Analisi delle opzioni come strumenti di copertura e di valutazione di un progetto di investimento mediante il modello binomiale.

UNIVERSITÀ DI PISA

DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT

CORSO DI LAUREA MAGISTRALE IN

BANCA, FINANZA AZIENDALE E MERCATI FINANZIARI

Tesi di Laurea

ANALISI DELLE OPZIONI COME STRUMENTI DI COPERTURA E

DI VALUTAZIONE DI UN PROGETTO DI INVESTIMENTO

MEDIANTE IL MODELLO BINOMIALE.

CANDIDATO:

Filippo Bonarrigo

RELATORE:

Prof. Emanuele Vannucci

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INDICE

INTRODUZIONE 3

PRIMO CAPITOLO 5

GLI STRUMENTI DERIVATI 5

1.01 LE OPZIONI FINANZIARIE 6

Origine 6

Definizione 7

1.02 I CONTRATTI FORWARD 10

Definizione 10

1.03 ACQUISTO E VENDITA DELLE OPZIONI 11

Acquisto Opzione Call 11

Vendita Opzione Call 12

Acquisto Opzione Put 13

Vendita Opzione Put 15

1.04

COMBINAZIONE DI OPZIONI 16

Acquisto di uno Straddle 16

Vendita di uno Straddle 17

SECONDO CAPITOLO 19

LA DISTRIBUZIONE BINOMIALE AD UN PERIODO E LE MODALITÀ DI COPERTURA 19

2.01 DISTRIBUZIONE BINOMIALE AD UN PERIODO 19

Definizione 19

Distribuzione dei prezzi 20

Ritorno sul prezzo 20

2.02 COPERTURA CON UN CONTRATTO FORWARD 22

2.03 COPERTURA CON UN CONTRATTO DI OPZIONE 25

TERZO CAPITOLO 29

LA DISTRIBUZIONE BINOMIALE MULTIPERIODALE E LE MODALITÀ DI COPERTURA 29

3.01 DISTRIBUZIONE BINOMIALE MULTIPERIODALE 29

Definizione 29

Distribuzione dei ritorni 32

Distribuzione del prezzo: valore atteso e varianza 33

3.02 MODALITÀ DI COPERTURA 33

3.03 DIFFERENZE TRA OPZIONI AMERICANE E OPZIONI EUROPEE 40

QUARTO CAPITOLO 45

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QUINTO CAPITOLO 47

MODELLO BINOMIALE: DALLE OPZIONI FINANZIARIE ALLE OPZIONI REALI 47

SESTO CAPITOLO 51

LA VALUTAZIONE DEI PROGETTI DI INVESTIMENTO: LE OPZIONI REALI 51

6.01 CARATTERISTICHE 53

6.02 LA METODOLOGIA DELLE OPZIONI REALI COME STRUMENTO DI MISURAZIONE DEL

VALORE AZIENDALE 54

6.03 VALUTAZIONE DI UN PROGETTO DI INVESTIMENTO: IL VALORE ATTUALE NETTO 57

6.04 IL RISCHIO NELLE DECISIONI DI INVESTIMENTO 60

6.05 TASSO DI ATTUALIZZAZIONE COME MISURA DEL RISCHIO 63

6.06 VALUTAZIONE DI UN PROGETTO DI INVESTIMENTO: IL VALORE ATTUALE NETTO

ESTESO 66

6.07 ANALISI RETICOLARE 67

6.08 LE TRE TIPOLOGIE DI OPZIONI 68

6.09 OPZIONI REALI DI FASE DI PROCESSO E SETTORIALI 70

6.10 OPZIONI REALI CONDIVISE ED ESCLUSIVE 72

6.11 OPZIONI REALI IN SCADENZA E DIFFERIBILI 74

6.12 VALUTAZIONE DI UN PROGETTO DI INVESTIMENTO: L’OPZIONE DI DIFFERIMENTO 76

What-if analysis 78

6.13 VALUTAZIONE DI UN PROGETTO DI INVESTIMENTO: L’OPZIONE DI ABBANDONO 85

6.14 VALUTAZIONE DI UN PROGETTO DI INVESTIMENTO: L’OPZIONE DI SOSPENSIONE

TEMPORANEA 87

6.15 VALUTAZIONE DI UN PROGETTO DI INVESTIMENTO: LE OPZIONI DI FLESSIBILITÀ E

DI AMPLIAMENTO 90

6.16 VALORE DELL’OPZIONE REALE 96

6.17 OPZIONI REALI E STRATEGIE COMPETITIVE 97

BIBLIOGRAFIA 101

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INTRODUZIONE

Sin dalle origini, nel mercato economico il rischio ha sempre accompagnato gli scambi economico-commerciali.

Negli ultimi decenni la crescente integrazione internazionale e la maggiore complessità dei mercati hanno modificato le condizioni dell’intero sistema finanziario, provocando un aumento della volatilità e dell’incertezza delle variabili finanziarie.

Possedere un adeguato “risk management” per la misurazione e il controllo dei rischi aziendali, rappresenta una componente fondamentale all’interno dell’apparato aziendale se si vuole evitare situazioni di crisi o di insolvenza.

Solo per conoscenza, possiamo verificare che, in ambito bancario, la corretta gestione dei rischi rappresenta uno dei temi su cui si è maggiormente soffermato il “Comitato di Basilea”, organizzazione internazionale preposta all’emanazione del sistema regolamentare bancario: per evitare l’insorgere di situazioni di crisi bancarie che possano minacciare l’intero sistema finanziario, il Comitato di Basilea impone alle banche di accantonare capitale sufficiente per coprire le perdite inattese e rimanere solvibili anche in caso di crisi.

Nel seguente lavoro si analizzerà il rischio, in termini di volatilità, dei flussi di cassa di un progetto di investimento e del prezzo di una determinata attività finanziaria; in particolare l’incertezza e la variabilità del progetto di investimento o dell’attività finanziaria verranno esaminati prendendo a riferimento il modello binomiale, tema centrale dell’elaborato.

Il modello binomiale si basa sull’ipotesi di base di distribuzione discreta di una variabile aleatoria: nell’analisi delle opzioni finanziarie ho fatto corrispondere la variabile aleatoria con un’attività finanziaria infruttifera, mentre nello studio delle opzioni reali tale variabile coincide con il valore di un progetto di investimento o i relativi flussi di cassa.

L’analisi della rischiosità di una variabile aleatoria all’interno del modello binomiale è propedeutica per l’analisi delle modalità di copertura attraverso le opzioni finanziarie e per la valutazione di un progetto di investimento per mezzo delle opzioni reali.

Prima di approfondire l’analisi delle opzioni, ho ritenuto che sia necessario, innanzitutto, comprendere l’ambito di appartenenza di suddetti strumenti. Per tale motivo l’elaborato si sviluppa a partire dalla definizione, nel primo capitolo, dei prodotti derivati e delle relative tipologie: tra le tipologie dei prodotti derivati ho deciso di sviluppare, in particolare, le caratteristiche sia delle già citate opzioni sia degli strumenti forward, in quanto ritengo siano i prodotti maggiormente indicati per la trattazione degli argomenti dei successivi due capitoli.

Nel secondo e nel terzo capitolo ho analizzato quello che prima ho definito il tema centrale dell’elaborato, vale a dire il modello binomiale: nello specifico, i capitoli affrontano il valore di una variabile aleatoria discreta nello scenario positivo, che ho fatto coincidere con l’aumento del prezzo dell’attività finanziaria, e nello scenario negativo, cioè in caso di riduzione del prezzo dell’attività stessa.

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La variazione del valore dell’attività finanziaria, analizzata nel secondo capitolo, riveste l’arco di tempo di un solo periodo, che ho presupposto corrispondere ad un anno solare. Ritenendo però che analizzare una variabile dopo un solo periodo sia poco utile ai fini di una corretta valutazione dell’andamento della variabile stessa, nel capitolo successivo ho esteso l’analisi oltre il singolo periodo. A conclusione dello studio svolto nei due capitoli, ho utilizzato le opzioni finanziarie e gli strumenti forward per descrivere le strategie necessarie per proteggersi contro la variabilità dell’attività finanziaria.

La seconda metà dell’elaborato è riservata alla descrizione delle tipologie di opzioni reali come strumento di valutazione di un progetto di investimento.

