Temi di esame di Meccanica Razionale

(1)

Corso di laurea in Matematica SAPIENZA Universit`a di Roma

Prove scritte di Meccanica Razionale

(testi e soluzioni)

Paolo Butt`

a & Piero Negrini

Dipartimento di Matematica

“Guido Castelnuovo”

SAPIENZA Universit`

a di Roma

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Indice

1 Testi 4 1.1 Compito 1 . . . 4 1.2 Compito 2 . . . 4 1.3 Compito 3 . . . 5 1.4 Compito 4 . . . 5 1.5 Compito 5 . . . 5 1.6 Compito 6 . . . 6 1.7 Compito 7 . . . 7 1.8 Compito 8 . . . 8 1.9 Compito 9 . . . 9 1.10 Compito 10 . . . 9 1.11 Compito 11 . . . 10 1.12 Compito 12 . . . 11 1.13 Compito 13 . . . 11 1.14 Compito 14 . . . 12 1.15 Compito 15 . . . 12 1.16 Compito 16 . . . 13 1.17 Compito 17 . . . 13 1.18 Compito 18 . . . 14 1.19 Compito 19 . . . 14 1.20 Compito 20 . . . 15 1.21 Compito 21 . . . 16 1.22 Compito 22 . . . 16 1.23 Compito 23 . . . 17 1.24 Compito 24 . . . 17 1.25 Compito 25 . . . 18 1.26 Compito 26 . . . 19 1.27 Compito 27 . . . 19 1.28 Compito 28 . . . 20 1.29 Compito 29 . . . 20 1.30 Compito 30 . . . 21 1.31 Compito 31 . . . 21 1.32 Compito 32 . . . 22 1.33 Compito 33 . . . 22 1.34 Compito 34 . . . 23 1.35 Compito 35 . . . 24 1.36 Compito 36 . . . 24 1.37 Compito 37 . . . 25

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1.38 Compito 38 . . . 25 1.39 Compito 39 . . . 26 1.40 Compito 40 . . . 27 1.41 Compito 41 . . . 27 1.42 Compito 42 . . . 28 1.43 Compito 43 . . . 29 2 Soluzioni 30 2.1 Soluzione Compito 1 . . . 30 2.2 Soluzione Compito 2 . . . 33 2.3 Soluzione Compito 3 . . . 35 2.4 Soluzione Compito 4 . . . 38 2.5 Soluzione Compito 5 . . . 40 2.6 Soluzione Compito 6 . . . 42 2.7 Soluzione Compito 7 . . . 44 2.8 Soluzione Compito 8 . . . 46 2.9 Soluzione Compito 9 . . . 48 2.10 Soluzione Compito 10 . . . 49 2.11 Soluzione Compito 11 . . . 52 2.12 Soluzione Compito 12 . . . 54 2.13 Soluzione Compito 13 . . . 56 2.14 Soluzione Compito 14 . . . 58 2.15 Soluzione Compito 15 . . . 61 2.16 Soluzione Compito 16 . . . 63 2.17 Soluzione Compito 17 . . . 65 2.18 Soluzione Compito 18 . . . 67 2.19 Soluzione Compito 19 . . . 68 2.20 Soluzione Compito 20 . . . 70 2.21 Soluzione Compito 21 . . . 72 2.22 Soluzione Compito 22 . . . 74 2.23 Soluzione Compito 23 . . . 77 2.24 Soluzione Compito 24 . . . 79 2.25 Soluzione Compito 25 . . . 81 2.26 Soluzione Compito 26 . . . 82 2.27 Soluzione Compito 27 . . . 85 2.28 Soluzione Compito 28 . . . 87 2.29 Soluzione Compito 29 . . . 89 2.30 Soluzione Compito 30 . . . 91 2.31 Soluzione Compito 31 . . . 94 2.32 Soluzione Compito 32 . . . 96

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2.33 Soluzione Compito 33 . . . 98 2.34 Soluzione Compito 34 . . . 100 2.35 Soluzione Compito 35 . . . 102 2.36 Soluzione Compito 36 . . . 104 2.37 Soluzione Compito 37 . . . 106 2.38 Soluzione Compito 38 . . . 109 2.39 Soluzione Compito 39 . . . 110 2.40 Soluzione Compito 40 . . . 112 2.41 Soluzione Compito 41 . . . 115 2.42 Soluzione Compito 42 . . . 116 2.43 Soluzione Compito 43 . . . 117

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1 Testi

1.1 Compito 1

In un piano verticale una sbarra materiale di massa M , di estremi A, B, lun-ghezza 2`, con distribuzione di massa omogenea, `e libera di ruotare attorno al suo centro fisso O. Sulla sbarra `e fissato un punto materiale P di massa m ad una distanza ₂` da B.

Su una retta immateriale orizzontale passante per O pu`o scorrere senza attrito un punto materiale P1di ugual massa m. Tra i punti P e P1si esercita

una forza elastica di costante k, k > 0. Assunta la retta orientata come asse coordinato, sia x la corrispondente ascissa del punto P1 e θ l’angolo che la

direzione−AB forma con il suddetto asse. Si chiede:−→

1) Scrivere la lagrangiana del sistema e le corrispondenti equazioni di Eulero-Lagrange.

2) Individuare le posizioni di equilibrio, al variare del parametro λ =

2mg

k` , studiandone le relative propriet`a di stabilit`a. Si determinino

quindi le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio stabile.

