementi in gioco avranno una disposizione leggermente differente, analoga a quella sotto riportata come esempio:

Figura 110: Struttura relazionale del modello omni-comprensivo (eccitazione meccanica)

Stato termofluidodinamico

dei mezzi elastici fluidi Stato termomeccanico delle pareti

Stato termomeccanico dello strato incrostante Confini fluidi

dei mezzi elastici fluidi

Confini fluidi e solidi delle pareti Trasduttore

meccanico

Scambio di calore e lavoro

Input Deposizione solida

Figura 111: Elementi modellati in uno scambiatore di calore eccitato acusticamente

Mezzo elastico fluido A

Mezzo elastico fluido B

Trasduttore acustico Parete

Confine fluido della parete

Confine fluido del mezzo elastico fluido Confine solido

della parete

Strato incrostante _Eventuali sostegni meccanici

Adesso, il modello omni-comprensivo si modifica leggermente come segue:

Una volta identificati soggetti e relazioni in gioco in questo modello, il procedimento matematico si articola come segue:

• sia il mezzo elastico fluido, che le pareti, che lo strato incrostante vengono descritti mediante la visione del modello continuo, secondo la quale queste entità sono rappresentate da opportuni campi tridimensionali delle diverse variabili meccaniche e termodinamiche. Questi campi sono dunque mutuamente collegati dalle relazioni quantitative della meccanica dei fluidi e della meccanica dei solidi, relazioni come noto espresse mediante equazioni differenziali alle derivate parziali;

• queste equazioni differenziali vengono dunque risolte imponendo opportune condizioni al contorno sui rispettivi confini solidi e fluidi. Queste condizioni al contorno possono essere correlazioni per lo scambio di calore e quantità di moto, correlazioni per valutare come avviene la deposizione solida in dipendenza dello stato termofluidodinamico del flusso e le condizioni di input della trasduzione sui confini (delle pareti, se eccitato meccanicamente, del fluido, se eccitato acusticamente).

Figura 112: Struttura relazionale del modello omni-comprensivo (eccitazione acustica)

Stato termofluidodinamico

dei mezzi elastici fluidi Stato termomeccanico delle pareti

Stato termomeccanico dello strato incrostante Confini fluidi

dei mezzi elastici fluidi

Confini fluidi e solidi delle pareti Trasduttore

acustico

Scambio di calore e lavoro

Da quanto detto, appare piuttosto evidentemente come il ricavare la soluzione analitica di un così complesso sistema sia praticamente sempre un’operazione impossibile, oltre ad essere improbabile anche il dimostrare che tale soluzione esista e sia unica4_.

Rimane dunque aperta la possibilità di risolvere numericamente le equazioni in gioco, mediante griglie spazio-temporali sufficientemente piccole da descrivere ogni (eventuale) fluttuazione turbolenta e ogni oscillazione del campo acustico. Anche la via computazionale lascia comunque alcune perplessità, in quanto è noto che la stessa DNS (Direct Numerical Simulation, ovvero la computazione quasi puntuale delle equazioni della meccanica dei fluidi) per un semplice scambiatore di calore rigido e non eccitato è di per sé un’operazione così lunga e costosa da risultare sostanzialmente inapplicabile. Il comprendere la dinamica del dominio solido e del relativo campo acustico porterebbe la complessità numerica a livelli così elevati da essere forse fuori dalla portata anche dei più potenti calcolatori odierni. Inoltre, quando i campi acustici raggiungono frequenze ultrasonore, magari dell’ordine dei MHz, si rende necessario operare con griglie temporali estremamente fini per computare in maniera sufficientemente fedele quanto avviene nel periodo.

Visto che il tener di conto contemporaneamente di pareti, incrostazioni e fluidi conduce a sistemi differenziali che risultano attualmente irrisolvibili sia per via analitica che per via numerica, non si procederà esponendo e discutendo le relative equazioni.

In ogni caso, sebbene non discusso matematicamente, è comunque giusto anteporre il modello omni-comprensivo alle successive trattazioni. Esso riveste infatti un ruolo di primaria importanza per almeno due ragioni:

• per prima cosa, un futuro sviluppo della capacità di calcolo potrebbe effettivamente consentire una risoluzione numerica di tutte le equazioni differenziali in gioco con griglie spazio-temporali finissime. Questo risultato, a fronte della notevole spesa computazionale, consentirebbe la conoscenza precisa e puntuale di tutti i valori d’interesse per il tecnico. Sarebbe dunque possibile valutare come varia punto per punto lo scambio termico attraverso i tubi dello scambiatore, ma anche valutare lo stress termomeccanico nelle incrostazioni (e dunque la loro eventuale rottura), come varia (e come eventualmente viene prevenuta) la crescita della deposizione incrostante, come variano le perdite verso l’esterno ecc.;

• inoltre, il modello omni-comprensivo risulta un archetipo di tutti gli altri modelli matematici esposti nel seguito: la semplificazione delle successive schematizzazioni si può interpretare sostanzialmente nel rimuovere alcune frecce o nell’imporre alcuni stati nelle strutture relazionali di figura 110 e di figura 112.

4 Riguardo quest’ultima affermazione, basta pensare che anche il provare esistenza e unicità della soluzione delle sole equazioni della meccanica dei fluidi, anche semplificate e scorrelate dal circostante, è uno dei temi aperti della fisica-matematica

2.1.2 Semplificazioni operabili in uno scambiatore eccitato acusticamente con