Come verrà analizzato nel quinto capitolo, sono molti gli elementi in comune tra le opzioni finanziarie e le opzioni reali, seppur comunque permangono evidenti elementi di distinzione tra le due tipologie.

È stata mia intenzione analizzare il filo conduttore che lega le opzioni finanziarie alle opzioni reali, in quanto ritengo che entrambi siano strumenti utili per analizzare e fronteggiare il rischio e, di conseguenza, anche valutare la convenienza di un determinato piano d’investimento.

Nell’ultimo capitolo ho analizzato la teoria delle opzioni reali come strumento di valutazione di un progetto di investimento all’interno del modello binomiale e, di riflesso, anche del valore aziendale. Nel capitolo, in particolare, ho analizzato le caratteristiche delle varie tipologie di opzioni reali per capire come queste modifichino il giudizio di fattibilità di un progetto di investimento e per comprendere l’importanza che esse rivestono all’interno di un mercato altamente competitivo.

All’interno dell’elaborato, prima di focalizzare l’attenzione sul passaggio dalle opzioni finanziarie alle opzioni reali, ho ritenuto necessario effettuare una piccola riflessione sul fatto che, complici i controlli sempre minori, gli strumenti derivati, in particolare le opzioni, stiano sempre più abbandonando la loro funzione di copertura per essere utilizzati, al contrario, in ottica speculativa.

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PRIMO CAPITOLO

GLI STRUMENTI DERIVATI

Secondo la definizione fornita dalla Consob, gli strumenti derivati sono contratti così chiamati perché il loro valore deriva dall’andamento del valore di un’attività, ovvero dal verificarsi nel futuro di un evento osservabile in maniera oggettiva.

L’attività o evento costituiscono il sottostante del prodotto derivato, e possono avere qualsiasi natura o genere. Gli strumenti derivati, come vedremo successivamente in dettaglio con la descrizione delle opzioni finanziarie, sono utilizzati, principalmente, per finalità di copertura, speculativa e di arbitraggio.

Poiché dipendono da un evento o da un’attività sottostante, il problema più complesso dei derivati è quello di determinare il loro valore: a grandi linee la relazione tra il valore dello strumento derivato e quello del titolo sottostante può essere espressa da una funzione matematica.

Gli strumenti derivati si dividono in tre principali categorie:

1. Contratto a termine – un contratto a termine è un accordo tra due soggetti per la consegna di una determinata quantità di sottostante, che può essere un’attività finanziaria oppure una merce, ad un prezzo e ad una data prestabiliti. I rischi per le controparti che stipulano il contratto dipendono dalla variazione del valore del sottostante, infatti se per l’acquirente del contratto, vale a dire colui che deve comprare un certo bene ad una certa data e ad un prezzo già prefissato nel contratto, il rischio è rappresentato dal deprezzamento del bene, per il venditore del contratto il rischio è rappresentato dall’apprezzamento del bene. Le tipologie principali di contratti a termine sono: 1.1.1. Forward – sono contratti scambiati fuori dai mercati regolamentati

1.1.2. Futures – sono contratti negoziati in mercati regolamentati e sono standardizzati per dimensione, oggetto, scadenza e regole di negoziazione.

2. Contratto swap - contratto con il quale due parti si impegnano a scambiarsi futuri pagamenti. Tale contratto definisce le date in cui verranno effettuati i pagamenti reciproci e le modalità secondo le quali dovranno essere calcolate le rispettive somme. I pagamenti possono essere espressi nella stessa valuta oppure in valute differenti ed il loro ammontare è determinato in relazione al sottostante. Per quanto riguarda il mercato di negoziazione gli swap, così come i forward, sono contratti “over the counter” e quindi non negoziati sui mercati regolamentati. In base al sottostante, si individuano vari tipi di swap:

2.1.1. Interest rate swap – sono contratti in cui due controparti si scambiano pagamenti periodici di interessi, calcolati su una somma di denaro, detta capitale nozionale di riferimento, per un periodo di tempo predefinito pari alla durata del contratto.

2.1.2. Currency swap – sono contratti in cui due controparti si impegnano a scambiarsi flussi di pagamento periodici in due diverse valute, relativamente al capitale e al pagamento degli interessi, secondo le specifiche modalità contrattuali.

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2.1.3. Asset swap – sono contratti in cui due parti si scambiano pagamenti periodici liquidati in relazione ad un titolo obbligazionario detenuto da una di esse. Chi detiene l’obbligazione corrisponde l’interesse connesso all’obbligazione mentre la controparte riceve l’interesse e paga un tasso di natura diversa.

2.1.4. Credit default swap – sono contratti in cui il detentore di un credito si impegna a pagare una somma fissa periodica a favore della controparte che, di converso, si assume il rischio di credito gravante su quell’attività nel caso in cui si verifichi un evento di default futuro ed incerto. La somma periodica che il creditore paga è in genere commisurata al rischio e alla probabilità di insolvenza del soggetto terzo debitore. La funzione tipica del contratto è quindi la copertura dei rischi associati ad una determinata attività.

3. Opzione – contratto che attribuisce il diritto, ma non l’obbligo, di comprare o vendere una data quantità di bene ad un prezzo prefissato entro una certa scadenza, nel caso di opzione americana, o al raggiungimento della stessa, nel caso invece di opzione europea.

Nel lavoro che segue analizzerò nello specifico le caratteristiche delle opzioni e dei contratti forward indagando, in particolar modo, sulle funzionalità di copertura che essi svolgono all’interno del modello binomiale.

L’ultima parte del lavoro è relativa allo studio delle opzioni reali per comprenderne l’importanza che essi hanno all’interno dei progetti di investimento.

1.01 LE OPZIONI FINANZIARIE

Origine

La nascita dei contratti di opzione viene fatta risalire a epoche antichissime: “Giacobbe chiese a Labano di

concedergli in sposa sua figlia Rachele; il padre accolse la richiesta, a condizione però che Giacobbe lo pagasse in anticipo con sette anni di lavoro. Al termine dei sette anni Giacobbe avrebbe posseduto una opzione sulla mano di Rachele. Purtroppo per Giacobbe, Labano, rinnegando l’accordo, gli diede in sposa l’altra figlia maggiore. (Genesi, 29).

Le opzioni furono quotate per la prima volta in un mercato ufficiale nel 1973, negli Stati Uniti, ma le troviamo già nella Grecia antica. Si narra, infatti, che l’astrologo greco Talete fosse stato in grado di predire l’andamento del raccolto delle olive in base a computi astronomici e che, grazie a tale conoscenza, egli avesse acquistato dagli agricoltori il diritto di utilizzare il prodotto del raccolto nella stagione successiva. Le sue previsioni si rivelarono corrette ed egli poté quindi esercitare tale diritto, rivendendo poi il raccolto agli agricoltori vicini e lucrando, così, un profitto.

La diffusione delle opzioni si ebbe concretamente nella famosa bolla speculativa, denominata “febbre dei

tulipani”, che colpì l’Olanda nel 1636-1637. Inizialmente tali strumenti furono usati come strumento di

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poteva essere certo di ottenere, alla data stabilita, un specificato numero di bulbi ad un determinato prezzo. Specularmente, il proprietario dei vivai era sicuro di vendere i bulbi al prezzo prefissato grazie all’acquisto di un’opzione di vendita.

Il rivenditore e il proprietario dei vivai, nell’ottica degli strumenti finanziari di copertura, sono definiti, rispettivamente, compratore di un’opzione di acquisto e compratore di un’opzione di vendita. È bene sottolineare, tuttavia, che il rivenditore e il proprietario dei vivai non erano gli unici soggetti che ricavavano guadagni dall’utilizzo delle opzioni finanziarie: con la corsa all’acquisto dei tulipani, entrarono in gioco gli speculatori che intuirono la possibilità di ottenere enormi guadagni dall’utilizzo di tali contratti.

La situazione, per gli speculatori, si rivelò favorevole fintanto che il prezzo dei bulbi di tulipano crebbe in maniera inarrestabile; quando, però, i prezzi crollarono, gli speculatori persero tutto.