3) Si consideri ora lo stesso sistema ma su un piano orizzontale. Fissate le condizioni iniziali θ0 = 0, ˙θ0= 0, determinare i corrispondenti moti.

1.2 Compito 2

Su un piano verticale, sia {O; x, y} un sistema di riferimento ortonormale con l’asse y diretto secondo la verticale ascendente. Una sbarretta omogenea AB, di massa M e lunghezza `, giace in tale piano ed ha l’estremo A vincolato a scorrere senza attrito lungo l’asse delle ascisse. L’estremo B della sbarretta `e richiamato dall’origine delle coordinate attraverso una molla di costante elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla. Si denoti con x l’ascissa del punto A e con θ l’angolo che la direzione −AB forma con l’asse delle ascisse.−→

Si scriva la lagrangiana del sistema, si individuino le posizioni di equili-brio e se ne discuta la stabilit`a al variare del parametro λ = M g

2k`.

Si calcolino inoltre le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio stabile.

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1.3 Compito 3

Su un piano verticale, sia {O; x, y} un sistema di riferimento ortonormale con l’asse y diretto secondo la verticale ascendente. Il baricentro G di una sbarretta omogenea AB di massa m e lunghezza 2 `e vincolato a scorrere senza attrito lungo la guida curvilinea di equazione y = x2/2. L’estremo A della sbarretta `e attratto dall’asse delle ordinate tramite una molla ideale di costante elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla. Si indichino con x l’ascissa del punto G e con θ l’angolo che il vettore −→GA forma con l’asse delle ascisse.

1) Si scriva la lagrangiana del sistema, si individuino le posizioni di equi-librio e se ne discuta la stabilit`a. Si calcolino inoltre le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio stabile. 2) Si modifichi il sistema assumendo che anche l’estremo B della

sbar-retta `e attratto dall’asse delle ordinate tramite una molla ideale di uguale costante elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla. Si scri-va la lagrangiana del problema individuando due integrali primi del moto. Quindi si discutano qualitativamente i moti del sistema, con particolare riguardo all’esistenza di soluzioni periodiche non banali.

1.4 Compito 4

Sia {O; x, y, z} un sistema di riferimento ortonormale con l’asse z diretto secondo la verticale ascendente. Un punto materiale pesante P1 di massa m

`e vincolato a scorrere senza attrito lungo la guida circolare di centro l’origine O, raggio unitario e giacente sul piano coordinato {O; x, y}. Tale punto `e attratto da un secondo punto pesante P2, di ugual massa m, tramite una

molla ideale di costante elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla. Il punto P2 `e a sua volta vincolato a scorrere senza attrito lungo la guida circolare di

centro l’origine O, raggio unitario e giacente sul piano coordinato {O; y, z}. Si indichino con ϕ l’angolo che il vettore−0P−→1 forma con l’asse delle ascisse

x e con θ l’angolo che il vettore−−→OP2 forma con l’asse delle ordinate z.

Si scriva la lagrangiana del sistema, si individuino le posizioni di equili-brio e se ne discuta la stabilit`a. Si calcolino inoltre le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio stabile.

1.5 Compito 5

Una guida parabolica (immateriale) `e libera di ruotare attorno l’asse verti-cale u, passante per il punto fisso O. Si introduca un sistema di riferimento

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fisso {O; x, y, z}, con origine in O ed asse z diretto coincidente con l’asse u e diretto come la verticale ascendente. Si consideri un sistema di riferimento solidale alla guida {O; ξ, η, ζ}, con piano della guida π assegnato da η = 0, asse ζ coincidente con u e diretto come la verticale ascendente. In questo sistema di coordinate la guida `e rappresentata da

ζ = a 2ξ

2_, _{a > 0.}

Sia infine φ l’angolo che π forma col piano fisso y = 0, contato in verso antiorario. Sulla guida `e libero di scorrere senza attrito un punto materiale P , di massa m. Inoltre, fissato sulla guida nel punto di coordinata ξ = L, vi `e il punto Q, di massa M .

1) Si scrivano le coordinate dei punti P ed Q nel sistema fisso. Si scriva di conseguenza la Lagrangiana del sistema e le relative equazioni di Lagrange.

2) Si individui l’integrale primo del sistema di Lagrange L corrispondente alla coordinata ciclica, e lo si denoti con P . Si consideri poi il sistema lagrangiano ˆL, ad un grado di libert`a, ottenuto restringendo l’originale sistema sulla superficie assegnata da P = k, k ∈ R.

3) Si considerino gli equilibri del sistema lagrangiano ˆL al variare del parametro λ = _{M L}|k|2√_ga, studiando le relative propriet`a di stabilit`a.

4) Si disegnino le orbite del sistema ˆL nello spazio delle fasi, nel caso λ > 1.

1.6 Compito 6

Si consideri un cerchio rigido libero di ruotare attorno al suo diametro fissato su un asse verticale (u). Sia R il raggio del cerchio, O il suo centro, M la sua massa distribuita con densit`a uniforme µ.

Si assuma come sistema di riferimento fisso il sistema {O; x, y, z} con asse coordinato z diretto come l’asse (u) contro orientato rispetto all’acce-lerazione di gravità. Sia poi φ l’angolo che il piano solidale al disco forma con il piano fisso y = 0. Quindi, se indichiamo con {O; ξ, η, z} un sistema ortonormale solidale, l’ angolo φ è quello che l’asse coordinato ξ forma con l’ asse coordinato x, mentre il piano solidale ha equazione η = 0. Sul cerchio è libero di scorrere (senza attrito) un punto materiale P di massa m. Que-sto è richiamato dall’asse (u) con una forza −→f proporzionale alla reciproca

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distanza. Precisamente, denotato con Q il piede della perpendicolare da P ad (u), detta K una costante positiva la forza che si esercita su P `e

− →

f = K−P Q−→

Infine, si denoti con ψ l’angolo che individua la posizione di P sul cerchio. Scelte come coordinate lagrangiane (φ, ψ) si risponda alle seguenti domande.

1) Scrivere la lagrangiana del sistema.

2) Scrivere il sistema di Lagrange e determinarne gli integrali primi.

3) Studiare le soluzioni del sistema di Lagrange in corrispondenza al dato iniziale ˙φ(0) = 0. In particolare, usando gli integrali primi, analizzare i moti della cordinata ψ, rappresentando le relative orbite nel piano delle fasi.

1.7 Compito 7

Due punti materiali P1 e P2 di uguale massa m sono vincolati agli estremi di

un’asta immateriale di lunghezza 2` il cui centro G `e vincolato a muoversi su una guida circolare di raggio R (R > `), fissa in un piano orizzontale π. Si consideri un riferimento fisso ortonormale {O, i, j, k} con origine O nel centro della guida e versore k perpendicolare a π, orientato lungo la verticale ascendente. Il punto P1 `e attratto, tramite una molla elastica di

costante K, dal punto immateriale Q1 situato sull’asse k alla stessa quota

di P1. Analogamente P2 `e attratto, tramite una molla elastica di uguale

costante K, dal punto immateriale Q2 situato sull’asse k alla stessa quota

di P2.

Sia θ ∈ [0, 2π) l’angolo che −OG forma con la direzione i e si denoti con−→ ψ l’angolo che −−→GP2 forma con la direzione k. Si restringa il dominio di ψ

all’intervallo aperto (0, π) e, detta H la proiezione di P2 sul piano π, sia

infine ϕ ∈ [0, 2π) l’angolo che−−→GH forma con i. Si chiede:

1) Scrivere la lagrangiana L(θ, ϕ, ψ, ˙θ, ˙ϕ, ˙ψ) e determinare tre integrali primi del moto.

2) Utilizzando i suddetti integrali primi si dimostri che il problema la-grangiano `e risolubile per quadrature. In particolare si dimostri che si riduce ad un problema unidimensionale nella coordinata ψ.

(9)

3) Si denoti con pϕl’impulso coniugato alla coordinata ϕ. Restringendosi

al caso pϕ 6= 0 si discuta il diagramma delle orbite nello spazio delle

fasi per il suddetto problema unidimensionale al variare del parametro λ = p

2 ϕ

4Km`4.

4) Si determini una soluzione periodica del sistema lagrangiano completo.

1.8 Compito 8

Sia π una lastra piana rigida, di distribuzione di massa omogenea, di forma quadrata con lato l, massa tootale M . Si G il suo baricentro. La lastra `e vincolata a ruotare attorno ad una sua retta r (immateriale) orizzontale e parallela ad uno dei lati, passante per G.

Su un asse verticale passante per G `e fissato l’estremo Q di una molla elastica di costante K. Tale molla si esercita sul punto materiale P di massa m, libero di muoversi senza attrito sulla lastra.

Si assuma una terna fissa levogira di assi i, j, k e origine il baricentro della lastra. Siano (X, Y, Z) le corrispondenti coordinate. Per definitezza si supponga la terna orientata in modo tale che

Q ≡ (0, 0, Z0), Z0 ≥ 0

Inoltre sia j il versore della retta r. Sia c un versore normale a π. Si denoti con φ l’angolo (contato in modo antiorario) che c forma con k. Siano poi (x, y) le coordinate del punto P relativamente ad un sistema solidale piano, con secondo asse coincidente con j, origine nel baricentro della lastra.

1) Si scriva la lagrangiana del sistema, in funzione delle coordinate la-grangiane (φ, x, y).

2) Si determini il moto della coordinata y del punto P .

3) Si individuino le posizioni di equilibrio del sistema. Si consideri in particolare il caso

λ := mg − KZ0 K 6= 0 e si discuta la stabilit`a degli equilibri.

4) Si consideri il caso λ = 0 e si determini esplicitamente il moto del sistema.

(10)

1.9 Compito 9

Si consideri in un piano verticale Π una guida rettilinea immateriale. Tale guida è libera di ruotare attorno ad un suo punto fisso O ed ha fissato su di essa, a distanza ` da O, un punto materiale P di massa m. Sull’asta è poi libero di scorrere senza attrito il centro G di un disco omogeneo, di massa M e raggio R. Il disco è libero di ruotare, mantenendosi nel piano Π. Tra i punti P e G si esercita una forza elastica di costante K.

Siano ϕ l’angolo che la direzione −OP forma con l’asse coordinato oriz-−→ zontale, ψ l’angolo di rotazione propria del disco ed s ∈ R l’ascissa di G lungo la guida. Assunti come parametri lagrangiani (ϕ, ψ, s), si chiede:

1) Scrivere la lagrangiana del sistema, mostrando che

L(ϕ, ψ, s, ˙ϕ, ˙ψ, ˙s) = L1(ϕ, s, ˙ϕ, ˙s) + L2( ˙ψ)

e determinare quindi il moto di ψ.

2) Si consideri ora il sistema corrispondente ad L1(ϕ, s, ˙ϕ, ˙s). Se ne

de-terminino gli equilibri e le relative propriet`a di stabilit`a al variare del parametro

λ = K`(M + m) M2_g

nell’insieme (0, 1) ∪ (1, +∞).