Possiamo osservare, quindi, che le opzioni finanziarie sono utilizzate sotto una duplice veste, vale a dire, sia come strumento di copertura sia come strumento speculativo ed è forse per questo che, in Inghilterra, le opzioni furono bandite dal “Bernard’s Act” (nonostante ciò, continuarono comunque ad essere trattate alla Borsa di Londra).

Come già accennato, le opzioni furono quotate per la prima volta negli Stati Uniti, dove compaiono durante la Rivoluzione d’Indipendenza (1775-1783), per poi svilupparsi in un mercato al tempo della Guerra Civile (1861-1865).

L’utilizzo americano delle opzioni finanziarie era indirizzato a condizionare i corsi azionari (quindi avevano una funzione speculativa) tanto che, prevalentemente, sul mercato venivano scambiate le opzioni di acquisto con scadenza a pochi giorni: così come avvenuto in Inghilterra, anche negli Stati Uniti, nel 1934, fu presentata una proposta di legge per proibire le opzioni azionarie, ma il “Securities Act” ne escluse il bando e dette alla “Securities Exchange Commission” il potere di regolamentarne il commercio.

Definizione

Le opzioni sono strumenti derivati, ossia valori mobiliari derivati dalla contrattazione dei titoli sottostanti, che, manifestandosi come contratti finanziari, danno al compratore il diritto, ma non il dovere, di comprare, nel caso di opzioni Call, o di vendere, nel caso di opzioni Put, una quantità determinata di un’attività finanziaria o reale sottostante (titoli azionari e obbligazionari, futures, indici azionari, valute, tassi d’interesse, crediti, prodotti agricoli, energia, merci), ad un prezzo determinato e ad una data specifica (opzioni di tipo europeo) oppure entro una data specifica (opzioni di tipo americano).

La decisione di stipulare un contratto di opzione può essere ricondotta a tutte le finalità tipiche dei derivati:

❖ Finalità di copertura - si stipula un contratto di opzione con finalità di copertura quando si vende allo scoperto un’attività finanziaria e si desidera coprirsi dal rischio di apprezzamento di tale attività.

❖ Finalità speculative - l’opzione può essere usata con finalità speculative, al fine di realizzare strategie di investimento basate sulle proprie previsioni di andamento della valuta. In particolare,

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l’adozione di una strategia speculativa da parte di chi acquista un’opzione garantisce una perdita massima limitata, pari al premio corrisposto al venditore.

❖ Finalità di arbitraggio - un contratto di opzione con finalità di arbitraggio permette di sfruttare un momentaneo disallineamento tra l'andamento del prezzo del derivato e quello del sottostante (destinati a coincidere all'atto della scadenza del contratto), vendendo lo strumento sopravvalutato e acquistando quello sottovalutato, ottenendo, così, un profitto privo di rischio.

Sono molti gli elementi che dobbiamo prendere in considerazione quando analizziamo un'opzione finanziaria:

✓

Il sottostante

- innanzitutto, come detto, l’opzione è direttamente rapportato al bene o al titolo sottostante, quindi un’analisi dell’opzione dovrà necessariamente passare dallo studio del sottostante.

Il bene sottostante, che deve essere scambiato su un mercato con quotazioni ufficiali o pubblicamente riconosciute, può essere una merce (petrolio, oro, grano), un evento di varia natura oppure un’attività finanziaria, quale azioni, obbligazioni, valute o anche strumenti finanziari derivati. Tutte le attività finanziarie sono emesse da società non coinvolte in alcuna maniera nell’emissione delle opzioni, in quanto la quotazione e la regolamentazione di quest’ultime sono gestite dalla Borsa Italiana. Nel momento di sottoscrizione del contratto finanziario, il compratore, detto holder, dietro il pagamento di denaro, detto premio, acquista il diritto a vendere/comprare l’attività sottostante (ottiene una posizione lunga anche detta long position); il venditore, detto writer, al contrario, percepisce il premio e si obbliga all’acquisto/vendita del bene sottostante su richiesta del compratore (dà principio ad una posizione corta detta anche short

position).

Perfezionato il contratto, nel caso in cui il compratore dell’opzione decida di esercitare il diritto di acquisto (opzione Call), l’holder riceverà dal writer la differenza tra il prezzo spot (prezzo corrente) del sottostante e il prezzo di esercizio; nel caso in cui, invece, venga esercitato il diritto di vendita (opzione Put) allora l’holder riceverà il prezzo di esercizio al netto di quello spot. ✓

Lo strike price

- definito in italiano come “prezzo di esercizio” lo strike price indica il prezzo

predefinito nel contratto di opzione a cui l’investitore, esercitando il diritto incorporato nell’opzione, compra, nel caso dell’opzione Call, oppure vende, nel caso dell’opzione Put, il titolo o bene sottostante.

✓

Lo stile dell’opzione

- le opzioni possono appartenere a due tipologie:

1. Opzioni di stile americano - queste tipologie di opzioni permettono di esercitare il diritto di acquisto/vendita del sottostante in qualsiasi momento, prima della scadenza.

2. Opzioni di stile europeo - a differenza di quelle precedenti, queste tipologie di opzioni permettono di esercitare il diritto solamente alla scadenza del contratto.

✓

Il premio

- il premio è il prezzo che il compratore di un’opzione è tenuto a pagare per acquisire

il diritto a esercitare il contratto stesso.

Il premio pagato andrà a determinare la liquidazione del contratto, in quanto quest’ultimo può avvenire o attraverso la consegna fisica dell’attività sottostante oppure sotto forma di “cash

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settlement” che, nel caso dell’opzione Call, è determinata come differenza tra il prezzo di

liquidazione dell’attività sottostante e il prezzo di esercizio mentre, nel caso dell’opzione Put, come differenza tra il prezzo di esercizio e il prezzo di liquidazione dell’attività sottostante. ✓ La moneyness - la moneyness di un’opzione esprime la distanza fra il prezzo spot e lo strike price.

Le opzioni, a seconda della posizione dello strike price rispetto al prezzo corrente del sottostante, vengono definite:

(1) At the money (ATM) - un’opzione Call/Put è “at the money” quando lo strike price è uguale al prezzo del sottostante (ad esempio se il prezzo corrente per una azione è pari a $90, allora affinché l’opzione sia ATM è necessario che lo strike price sia anch’esso pari a $90).

(2) Out the money (OTM) - un’opzione Call o Put è “out of the money” quando il suo strike price è, rispettivamente, maggiore o minore del prezzo corrente del sottostante, determinando la rinuncia all’esercizio del diritto da parte dell’acquirente dell’opzione (ritornando al precedente esempio, si definisce un’opzione Call OTM se il relativo prezzo di esercizio fosse stato superiore a $90).

(3) In the money (ITM) - un’opzione Call o Put è “in the money” quando il suo strike price è, rispettivamente, inferiore o superiore al prezzo corrente del sottostante decretando un guadagno dall’esercizio dell’opzione (in questo caso un’opzione Call è ITM, e verrà quindi esercitata, se il suo strike price è inferiore a $90). La convenienza derivante dall’esercizio della Call ITM è dovuta al fatto che viene acquistato un sottostante ad un prezzo inferiore a quello presente sul mercato cash oppure, nel caso dell’opzione Put, di vendere il sottostante ad un prezzo superiore a quello di mercato.

✓ La scadenza - la scadenza è la data in cui (opzioni di stile europeo) o entro la quale (opzioni di stile americano) le opzioni vengono esercitate o, comunque, scadono senza valore. Le opzioni sulle singole azioni quotate sul mercato dei derivati di Borsa Italiana (definito IDEM) hanno scadenze mensili e trimestrali.

✓ La facoltà di esercizio - l’esercizio di un’opzione, indipendentemente che sia Put o Call, oppure di stile europeo o americano, è una facoltà disponibile solo per chi ha acquistato l’opzione. L’esercizio o meno del diritto insito nell’opzione dipenderà, ovviamente, dall’ammontare dello strike price e del prezzo spot.

✓ Il valore intrinseco e il valore temporale - il premio di un contratto d’opzione è composto dal valore intrinseco e dal valore temporale.

Il valore intrinseco (Vi) è definito dalle seguenti formule: Vi Opzione Call = Prezzo del sottostante – Strike Vi Opzione Put = Strike – Prezzo del sottostante

Analizzando entrambe le formule notiamo che il valore intrinseco indica di quanto un’opzione è in the money. Poiché il portatore ha il diritto, ma non l’obbligo, di acquistare o vendere, il valore intrinseco non può assumere valori negativi.