3) Si determinino le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio stabile.

1.10 Compito 10

Sia U un asse verticale fisso, orientato come la verticale ascendente. Un piano Π è libero di ruotare attorno ad U (il piano è considerato senza massa). Su di un asse orizzontale V , fisso in questo piano e passante per il punto O ∈ U , è disposto il centro Q di un cerchio C, solidale a Π , di massa anch’essa ignorabile, raggio r, con r < |OQ| := R.

Infine un punto materiale P , di massa m, è libero di scorrere senza attrito lungo C. Su P si esercita una forza di richiamo elastica, di costante elastica k. Il centro di applicazione della forza è fissato nel punto D ∈ U al di sopra di O; la distanza d := |OD| è scelta tale che k = mg_d .

1) Si scriva la lagrangiana del sistema, utilizzando come coordinate la-grangiane l’angolo θ che identifica P su C e l’angolo φ che il piano Π

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forma con il piano Y = 0 di un sistema di coordinate fisso {O; X, Y, Z} (l’asse Z essendo diretto lungo U ).

2) Dimostrare che una delle due coordinate `e ciclica e scrivere quindi, uti-lizzando il corrispondente integrale primo, la lagrangiana del sistema ridotto.

3) Determinare gli equilibri di tale sistema ridotto al variare dei parame-tri. Discuterne quindi le relative propriet`a di stabilit`a.

4) Mostrare che il sistema completo ammette soluzioni periodiche esiben-done almeno una.

1.11 Compito 11

Su un piano verticale, sia {O; x, y} un sistema di riferimento ortonormale con l’asse y diretto secondo la verticale ascendente. Due punti materiali pesanti P1 e P2 di uguale massa m sono vincolati agli estremi di un asta

immateriale di lunghezza 2. Il centro C di tale asta `e libero di scorrere senza attrito lungo la guida curvilinea di equazione y = −x2 ed `e richiamato dal punto Q di coordinate (0, 1) attraverso una molla di costante elastica K > 0. Si indichi con x l’ascissa del punto C e con ϕ l’angolo che −P−−1P→2

forma con l’asse delle ascisse. Si richiede:

1) Calcolare la lagrangiana del sistema utilizzando le coordinate (x, ϕ), mostrando che

L(x, ϕ, ˙x, ˙ϕ) = L(1)(x, ˙x) + L(2)(ϕ, ˙ϕ).

2) Integrare esplicitamente il moto della coordinata ϕ.

3) Discutere qualitativamente il moto della variabile x al variare del parametro

λ = mg K .

4) Si calcoli, nel caso λ = 1, la frequenza delle piccole oscillazioni at-torno ad una posizione di equilibrio stabile relativa alla lagrangiana L(1)(x, ˙x).

5) Esistono soluzioni non globali delle equazioni del moto nel caso in cui K = 0 (ovvero si escluda la molla)?

6) Esistono soluzioni periodiche del problema completo t 7→ (x(t), ϕ(t)) tali che x(t) e ϕ(t) siano entrambe funzioni non costanti?

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1.12 Compito 12

Sia {O; x, y} un sistema di riferimento ortonormale su un piano verticale Π, con l’asse delle ordinate y diretto secondo la verticale ascendente. Un punto materiale P di massa m giace su tale piano ed è vincolato a rimanere a distanza costante ` > 0 dal punto materiale Q di uguale massa m, che è libero di scorrere lungo l’asse delle ascisse x. Il punto P è richiamato dal punto geometrico C di coordinate (0, `) attraverso una molla di costante elastica k > 0. Si richiede:

1) Scrivere la lagrangiana del sistema, utilizzando come coordinate l’ascis-sa x del punto Q e l’angolo θ che il vettore−QP forma con la direzione−→ verticale discendente.

2) Determinare le posizioni di equilibro del sistema al variare del para-metro

λ = mg k`.

Discuterne quindi le relative propriet`a di stabilit`a restringendosi al caso λ 6= 2.

3) Calcolare le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una posizio-ne di equilibrio stabile posizio-nel caso λ > 2.

1.13 Compito 13

Un punto materiale pesante P di massa m `e vincolato senza attrito alla superficie di rotazione d’asse verticale x3 ascendente, descritta in coordinate

cartesiane dall’equazione x3 = log q x2 1+ x22. Si richiede:

1) Scrivere la lagrangiana del sistema utilizzando le coordinate polari (r, ϕ) definite da

x1 = r cos ϕ, x2= r sin ϕ.

2) Determinare due integrali primi del sistema.

3) Discutere i moti del punto P utilizzando gli integrali primi e restrin-gendosi al caso di condizioni iniziali tali che ˙ϕ(0) 6= 0.

(13)

4) Determinare almeno una soluzione periodica delle equazioni del moto.

5) Discutere i moti del punto P per condizioni iniziali tali che ˙ϕ(0) = 0. Esistono in tal caso soluzioni non globali delle equazioni del moto?

1.14 Compito 14

Su un piano verticale sia {O; x, y} un sistema di riferimento ortonormale con l’asse y diretto secondo la verticale ascendente. Due punti materiali P1 e P2

di uguale massa m sono vincolati a scorrere senza attrito lungo una guida curvilinea di equazione

y = ax2, a 6= 0.