Il valore temporale (Vt) rappresenta l’ammontare di denaro che un investitore è disposto a pagare, oltre al valore intrinseco, nella speranza che il sottostante si muova concordemente con la

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posizione presa; in numeri tale valore è calcolato come differenza tra il premio dell’opzione e il valore intrinseco:

Vt = Pr-Vi

✓ Il moltiplicatore - il lotto minimo di negoziazione, fissato dalla Borsa Italiana, definisce quante unità del sottostante sono controllate da un unico contratto d’opzione negoziato sul mercato dei derivati di Bosa Italiana.

Il lotto minimo è il “moltiplicatore” che è necessario utilizzare per quantificare la dimensione di un singolo contratto di opzione, necessario per calcolare, a sua volta, il prezzo finale che l’investitore deve pagare all’acquisto dell’opzione.

1.02 I CONTRATTI FORWARD

Definizione

I contratti Forward sono contratti a termine, in cui le due controparti si scambiano una certa quantità di un bene ad una data scadenza e ad un prezzo prestabilito. Il regolamento può avvenire con la consegna materiale o con la consegna del differenziale di prezzo. Le principali caratteristiche che possiamo rinvenire in un Forward sono:

✓ Possibilità di personalizzazione - le controparti possono determinare e definire i termini e le caratteristiche del contratto Forward al fine di soddisfare le loro specifiche esigenze.

✓ Esposizione al rischio insolvenza - entrambe le controparti si espongono al rischio di insolvenza al momento della consegna o del pagamento.

✓ È un contratto negoziato OTC - le operazioni si svolgono in grandi mercati privati e in gran parte non regolamentati.

✓ Asset sottostanti costituiti da strumenti finanziari - gli asset sottostanti possono essere azioni, obbligazioni, valute estere, materie prime o combinazione di esse.

✓ Poca liquidità - tendono ad essere detenuti fino alla scadenza e sono difficilmente liquidabili sul mercato.

Esempio:

Ipotizziamo che un investitore abbia in portafoglio 1000 azioni FCA e che il prezzo corrente di ciascuna azione sia pari a 5,2 $. L’investitore desidera coprirsi temporaneamente per tre mesi sul rischio di

oscillazione nel valore del suo investimento in FCA.

Lo strumento utilizzato dall’investitore, per coprirsi contro il rischio di ribasso del titolo, può essere identificato con il contratto Forward attraverso l’acquisizione di una posizione corta: presupponendo che ciascun contratto Forward sia su 2000 azioni, l’investitore vende cinque contratti Forward con scadenza tre mesi al prezzo di 5,2 $. Come possiamo vedere dal grafico seguente, la sottoscrizione del contratto Forward

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permette all’investitore di cautelarsi contro il rischio di ribasso del titolo: qualunque sia il prezzo spot del titolo, l’investitore ricaverà un profitto pari a 0,1 $.

Il preambolo svolto fino ad ora è necessario per il proseguo del lavoro che intendo effettuare e che parte dall’analisi delle opzioni Call, delle opzioni Put e dei contratti Forward, inseriti all’interno di un modello binomiale, fino ad arrivare a comprendere l’importanza di un’opzione reale all’interno di un progetto d’investimento.

In prima istanza, andrò ad esaminare nel dettaglio le varie tipologie di opzioni Call e Put presenti sul mercato, operazione necessaria per la comprensione degli argomenti successivi.

1.03 ACQUISTO E VENDITA DELLE OPZIONI

Acquisto Opzione Call

L’acquisto di un’opzione Call dà, all’acquirente, la facoltà di acquistare un’attività sottostante ad un determinato prezzo d’esercizio e ad una determinata scadenza, oppure entro una scadenza certa nel caso di opzione americana. Il diritto di acquisto verrà esercitato qualora la quotazione spot dell’attività sottostante risulti essere superiore al prezzo di esercizio.

Suddetta facoltà di acquisto è subordinata al pagamento di un premio che rappresenta la perdita massima che l’acquirente può subire.

Esempio:

- Il 1° gennaio il titolo della Tiscali vale 23,60 $.

- L’investitore acquista un’opzione Call con prezzo d’esercizio 24,00 euro pagando un premio pari

a 0,5855 $.

- L’opzione su Tiscali ha un lotto minimo pari a 100 titoli, quindi l’investitore pagherà un premio

pari a 0,5855 X 100 = 58,55 $. 4.9, -0.2 5, -0.1 5.1, 0 5.2, 0.1 5.3, 0.2 4.9, 0.3 5, 0.2 5.1, 0.1 5.2, 0 5.3, -0.1 4.9, 0.1 5, 0.1 5.1, 0.1 5.2, 0.1 5.3, 0.1 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 4.9 5 5.1 5.2 5.3 P ro fitto p er az io n e ($ )

Prezzo del titolo sottostante ($)

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Alla scadenza abbiamo tre possibili scenari:

- Il titolo vale meno di 24,00 $ e, di conseguenza, l’opzione, essendo OTM, scade senza essere esercitata in quanto priva di valore.

- Il titolo quota 24,00 $ e, quindi, essendo ATM, il suo valore sarà nullo in quanto per l’investitore risulterà indifferente acquistare il titolo sul mercato o tramite l’esercizio dell’opzione.

- Il titolo vale più di 24,00 $ e, conseguentemente, l’opzione, essendo ITM, permette all’investitore di trarre un guadagno dall’acquisto di un titolo ad un prezzo inferiore rispetto a quello di vendita.

Possiamo affermare che le motivazioni che spingono l’investitore ad acquistare una Call sono le seguenti:

- Si prevede un rialzo del prezzo del titolo sottostante.

- Si può beneficiare del rialzo del titolo sottostante con un minimo investimento (acquistare i titoli avrebbe richiesto un esborso maggiore).

- Si può beneficiare dell’effetto leva, vale a dire che, nel caso di rialzo del prezzo del titolo sottostante, il valore dell’investimento in opzioni aumenta percentualmente di più dell’investimento nel sottostante.

- Limitare il rischio sull’investimento azionario, in quanto la perdita massima dell’acquisto di opzioni Call è data dal premio pagato.

Vendita Opzione Call

La vendita di un’opzione Call è la situazione opposta a quella descritta precedentemente: il venditore di una opzione Call opta per questa strategia quando ritiene che il titolo sottostante possa subire un deprezzamento entro la data di scadenza dell’opzione. Con la vendita dell’opzione Call il soggetto writer, una volta incassato il premio, si impegna, entro la data prefissata e qualora il soggetto holder eserciti la sua facoltà, a consegnare un determinato quantitativo di titoli al prezzo d’esercizio.

Il potenziale guadagno è limitato al solo premio incassato a fronte della cessione del contratto e il rischio diventa potenzialmente illimitato in quanto non esiste una soglia ad un eventuale rialzo del titolo sottostante. Nel caso in cui il sottostante mantenga la sua quotazione sotto il prezzo d’esercizio entro la scadenza,

23, -58.55 24, -58.55 25, 41.45 26, 141.45 -100 -50 0 50 100 150 200 22.5 23 23.5 24 24.5 25 25.5 26 26.5 P ro fit to ($ )

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l’opzione scade senza valore e il venditore trattiene il premio ricevuto dal compratore dell’opzione al momento della vendita del diritto.

Poiché tale profitto immediato ammonta anche al massimo guadagno possibile, le opzioni Call vengono vendute quando la volatilità implicita in relazione a quella storica delle stesse risulta essere alta, così che il premio che si incassa è maggiore.

Riprendendo l’esempio, fatto in precedenza, relativo all’andamento del titolo Tiscali, la posizione derivante dalla vendita di un’opzione Call può essere rappresentata dal seguente grafico:

Analizzando il grafico possiamo notare che:

✓ Prezzo spot ≤ Prezzo d’esercizio = fintanto che il prezzo spot del titolo sottostante risulti essere pari o inferiore al prezzo d’esercizio (24 in questo caso), il soggetto holder non eserciterà il diritto di acquisto del titolo e, di conseguenza, il guadagno per il soggetto writer sarà pari al premio incassato.