I punti sono soggetti alla forza peso ed inoltre si attraggono reciprocamente attraverso una forza di energia potenziale

Uin(x1, x2) =

k

4(x1− x2)

4_, _{k > 0,}

essendo x1 ed x2 le ascisse dei punti P1 e P2 rispettivamente. Si richiede:

1) Scrivere la lagrangiana del sistema utilizzando le coordinate lagrangia-ne (x1, x2).

2) Determinare le posizioni di equilibro del sistema al variare del para-metro a 6= 0 e discuterne le relative propriet`a di stabilit`a.

3) Calcolare le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una posizio-ne di equilibrio stabile posizio-nel caso a > 0.

4) Integrare le equazioni del moto nel caso in cui a = 0.

1.15 Compito 15

Su un piano verticale, sia {O; x, y} un sistema di riferimento ortonormale con l’asse y diretto secondo la verticale ascendente. Il baricentro C di una sbarretta omogenea AB di massa m e lunghezza 2 è vincolato a scorrere senza attrito lungo la guida rettilinea di equazione y = −x. L’estremo A della sbarretta è attratto dal punto d’origine O del sistema di riferimento tramite una molla ideale di costante elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla. L’estremo B della sbarretta è attratto dall’asse delle ordinate tramite una molla ideale di uguale costante elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla. Si indichino con x l’ascissa del punto C e con θ l’angolo che il vettore −→

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1) Si scriva la lagrangiana del sistema, si individuino le posizioni di equi-librio e se ne discuta la stabilità al variare del parametro λ = mg_4k, limitandosi ai casi in cui la stabilità è riconosciuta dalla parte lineare. Si calcolino inoltre le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio stabile.

2) Si modifichi il sistema bloccando il baricentro C della sbarretta nella posizione x = 0. Si discutano qualitativamente i moti del sistema, rappresentando le orbite nello spazio delle fasi.

1.16 Compito 16

Su un piano verticale, sia {O; x, y} un sistema di riferimento ortonormale con l’asse y diretto secondo la verticale ascendente. Su tale piano giace una sbarretta omogenea AB di massa 2m e lunghezza 1. L’estremo A della sbar-retta è vincolato a scorrere senza attrito lungo l’asse delle ascisse. L’estremo B è attratto dal punto Q di coordinate (0, 1) tramite una molla ideale di co-stante elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla. Si indichino con x l’ascissa del punto A e con θ l’angolo che il vettore−AB forma con l’asse delle ascisse.−→ Si scriva la lagrangiana del sistema, si individuino le posizioni di equili-brio e se ne discuta la stabilità al variare del parametro λ = 1 −mg_k , limitan-dosi ai casi in cui la stabilità è riconosciuta dalla parte lineare. Si calcolino inoltre le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio stabile.

1.17 Compito 17

Un punto materiale di massa m `e libero di muoversi su un piano orizzontale ed `e soggetto all’azione di una forza di energia potenziale

U (x, y) = λx2+1 2y

2_{− log(1 + x}2_{+ y}2_),

essendo (x, y) le coordinate del punto in un riferimento ortonormale {O; x, y} nel piano e λ `e un parametro positivo.

1) Si scriva la lagrangiana del sistema e si individuino le posizioni di equilibrio al variare del parametro λ > 0; se ne discuta la stabilit`a limitandosi ai casi in cui essa `e riconosciuta dalla parte lineare. Si calcolino inoltre le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio stabile.

(15)

2) Si consideri ora il caso λ = 1₂. Si individuino due integrali primi del moto e si determini almeno una soluzione periodica delle equazioni del moto.

1.18 Compito 18

Sia {O; x, y} un riferimento ortonormale in un piano orizzontale. Un punto materiale P di massa m = 1 `e vincolato a scorrere senza attrito lungo la guida curvilinea di equazione

y = x

4

2 − x

2

ed `e soggetto al campo di forza

F (x, y) =x 1

.

1) Si scriva la lagrangiana del sistema utilizzando come coordinata l’a-scissa x del punto P .

2) Si discuta qualitativamente il moto di P . In particolare si disegni il ritratto delle fasi, specificando il numero di orbite su ciascun livello di energia, ed il tipo di moto corrispondente a ciascuna di esse. Esistono moti che non sono definiti globalmente nel tempo?

3) Si calcoli la frequenza delle piccole oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio stabile.

4) Sia x(t) la soluzione di dati iniziali x(0) = 0, ˙x(0) = 1. Calcolare

lim

t→+∞x(t).˙

1.19 Compito 19

Sia {O; x, y, z} un sistema di riferimento ortonormale con l’asse z diretto secondo la verticale ascendente. Un punto materiale pesante P di massa m è vincolato a muoversi senza attrito sulla superficie cilindrica di equazione x2+ y2 = 1. Il punto P è richiamato dall’origine O tramite una molla ideale di costante elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla. Tale punto è inoltre sottoposto alla forza di energia potenziale

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con α un parametro positivo. Si denoti con z la quota del punto P e con θ l’angolo che la direzione −OQ forma con l’asse delle ascisse, essendo Q la−→ proiezione di P sul piano coordinato orizzontale.

2) Individuare le posizioni di equilibrio e discuterne le propriet`a di sta-bilit`a al variare del parametro λ = mg

α , limitandosi ai casi in cui esse sono riconosciute dalla parte lineare.

3) Calcolare le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una posizio-ne di equilibrio stabile.