✓ Prezzo spot > Prezzo d’esercizio = nel caso in cui il prezzo del titolo sottostante risulti essere superiore al prezzo d’esercizio, allora il soggetto holder eserciterà il diritto di acquisto del titolo determinando una perdita per il soggetto writer in quanto, quest’ultimo, sarà costretto a vendere il titolo ad un prezzo inferiore rispetto a quello di mercato al netto del premio incassato.

Acquisto Opzione Put

L’acquisto di un’opzione put concede all’investitore il diritto di esercitare l’opzione, a scadenza o entro la scadenza (nel caso di opzione americana), vendendo il sottostante ad un determinato prezzo d’esercizio. L’opzione di vendita verrà esercitata solamente nel caso in cui il prezzo spot del titolo sottostante risulti essere inferiore al prezzo d’esercizio.

Così come nel caso di un’opzione Call, anche l’acquisto di un’opzione Put è subordinato al pagamento di un premio. 23, 58.55 24, 58.55 25, -41.45 26, -141.45 -200 -150 -100 -50 0 50 100 23 24 25 26 Pro fitt o ($)

14

Esempio:

Ipotizziamo che un investitore abbia in portafoglio 10.000 azioni di Intesa San Paolo. Il prezzo corrente di un’azione è pari a 5,1 $ per azione. L’intenzione dell’investitore è quello di coprirsi temporaneamente per tre mesi sul rischio di oscillazione nel valore del suo investimento.

In questo caso, per coprirsi contro il rischio di ribasso del titolo, l’investitore può sottoscrivere un contratto d’opzione Put su 2000 azioni a tre mesi al prezzo d’esercizio di 5,1 $ con premio di 0,35 $/azione. Assumendo la posizione di holder in cinque contratti di opzione Put, la situazione può essere così sintetizzata:

dalla combinazione della posizione originaria e di quella di copertura possiamo verificare che, se il prezzo di mercato del titolo diminuisse o rimanesse invariato rispetto al prezzo di partenza, l’investitore sarebbe costretto a sopportare un passivo pari a 3500, dovuto, da un lato, alla perdita sulla sua posizione originaria e, dall’altro, al guadagno relativo alla posizione di copertura. Se, invece, il prezzo di mercato aumentasse rispetto a quello di partenza, l’investitore usufruirebbe di un guadagno esclusivamente sulla sua posizione originaria, dal momento che la posizione di copertura registrerebbe un segno negativo provocato dal mancato esercizio dell’opzione e dal pagamento del premio.

4.7, 500 5.1, -3500 5.3, -3500 5.5, -3500 4.7, -4000 5.1, 0 5.3, 2000 5.5, 4000 -5000 -4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000 5000 4.7 4.9 5.1 5.3 5.5 P ro fit to ($ )

Prezzo del titolo sottostante ($) Posizione di copertura Posizione originaria

15

L’acquisto di un’opzione Put permette quindi di guadagnare nel caso si riduca il prezzo del titolo sottostante, il tutto con un investimento limitato al valore del premio che è stato pagato. Se, al contrario, il prezzo del titolo sottostante dovesse aumentare, la perdita è in ogni caso limitata al prezzo pagato per l’acquisto dell’opzione stessa.

In generale, possiamo affermare che sono principalmente due i motivi che spingono ad acquistare un’opzione Put:

- Si prevede un ribasso del prezzo del titolo sottostante.

-

Si intende proteggere il valore del proprio portafoglio azionario da un eventuale ribasso nel prezzo del titolo.

Vendita Opzione Put

La vendita di un’opzione Put è la circostanza che si verifica quando un investitore prevede un apprezzamento del titolo sottostante entro la data di scadenza dell’opzione. Con la vendita dell’opzione Put il writer, incassato il prezzo dell’opzione, si obbliga, ad una certa data, ad acquistare al prezzo d’esercizio un determinato quantitativo di titoli qualora il soggetto holder eserciti la sua facoltà.

Così come avviene per la vendita di una Call, anche nel caso di vendita di un’opzione Put il potenziale guadagno è limitato al solo premio incassato a fronte della cessione del contratto e il rischio diventa potenzialmente illimitato in quanto non esiste un limite ad un eventuale ribasso del titolo sottostante. Nel caso in cui il sottostante mantenga la sua quotazione sopra il prezzo d’esercizio entro la scadenza, l’opzione scade senza valore e si trattiene il premio ricevuto dal compratore dell’opzione al momento della vendita del diritto.

Riesaminando l’esempio fatto precedentemente possiamo verificare che il risultato, per il soggetto writer, è di segno opposto a quello del soggetto holder.

4.7, -3500 4.9, -3500 5.1, -3500 5.3, -1500 5.5, 500 -4000 -3500 -3000 -2500 -2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 4.6 4.7 4.8 4.9 5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 P ro fitto ( $ )

16

Dal grafico notiamo che:

- Prezzo spot < Prezzo d’esercizio = se il prezzo di mercato del titolo si attesta ad un livello inferiore rispetto al prezzo d’esercizio, allora l’opzione Put verrà esercitata determinando una perdita, per il writer, dovuta all’acquisto di un titolo ad un prezzo superiore a quello di mercato al netto del premio incassato.

- Prezzo spot ≥ Prezzo d’esercizio = Fino a che il prezzo spot del titolo risulti essere superiore o uguale al prezzo d’esercizio, che nel nostro caso è 5,1 $, il soggetto holder non eserciterà l’opzione di vendita del titolo e, conseguentemente, il soggetto writer otterrà un guadagno pari al premio incassato.

1.04 COMBINAZIONE DI OPZIONI

Acquisto di uno Straddle

L’acquisto di uno straddle comporta il contemporaneo acquisto di un’opzione Call e di un’opzione Put, aventi uguale sottostante, scadenza e strike. Con l’acquisto di entrambi, l’investitore è contemporaneamente lungo e corto sul sottostante: l’investitore si aspetta un rialzo o ribasso del prezzo del titolo sottostante di ampiezza maggiore rispetto alla somma dei due premi pagati per l’acquisto della strategia: qualunque sia il prezzo del titolo sottostante, una delle due opzioni risulterà ITM e genererà un profitto mentre l’altra, out of the money, verrà abbandonata.

Esempio:

Ipotizziamo che un investitore decida di acquistare un’opzione Call e una Put entrambe con scadenza dicembre e strike price pari a 40 $: il prezzo dell’opzione Call è 0,90 $ mentre il prezzo dell’opzione Put è 0,70 $. 4.7, -500 4.9, 1500 5.1, 3500 5.3, 3500 5.5, 3500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4.6 4.7 4.8 4.9 5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 P ro fitto ( $ )

17

Poiché sia il contratto Call che il contratto Put corrispondono a 100 azioni, il premio pagato sarà pari rispettivamente a 90 $ e a 70 $. La nostra posizione sarà, quindi, quella di compratori di 100 azioni a 41,60 $ oppure di venditori di 100 azioni a 38,40 $.

Il rischio massimo che può correre l’investitore è limitato al costo delle due opzioni, nel caso il prezzo rimanga fisso a 40 $ durante il periodo di validità dell’opzione. La perdita risulterà, invece, inferiore nel caso in cui la quotazione oscillasse all’interno dell’intervallo compreso fra 41,60 $ e 38,40 $.

Il profitto massimo, viceversa, in caso di rialzo è potenzialmente illimitato dal momento che non esiste un limite oltre il quale il prezzo delle azioni non possa salire. Una volta superata la soglia di parità (41,6 $) ogni centesimo di rialzo rappresenterà un guadagno.

Il profitto massimo in caso di ribasso è dato dal prezzo d’esercizio al netto del costo delle due opzioni, e si verificherà soltanto nel caso la quotazione dovesse essere nulla. In ogni caso, una volta superato il Break Even Point pari a 38,40 $, ogni centesimo di ribasso, anche in questo caso, rappresenterà un guadagno.

Dalla precedente analisi possiamo comprendere che l’opzione Straddle puo' essere facilmente utilizzata come scommessa sulla futura alta volatilità del titolo trattato: ciò che interessa all’acquirente dell’opzione è soltanto l’ampiezza della variazione dei prezzi.