4) Posto α = 0, si determini esplicitamente la soluzione delle equazioni di Eulero-Lagrange di dati iniziali

z(0) = −mg

k , z(0) = 0,˙ θ(0) = 1, θ(0) = 1.˙

1.20 Compito 20

Sia {O; x, y, z} un sistema di riferimento ortonormale con l’asse z diretto secondo la verticale ascendente. Un punto materiale pesante P di massa m `e vincolato a muoversi senza attrito sulla superficie di equazione z = −x−y2. Il punto P `e richiamato dall’origine O tramite una molla ideale di costante elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla.

1) Scrivere la lagrangiana del sistema e le corrispondenti equazioni di Eulero-Lagrange, utilizzando le coordinate cartesiane orizzontali (x, y) del punto P come coordinate lagrangiane.

2) Individuare le posizioni di equilibrio e discuterne le propriet`a di sta-bilit`a al variare del parametro λ = mg

k , limitandosi ai casi in cui esse sono riconosciute dalla parte lineare. (Facoltativo: studiare anche il caso critico in cui le propriet`a di stabilit`a non sono riconosciute dalla parte lineare).

(17)

1.21 Compito 21

Sia {O; x, y} un sistema di riferimento ortonormale su un piano orizzontale. Due sbarrette omogenee AB ed A0B0, di uguale massa m e lunghezza ` = 2√3, giacciono su tale piano. La sbarretta AB ha gli estremi vincolati a scorrere senza attrito lungo la guida circolare di raggio r = 2 e centro O = (0, 0). Analogamente, la sbarretta A0B0 ha gli estremi vincolati a scorrere senza attrito lungo la guida circolare di uguale raggio e centro O0 = (2d, 0), essendo d un parametro positivo. I baricentri G, G0 delle sbarrette AB ed A0B0 si attraggono attraverso una molla di costante elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla. Si denotino con θ e φ gli angoli che le direzioni −−→

OG e−−→O0G0 rispettivamente formano con l’asse delle ascisse.

2) Individuare le posizioni di equilibrio e discuterne la stabilità al variare del parametro d > 0, limitandosi ai casi in cui la stabilità è riconosciuta dalla parte lineare.

1.22 Compito 22

Sia {O; x1, x2, x3} un sistema di riferimento ortonormale con l’asse x3diretto

secondo la verticale ascendente. Un punto materiale pesante P di massa m `e vincolato senza attrito alla superficie di equazione

x3 = x2₁+ x2₂ 2 − 1 2log x 2 1+ x22.

Il punto P `e inoltre sottoposto all’azione di una forza costante ~F = f ~e1,

f ∈ R, essendo ~e1 il versore dell’asse x1.

1) Utilizzando le coordinate cilindriche (r, ϕ, x3), r > 0, ϕ ∈ [0, 2π) si

scriva la lagrangiana del sistema. Nel caso f 6= 0 si individuino le po-sizioni di equilibrio e se ne discuta la stabilit`a al variare dei parametri in gioco.

2) Si consideri il caso f = 0. Utilizzando gli integrali primi del sistema si discutano qualitativamente i moti del punto P . Si determini inoltre una soluzione periodica delle equazioni del moto.

(18)

1.23 Compito 23

Si considerino due sistemi di riferimento ortonormali, levogiri, l’uno fisso (O, X, Y, Z) l’altro (O, x, y, Z), libero di ruotare attorno all’asse coordinato Z. Tale asse è orientato come la verticale ascendente. Si denoti con φ l’angolo che l’asse coordinato x forma con l’asse coordinato X. L’angolo è contato positivamente in senso antiorario a partire dall’asse X. Sul piano x = 0 è posto un cerchio immateriale C, di centro O e raggio di lunghezza 1. Su C si trovano due punti P1 e P2 di rispettive masse m1 ed m2. Il punto P1

può scorrere liberamente sul cerchio e la sua posizione è individuata dalla anomalia θ, contata positivamente in senso antiorario a partire dall’ asse y. Il punto P2 è fisso su C in (x2, y2, Z2) = (0, 1, 0), ed è sottoposto ad una

forza schematizzata come quella di molla di costante elastica k (k > 0) e punto di applicazione in X = Z = 0, Y = L, L > 0.

1) Scrivere la lagrangiana del sistema e le corrispondenti equazioni di Lagrange.

2) Si individuino le soluzioni di equilibrio.

3) Si scelga una posizione di equilibrio stabile e in corrispondenza si determinino le frequenze delle piccole oscillazioni.

4) Si determini il moto di φ in corrispondenza alle condizioni iniziali φ0 =

π, ˙φ0 = 0.

1.24 Compito 24

In un piano verticale `e posta un’asta omogenea di massa M e lunghezza `, libera di ruotare attorno ad un suo estremo fisso. Si consideri un sistema di coordinate {O; x, y} con origine O nell’estremo fisso, asse orizzontale x ed asse verticale y diretto secondo la verticale ascendente.

Detto G il baricentro dell’asta, si consideri la retta immateriale (r), pas-sante per G e perpendicolare all’asta stessa. Si orienti questa retta in modo tale che il corrispondente versore ˆn si allinei alla direzione−OG mediante una−→ rotazione oraria si π/2.

Sia P un punto materiale di massa m libero di scorrere su (r) e sia s la sua coordinata su (r), precisamente −GP = s ˆ−→ n. Il punto `e richiamato da G tramite una molla elastica di costante k.

Sia infine θ l’angolo che l’asta forma con l’asse verticale, contato in verso antiorario, con θ = 0 corrispondente alla posizione pi`u bassa dell’estremo libero dell’asta.

(19)

1) Si scriva la lagrangiana del sistema utilizzando le coordinate (s, θ). 2) Si determinino le posizioni di equilibrio del sistema e le relative

pro-priet`a di stabilit`a al variare del parametro positivo

λ = M + m 2m2_g k`,

limitandosi ai casi in cui tali propriet`a sono riconosciute dalla parte lineare.

3) Si cambi ora problema abolendo la molla (k = 0). Si studino le posi-zioni di equilibrio e le loro propriet`a di stabilit`a per la corrispondente lagrangiana.

1.25 Compito 25

Si consideri un piano orizzontale Π e su di esso una guida circolare C di centro O e raggio unitario. La guida `e immateriale. Si assuma un sistema di riferimento ortonormale {O; x, y, z}, con asse z orientato lungo la verticale ascendente. Su tale asse `e libero di scorrere un punto P1 di massa m1.

Sulla guida circolare C `e libero di scorrere un punto P2 di massa m2. Infine,

sull’asse x `e libero di scorrere un punto P3 di massa m3.

Tra il punto P1 ed il punto P2 si esercita una forza elastica (una molla)

di costante k, k > 0. Tra il punto P2 ed il punto P3 si esercita una forza

elastica (una molla) di costante k0, k0> 0.

Si denoti con θ l’anomalia angolare che il raggio vettore di P2 forma con

l’asse x. Si denoti con z la coordinata di P1 sull’asse verticale, con x la

coordinata di P3 sull’asse corrispondente.

1) Si scriva la lagrangiana L(x, θ, z, ˙x, ˙θ, ˙z) del sistema, mostrando che si separa in due lagrangiane indipendenti,

L(z, θ, x, ˙z, ˙θ, ˙x) = L1(z, ˙z) + L2(θ, x, ˙θ, ˙x).

2) Si studi per primo il sistema lagrangiano di lagrangiana L1(z, ˙z),

de-terminandone la soluzione generale e, in particolare, le soluzioni di equilibrio.

3) Si passi quindi allo studio del sistema di lagrangiana L2(θ, x, ˙θ, ˙x),

de-terminandone le soluzioni di equilibrio ed il loro carattere di stabilit`a. 4) Scelta una soluzione di equilibrio stabile, si determinino le frequenze

(20)

1.26 Compito 26

Su un piano verticale, sia {O; x, y} un sistema di riferimento ortonormale con l’asse y diretto secondo la verticale ascendente. Una sbarretta omogenea AB, di massa m e lunghezza 2`, giace in tale piano ed ha gli estremi vincolati a scorrere senza attrito lungo una guida circolare di raggio r = √2 ` e centro l’origine O. Un punto materiale P di uguale massa m `e libero di scorrere senza attrito lungo una guida rettilinea immateriale passante per gli estremi A e B della sbarretta. I punto P `e richiamato dal baricentro G della sbarretta attraverso una molla di costante elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla. Detto ~e il versore di−GB, si denoti con ξ l’ascissa del punto−→ materiale P tale che −GP = ξ ~−→ e, e con θ l’angolo che la direzione −OG forma−→ con l’asse delle ascisse.

2) Individuare le posizioni di equilibrio e discuterne la stabilit`a al va-riare del parametro α = 2k`

mg, limitandosi ai casi in cui la stabilit`a `e riconosciuta dalla parte lineare.

3) Si modifichi il problema trascurando la forza peso. Individuare due integrali primi del moto e mostrare come, mediante questi, l’integra-zione delle equazioni del moto si riconduce allo studio di un opportuno problema unidimensionale efficace.

1.27 Compito 27

Su un piano orizzontale, sia {O; x, y} un sistema di riferimento ortonormale. Su tale piano si muovono due sbarrette omogenee di lunghezza 2` e massa m di estremi rispettivamente A, B e B, C, incernierate tra loro in B ma libere di ruotare senza attrito. Gli estremi A e C sono inoltre vincolati a scorrere senza attrito lungo l’asse delle ascisse. L’estremo A `e richiamato dal punto Q1 di coordinate (−`, 0) attraverso una molla di costante elastica k > 0 e

lunghezza a riposo nulla. Analogamente, l’estremo C `e richiamato dal punto Q2di coordinate (`, 0) attraverso una molla di uguale costante elastica k > 0

e lunghezza a riposo nulla. Si scelgano come variabili lagrangiane l’ascissa x di B e l’angolo θ che la direzione−AB forma con l’asse delle ascisse.−→

1) Scrivere la lagrangiana del sistema e le relative equazioni di Eulero-Lagrange.

(21)

4) Trovare se esistono condizioni iniziali per cui il moto sia armonico non solo per piccole oscillazioni ma anche per oscillazioni finite.

1.28 Compito 28

Una sbarra rigida omogenea pesante OA di lunghezza ` e massa M = 2m è posta in un piano verticale ed è libera di ruotare senza attrito attorno al suo estremo O. Per l’altro estremo passa una guida rettilinea di massa trascurabile ed ortogonale alla sbarra. Lungo tale guida si muove senza attrito un punto materiale pesante P di massa m. Tale punto è richiamato dall’estremo O attraverso una molla di costante elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla.

Si scelgano come variabili lagrangiane l’angolo θ che la direzione −→OA forma con la verticale discendente e l’ascissa ξ del punto P lungo la guida.

2) Individuare le posizioni di equilibrio e discuterne la stabilit`a al va-riare del parametro α = 2k`

mg, limitandosi ai casi in cui la stabilit`a `e riconosciuta dalla parte lineare.