Vendita di uno Straddle

La vendita di un’opzione straddle è l’operazione inversa a quella descritta precedentemente: il venditore, all’opposto di quanto detto prima, assume l’obbligo, a seconda della scelta del compratore, della facoltà di acquistare o di vendere un determinato quantitativo di titoli al prezzo d’esercizio ed entro la scadenza prefissata; il tutto dietro l’incasso del premio. Per spiegare l’operazione prendiamo nuovamente in esame l’esempio con i relativi dati utilizzati per descrivere la strategia di acquisto dell’opzione Straddle.

38, -0.9 40, -0.9 42, 1.1 38, 1.3 42, -0.7 36, 2.4 44, 2.4 -2 -1.5-1 -0.50 0.51 1.52 2.53 3.54 36 37 38 39 40 41 42 43 44 P ro fitto p er az io n e ($ )

Prezzo del titolo sottostante ($)

18

Ipotizzando che ciascun contratto corrisponda a 100 azioni, avremo che l’investitore, a fronte di un incasso pari a 90 $, vende la facoltà di acquistare tale quantitativo di azioni a 40 $ così come, a fronte di un incasso pari a 70 $, cede la facoltà di poter vendere 100 azioni sempre al prezzo di 40 $. Qualunque sia la decisione

della controparte, il soggetto venditore ha incassato un ammontare di premio pari a 1,60 $. Se il prezzo del sottostante muove verso il basso, la Call si deprezza e la Put si apprezza. Il venditore rimane

in profitto fino a quando la somma del premio della Put e quello della Call è sufficiente a coprire l’apprezzamento subito dalla Put (in questo caso il venditore è in profitto fintanto che il ribasso del titolo non supera 38,40 $). Se invece il prezzo del sottostante muove verso l’alto, la Put si deprezza e la Call si apprezza. Il venditore di opzioni rimane in profitto fino a quando il premio ricevuto dalla vendita di Call e di Put è in grado di coprire l’apprezzamento della call (cioè il venditore trarrà un profitto se il prezzo del titolo sottostante non aumenta oltre 41,60 $).

38, 0.9 39, 0.9 41, -0.1 42, -1.1 38, -1.3 39, -0.3 40, 0.7 42, 0.7 38, -0.4 40, 1.6 41, 0.6 42, -0.4 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 38 39 40 41 42 P ro fitto p er aa zio n e ($ )

Prezzo del titolo sottostante ($)

19

SECONDO CAPITOLO

LA DISTRIBUZIONE BINOMIALE AD UN PERIODO E LE MODALITÀ

DI COPERTURA

In questa sezione presenteremo la distribuzione binomiale a un periodo che è il modello più adatto per

valutare l’efficacia degli strumenti derivati. Alla base del modello binomiale ritroviamo l’albero binomiale, strumento utile per analizzare il

comportamento aleatorio dei prezzi del titolo e per valutare gli strumenti di copertura quali opzioni o contratti forward.

Come base di partenza dell’analisi del modello, ipotizziamo che i prezzi dei titoli finanziari si comportino come variabili casuali analizzabili con il calcolo delle probabilità: ciò significa che le variazioni dei prezzi si ipotizzano generate da un meccanismo aleatorio che rispecchia una specifica distribuzione di probabilità discreta1_.

2.01 DISTRIBUZIONE BINOMIALE AD UN PERIODO

Definizione

La distribuzione binomiale, detta anche distribuzione di Bernoulli, è la più importante fra le distribuzioni discrete e definisce la distribuzione di probabilità di n prove ripetute e indipendenti, quando i risultati possibili di ciascuna prova possono essere soltanto due: il successo (probabilità favorevole all'evento) e

l’insuccesso (probabilità sfavorevole all’evento). Consideriamo come caso concreto l’evoluzione di un’attività finanziaria infruttifera.

Si ipotizzi che, al termine di un intervallo di tempo, le situazioni possibili siano due: un rialzo e un ribasso, rispetto al prezzo corrente, di un ammontare misurato, rispettivamente, dai fattori di variazione u e d; alla possibilità di rialzo attribuiamo una probabilità q mentre, alla possibilità di ribasso, attribuiremo la

probabilità rimanente (1-q).

Indichiamo con S0 il prezzo iniziale del titolo e con Su e Sd i prezzi finali in caso, rispettivamente, di rialzo

e di ribasso.

1_{La funzione di probabilità di una variabile casuale discreta X, con possibili valori x1, x2, …, xn, è definita come:}

  

x

j

Q

X

x

j



f





20

S

u

= S

0

× u

q

S

0

1-q

S

d

= S

0

× d

Lo schema è chiamato albero binomiale in quanto il prezzo spot può soltanto aumentare o diminuire in corrispondenza della data finale. Al crescere del numero dei periodi, aumenta il numero dei rami; in questo caso il ramo considerato è uno solo perché abbiamo voluto analizzare le possibilità soltanto dopo un solo periodo, tuttavia è bene tenere in considerazione che trattare la volatilità di un titolo solamente dopo uno step è una mossa utopistica che in pochi accetterebbero per rappresentare le proprie aspettative sui prezzi futuri.

Distribuzione dei prezzi

La media e le misure di dispersione di una distribuzione binomiale a un periodo possono essere così determinate:

1. Valore atteso - è dato dalla media ponderata dei valori possibili dei prezzi moltiplicati per le probabilità di accadimento

E(S) = S

0

uq + S

0

d(1 – q)

2.

Varianza

-

è data dalla media ponderata dei quadrati degli scarti dalla media per le rispettive probabilità

V

s2

= [S

0

u – E(S)]

2

q + [S

0

d – E(S)]

2

(1-q)

3. Deviazione standard - si ricava come radice quadrata della varianza

2

s

s

V

V 

Le variabili aleatorie trattate in finanza non sono di tipo assoluto, ma sono tassi di variazione relativa in

quanto si presume abbiano media e varianza più stabili rispetto ai livelli o alle differenze assolute. Per una migliore trattabilità matematica nel continuo, i tassi di variazione sono espressi come tassi

logaritmici.

Ritorno sul prezzo

Si definisce ritorno sul prezzo del sottostante il logaritmo naturale del rapporto tra il prezzo rilevato al termine dello step e il prezzo iniziale.

21

1. Rialzo del prezzo



S

0

e

hu

= S

0

u ~ h

u

= ln (S

0

u / S

0

) = ln(u)

2.

Ribasso del prezzo



S

0

e

hd

= S

0

d ~ h

d

= ln (S

0

d / S

0

) = ln(d)

La distribuzione dei prezzi e quella dei ritorni hanno in comune l’insieme di eventi possibili con le

probabilità relative.

Da quanto detto, si evince che anche i ritorni seguono una distribuzione binomiale, con le proprietà seguenti:

1. Valore atteso

E(h) = ln(u)q + ln(d) (1 – q)

2. Varianza

V

h2

= [ln(u) – E(h)]

2

q + [ln(d) – E(h)]

2

(1 – q)

3. Deviazione standard

V

h

=

2 h

v

h

u

q + h

d

(1-q) = E(h)

[h

u

– E(h)]

2

q + [h

d

– E(h)]

2

(1- q) = v

h2

ud = e

2E(h) il ritorno dopo due passi consecutivi segnati da shock di segno opposto coincide col ritorno atteso biperiodale

possiamo eliminare l’incognita q attribuendo la stessa probabilità (q = 50%) di rialzo e di ribasso: adottando pesi uguali, per ottenere il valore atteso del ritorno è sufficiente considerare una coppia di ritorni dipendenti entrambi dai fattori a e b, con il primo che rappresenta l’elemento in comune mentre il secondo è l’elemento di perturbazione

h

u

= a + b

h

d

= a – b

a questo punto, per risolvere la prima equazione è sufficiente porre a = E(h).

La seconda equazione, poiché gli scarti dalla media sono pari a b e –b, sarà risolta per b = v.

Fatte le opportune considerazioni, a questo punto del lavoro, possiamo calcolare il ritorno corrispondente a un prezzo finale pari a E(S). Indichiamo con la lettera m il ritorno atteso che, per un processo con struttura dei ritorni (a + b) e (a – b), si ottiene in questo modo:

22

sostituendo q con 0,5, a con E(h) e b con v, ricaviamo:

m = E(h) + ln [0,5(e

v

+ e

-v

)]

che può essere meglio interpretata derivando rispetto a v ed espandendo in serie di Taylor per v = 0 fino al secondo ordine:

m = E(h) + [(v

h2

) / 2]

dalla cui formula inversa otteniamo il valore atteso del ritorno:

E(h) = m – [(v

h2

) / 2]

Dalle formule possiamo comprendere che tanto maggiore sarà la volatilità dei ritorni tanto maggiore sarà il ritorno sul prezzo atteso rispetto al ritorno atteso stesso.

2.02 COPERTURA CON UN CONTRATTO FORWARD

Le analisi sugli strumenti di copertura, svolti all’inizio del lavoro, sono necessari per comprendere il ruolo da essi svolti all’interno delle strategie finanziarie e in particolar modo per comprendere quelle messe in

atto dagli operatori a fronte della variabilità dei prezzi dei titoli finanziari. Una distribuzione neutrale al rischio corrisponde a quella situazione di equilibrio in cui un operatore è

neutrale al rischio grazie, appunto, alla copertura dello strumento derivato. Analiticamente tale distribuzione neutrale è caratterizzata da un valore atteso del prezzo (E(S)) uguale al prezzo forward (F) vigente alla data iniziale.

E(S) = F

Per un albero a un periodo la condizione precedente si esplica nel seguente modo:

E(S)= S

u

p + S

d

(1- p) = F

Le probabilità relative ai due stati di rialzo e ribasso possono essere ricavati dalla precedente equazione:

p = (F- S

d

) / (S

u

– S

d

)

23

Come possiamo notare, nell’equazione ho utilizzato, per esprimere la probabilità di rialzo, p: esso è una pseudoprobabilità, cioè ha le stesse caratteristiche di q, con la differenza che p assume non un’aspettativa, bensì un valore determinato in maniera oggettiva grazie appunto alla relazione di equilibrio2_.

Il termine pseudoprobabilità è un’espressione che merita di essere approfondito.

Come detto, le probabilità di rialzo e di ribasso p e 1-p presentano le stesse caratteristiche di q; ciò vuol dire che, di conseguenza, entrambe le probabilità devono essere presenti all’interno di un range compreso tra 0 e 1.

[(F-S

d

) / (S

u

– S

d

)] > 0

[(F-S

d

) / (S

u

– S

d

)] < 1

vale a dire, un valore del prezzo forward compreso tra gli estremi dei prezzi:

S

d <

F < S

u

Se questa condizione non fosse rispettata, allora ci troveremmo di fronte ad un mercato in disequilibrio che sollecita arbitraggi privi di rischio e per importi addirittura illimitati.

Detto in altri termini, le probabilità p e 1- p definiscono il prezzo corrente di equilibrio di un contrato forward il cui valore, come detto, dipenderà dal prezzo futuro del titolo calcolato con l’apposito processo. Così come accade per i contratti di opzione, anche nel caso dei contratti forward l’investitore può assumere una posizione lunga oppure una posizione corta: nel primo caso acquista a pronti il sottostante e si indebita a scadenza, nel secondo caso vende a pronti allo scoperto e si accredita a scadenza.

Indichiamo con Δ la quantità negoziata a pronti e con β l’importo iniziale del debito/credito.

Utilizziamo un processo binomiale a un periodo per replicare un acquisto a termine di un titolo infruttifero con scadenza tra un anno.

Indichiamo con r il tasso sui crediti/debiti e ipotizziamo un vincolo di esborso iniziale nullo. Il valore di equilibrio del forward si determina attraverso il rispetto di tali condizioni:

24

S

u

– F = ΔS

u

– βe

r vincolo di eguaglianza tra il payoff del forward e il valore della posizione di replica in caso di rialzo

S

d

– F = ΔS

d

– βe

r vincolo di eguaglianza tra il payoff del forward e il valore della posizione di replica in caso di ribasso

ΔS

0

– β = 0

vincolo relativo all’esborso iniziale nullo Risolvendo le equazioni otteniamo:

Δ =1

F= S

0

e

r

β= S

0

Un contratto forward è replicabile finanziando soltanto con debito l’acquisto a pronti di un’unità di sottostante al prezzo S0: a fronte di un pagamento inziale nullo, avremo un’uscita futura pari a

S

0

e

rche, in

condizione di equilibrio, dovrà coincidere con il prezzo forward corrente.

Analizzando il caso generale di valutazione di un forward con prezzo contrattuale K, avremo:

S

u

– K = ΔS

u

– βe

r

S

d

– K = ΔS

d

– βe

r

X

0

= ΔS

0

– β

valore di mercato del forward

Δ = 1

X

0

= S

0

– Ke

-r

β = Ke

-r

Per soddisfare le condizioni di non arbitraggio il valore di mercato del forward (X0) dovrà corrispondere al

flusso netto della replica (S0 – Ke-r

)

: il forward dovrà essere replicato acquistando un’unità spot (Δ = 1) e

finanziandosi per il valore attuale del prezzo contrattuale K (β = Ke-r_).

Indichiamo con “Xu”e con “Xd”i payoff a scadenza del derivato, cioè:

X

u

= S

u

– K

X

d

=S

d

– K

25

Dalla differenza tra i playoff ricaviamo:

X

u

– X

d

= ΔS

u

– ΔS

d

Δ = (X

u

– X

d

) / (S

u

– S

d

)

Grazie alle precedenti espressioni, l’importo del debito può essere espresso nella seguente maniera:

β = (ΔS

u

–X

u

) / e

r

= (ΔS

d

–X

d

) / e

r

Sostituendo S0 con Fe-r e β e Δ per le rispettive espressioni, il valore di equilibrio del forward è pari a:

X

0

= ΔS

0

–β

= ΔFe

-r

– (ΔS

u

–X

u

)e

-r

= e

-r

(ΔF – ΔS

u

+ X

u

)

= e

-r

[X

u

– Δ(S

u

– F)]

= e

-r

{Xu – [(X

u

– X

d

) / (S

u

– S

d

)](S

u

– F)}

= e

-r

{[X

u

(S

u

– S

d

) – (X

u

– X

d

)(S

u

– F)] / (S

u

– S

d

)}

= e

-r

{[X

u

(F – S

d

) / (S

u

– S

d

)] + [X

d

(S

u

– F) / (S

u

– S

d

)]}

= [X

u

p + X

d

(1- p)] / e

r

X0, quindi, può essere espresso come costo di replica oppure come valore atteso neutrale al rischio; essendo

un contratto con payoff legato da relazione lineare al prezzo del sottostante, il processo del prezzo non influisce sul rapporto di copertura che sarà sempre uguale al valore uno:

costo di replica ~ X = ΔS

0

– β = S

0

– Ke

-r

valore atteso ~

u _rd





e

p

X

p

X

X





1



2.03 COPERTURA CON UN CONTRATTO DI OPZIONE

In un contratto di opzione, il payoff per l’investitore, al netto del premio pagato, non potrà essere negativo in quanto, in caso di condizione sfavorevole, la facoltà non verrà esercitata.

Prendiamo in analisi un’opzione put, cioè lo strumento finanziario che dà il diritto a vendere un quantitativo di titoli ad una data scadenza e ad un determinato prezzo d’esercizio:

1° caso ~ rialzo del titolo (Xu)

Payoff =

Max (K – S

u

; 0)

26

Payoff =

Max (K– S

d

; 0)

Le strategie di copertura, con un contratto di opzione put, si ottengono dalla risoluzione delle seguenti equazioni:

Max (K – S

u

; 0) = ΔS

u

– βe

r

Max (K – S

d

; 0) = ΔS

d

– βe

r

P

0

= ΔS

0

– β

P0 ~ Valore iniziale dell’opzione

Risolvendo le equazioni otteniamo gli stessi valori di p e 1 – p visti in precedenza

ΔS

u

- Max (K – S

u

; 0) = ΔS

d

- Max (K – S

d

; 0) ~ Δ = [Max (K – S

u

; 0) - Max (K – S

d

; 0)] / (S

u

–

S

d

) = (P

u

– P

d

) / (S

u

– S

d

)

β = (ΔS

u

– P

u)

) / e

r

= (ΔS

d

– P

d

) / e

r

P

0

= ΔS

0

–

[(ΔS

u

– P

u)

) / e

r

] = [P

u

– Δ(S

u

– F)] / e

r

= [P

d

– Δ(S

d

– F)] / e

r

= [P

u

p + P

d

(1-p)] / e

r3 Prendiamo, adesso, in analisi un’opzione call, cioè lo strumento finanziario che dà il diritto ad acquistare un quantitativo di titoli ad una data scadenza e ad un determinato prezzo d’esercizio:

1° caso ~ rialzo del titolo (Xu)

Payoff =

Max (S

u

- K; 0)

2° caso ~ ribasso del titolo (Xd)

Payoff =

Max (S

d

- K; 0)

Le strategie di copertura, con un contratto di opzione call, si ottengono dalla risoluzione delle seguenti equazioni:

Max (S

u

- K; 0) = ΔS

u

– βe

r

Max (S

d

- K; 0) = ΔS

d

– βe

r

P

0

= ΔS

0

– β

3

27

Risolvendo le equazioni otteniamo:

ΔS

u

- Max (S

u

- K; 0) = ΔS

d

- Max (S

d

- K; 0) ~ Δ = [Max (S

u

- K; 0) - Max (S

d

- K; 0)] / (S

u

– S

d

)

= (P

u

– P

d

) / (S

u

– S

d

)

β = (ΔS

u

– P

u

) / e

r

= (ΔS

d

– P

d

) / e

r

P

0

= ΔS

0

–

[(ΔS

u

– P

u)

) / e

r

] = [P

u

– Δ(S

u

– F)] / e

r

= ΔS

0

– [(ΔS

d

– P

d

) / e

r

] =

[P

d

– Δ(S

d

– F)] / e

r

= [P

u

p +P

d

(1-p)] / e

r

Così come nel contratto forward, anche nel contratto d’opzione put e call registriamo un valore di p pari a:

p = (F – S

d

) / (S

u

– S

d

)

4

Esempio con opzione put:

Dato un modello binomiale a un passo con ampiezza unitaria dell’intervallo di discretizzazione e con il tasso di crescita u = 1,06 e tasso di decrescita d =u-1 _{= 0,94; calcolare la probabilità p tale che sia 0,03 il}

costo iniziale di un’opzione put con prezzo d’esercizio K= 0,98, al tasso d’interesse r= 0,02

Al periodo iniziale, cioè al nodo (0,0), ipotizziamo che il valore del sottostante sia pari a 1: ciò vuol dire

che, dopo un periodo, il valore del titolo può aumentare a 1,06 (1 x u) oppure diminuire a 0,94 (1 x d).

1,06 = S

u

[Nodo (1,1)]

p

1

nodo (0,0)

1 - p

0,94 = S

d

[Nodo (1,0)]

Nodo (1,1) ~ il valore del sottostante è uguale a 1,06, mentre il prezzo d’esercizio dell’opzione put è pari a

0,98; quindi all’investitore non conviene esercitare l’opzione [Max (K- Su; 0) = 0]

Nodo (1,0) ~ il valore del sottostante è pari a 0,94 e il prezzo d’esercizio dell’opzione put è uguale a 0,98; quindi all’investitore conviene esercitare l’opzione [Max (K – Sd; 0) = K – Sd]

Il valore dell’opzione put, quindi, dovrà essere pari al valore attuale del payoff ottenuto a scadenza:

4_[P

d – ΔSd +ΔF] / er = [p(Pu – Pd) + Pd] / er p = Δ[(F –Sd) / (Pu – Pd)]

28

Put = [(K – Sd) × (1 – p)] / (1+r) (0,03) (1+0,02) = 0,04 × (1 – p) 0,0306 = 0,04 × (1 – p) 0,76 = 1 – p p = 0,235 ~ 23,5 %

Il risultato cambierebbe se, anziché un’opzione put, analizzassimo la situazione nel caso di un’opzione call; in questo caso i payoff nei due nodi risulterebbero:

Nodo (1,1) ~ il valore del sottostante è uguale a 1,06 e il prezzo d’esercizio dell’opzione è pari a 0,98;

quindi all’investitore conviene esercitare l’opzione [Max (Su – K; 0) = Max (Su – K)].

Nodo (1,0) ~ il valore del sottostante è pari a 0,94 mentre il prezzo d’esercizio è uguale 0,98; quindi all’investitore non conviene esercitare l’opzione [Max (Sd – K; 0) = 0].

Il valore dell’opzione call, quindi, sarà:

Call = [(Su – K) x p] / (1 + r)

(0,03) x (1 + 0,02) = 0,08 × p 0,0306 = 0,08 × p p = 0,3825 ~ 38,25 %

Sia nel contratto forward che nel contratto put e call ritroviamo elementi comuni:

1. Δ = quantità di sottostante da acquistare o vendere per riprodurre il derivato; è definito dalla funzione di payoff a scadenza e ottenuto come differenza tra i valori del derivato nei nodi finali rapportato alla differenza tra i valori del sottostante

Δ = [Max (K – S

u

; 0) - Max (K – S

d

; 0)] / (S

u

– S

d

)

2. Debito = è dato dalla differenza tra il valore della posizione delta a scadenza e il payoff del derivato, attualizzato al periodo iniziale

β = [ΔS

u

- Max (K – S

u

; 0)] / e

r

β = [ΔS

d

– Max (K – S

d

; 0] / e

r

3. Costo di riproduzione = differenza attualizzata tra il valore finale del derivato e il risultato della posizione forward sul sottostante di importo Δ

P

0

= [Q

u

– Δ(S

u

– F)] / e

r

= [Q

d

– Δ(S

d

– F)] / e

r

29

TERZO CAPITOLO

LA

DISTRIBUZIONE

BINOMIALE

MULTIPERIODALE

E

LE

MODALITÀ DI COPERTURA

Il lavoro svolto fino ad ora verteva sull’analisi del modello binomiale dopo un periodo di osservazione: in particolare abbiamo analizzato sia la volatilità di un’attività sottostante sia le relative modalità di copertura necessarie.

L’analisi condotta, tuttavia, era relativa ad un solo periodo temporale: in altre parole l’attività sottostante, come abbiamo visto, poteva assumere esclusivamente due valori di rialzo e di ribasso e lì, una volta individuate le modalità di copertura, terminava la nostra analisi.

L’ipotesi che il prezzo finale del bene sottostante possa assumere due soli valori è chiaramente ben poco realistica. Possiamo supporre di suddividere l’intervallo di tempo che intercorre tra l’epoca di valutazione

e la data di scadenza dell’opzione in un numero n adeguatamente elevato di sottoperiodi di uguale ampiezza. In ogni sottoperiodo il prezzo di fine periodo è ottenuto moltiplicando il corrispondente prezzo di inizio

periodo per il fattore di crescita u o per il fattore di diminuzione d, come già fatto nell’analisi del modello binomiale a un periodo. Tale procedura dà luogo ad un albero binomiale che descrive l’andamento del prezzo del bene sottostante l’opzione nei singoli sottoperiodi.

3.01 DISTRIBUZIONE BINOMIALE MULTIPERIODALE

Definizione

Il modello binomiale multiperiodale è uno strumento utilizzato dagli studiosi per analizzare la volatilità delle attività finanziarie e per stimare il valore di un’opzione.

La logica del modello è simile a quella adottata da Black e Scholes, con la differenza che il modello binomiale si basa su un’impostazione nel discreto, nella quale il tempo che manca alla scadenza dell’opzione viene diviso in periodi, all’interno dei quali il prezzo del titolo sottostante può assumere soltanto due valori alternativi.

30

Distribuzione binomiale a tre periodi

S

uuu

= S

0

× u × u ×

u p Suu = S0 × u× u 1 - p p Suud = S0 × u × u × d Su = S0 × u Sudu = S0 × u × d × u 1- p p p Sud = S0 × u × d 1 - p S0 Sudd = S0 × u × d × d Sduu = S0 × d × u× u p 1-p Sdu = S0 × d × u p 1 - p Sd = S0 × d Sdud = S0 × d × u × d 1 - p Sddu = S0 × d × d × u p Sdd = S0 × d× d 1 - p Sddd = S0 × d × d ×d T = 0 T =1 T = 2 T = 3