1.29 Compito 29

Sia {O; x, y, z} un sistema di riferimento ortonormale con l’asse z diretto secondo la verticale ascendente. Un punto materiale pesante P di massa m `e vincolato a muoversi senza attrito sulla superficie di equazione z = xy. Il punto P `e richiamato dall’origine O tramite una molla ideale di costante elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla.

1) Scrivere la lagrangiana del sistema utilizzando le coordinate cartesiane orizzontali (x, y) del punto P come coordinate lagrangiane.

2) Individuare le posizioni di equilibrio e discuterne le propriet`a di sta-bilit`a al variare del parametro positivo λ = mg

k , limitandosi ai casi in cui esse sono riconosciute dalla parte lineare.

(22)

4) Studiare le propriet`a di stabilit`a delle posizioni di equilibrio nel caso critico, ovvero quando esse non sono riconosciute dalla parte lineare.

1.30 Compito 30

Su un piano verticale, sia {O; x, y} un sistema di riferimento ortonormale con l’asse y diretto secondo la verticale ascendente. Una sbarra omogenea AB, di massa M e lunghezza 2`, giace in tale piano ed ha l’estremo A vincolato a scorrere senza attrito lungo l’asse delle ordinate. Il baricentro G della sbarra `e richiamato dall’origine delle coordinate attraverso una molla di costante elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla. Si denoti con y l’ordinata del punto A e con θ l’angolo che la direzione−AB forma con l’asse delle ascisse.−→

1) Si scriva la lagrangiana del sistema.

2) Si individuino le posizioni di equilibrio e se ne discuta la stabilit`a.

3) Si calcolino le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una posi-zione di equilibrio stabile.

4) Si modifichi ora il problema bloccando l’estremo A della sbarra alla quota ¯y = M g_k . Si discutano qualitativamente i moti del sistema, rappresentando le orbite nello spazio delle fasi (θ, ˙θ).

1.31 Compito 31

Su un piano verticale sia {O; x, y} un sistema di riferimento ortonormale con l’asse y diretto secondo la verticale ascendente. Due punti materiali P1 e P2

di uguale massa m sono vincolati a scorrere senza attrito lungo una guida curvilinea di equazione

y = x2 .

I punti sono soggetti alla forza peso ed interagiscono tra loro attraverso una forza di energia potenziale

Uint(x1, x2) =

K

4 (x1− x2)

4_, _{K ∈ R ,}

essendo x1 ed x2 le ascisse dei punti P1 e P2 rispettivamente. Si utilizzino

(23)

2) Si individuino le posizioni di equilibrio al variare del parametro K ∈ R e se ne discutano le relative propriet`a di stabilit`a.

4) Si modifichi il problema bloccando il punto P2 nell’origine delle

coor-dinate e si assuma K < 0. Si discutano qualitativamente i moti del sistema, rappresentando le orbite nello spazio delle fasi (x1, ˙x1).

1.32 Compito 32

Su un piano verticale sia {O; x, y} un sistema di riferimento ortonormale con l’asse y diretto secondo la verticale ascendente. Su tale piano si muovono due sbarrette omogenee pesanti di lunghezza 2` e massa M di estremi rispet-tivamente A, B e B, C, incernierate tra loro in B ma libere di ruotare senza attrito. Gli estremi A e C sono inoltre vincolati a scorrere senza attrito lun-go l’asse delle ascisse. L’estremo in comune B delle sbarrette `e richiamato dall’origine delle coordinate attraverso una molla di costante elastica K > 0 e lunghezza a riposo nulla. Si scelgano come variabili lagrangiane l’ascissa x di B e l’angolo θ che la direzione−AB forma con l’asse delle ascisse.−→

2) Si individuino le posizioni di equilibrio al variare del parametro α = M g

2K` (dove g è l’accelerazione di gravità) e se ne discutano le relative proprietà di stabilità, limitandosi ai casi in cui tali proprietà sono riconosciute dalla parte lineare.

1.33 Compito 33

Su un piano verticale sia {O; x, y} un sistema di riferimento ortonormale con l’asse y diretto secondo la verticale ascendente e si indichi con g l’ac-celerazione di gravit`a. Su tale piano giacciono un punto materiale pesante di massa m ed una sbarretta omogenea pesante di lunghezza 2` e uguale massa m. Indichiamo con P il punto materiale e con A e B gli estremi della sbarretta. Il punto materiale P `e vincolato a scorrere senza attrito su una

(24)

guida circolare di raggio 2` e centro l’origine O del sistema di riferimento. La sbarretta `e libera di ruotare senza attrito attorno al suo baricentro G che `e fissato nell’origine O del sistema di riferimento. L’estremo A della sbarretta ed il punto materiale P si attraggono attraverso una forza elastica di costante elastica K > 0. Si scelgano come variabili lagrangiane l’angolo φ che la direzione−OP forma con l’asse delle ascisse e l’angolo θ che la direzione−→ −→

OA forma con l’asse delle ascisse.

2) Si individuino le posizioni di equilibrio e se ne discutano le relative propriet`a di stabilit`a.

4) Si modifichi il sistema bloccando la sbarretta nella posizione verticale corrispondente a θ = −π/2. Si discutano qualitativamente i moti del sistema, rappresentando le orbite nello spazio delle fasi (φ, ˙φ).

1.34 Compito 34

Sia {O; x, y} un sistema di riferimento ortonormale su un piano orizzontale. Il baricentro G di due punti materiali P1 e P2 di uguale massa m `e vincolato

a scorrere senza attrito lungo l’asse delle ascisse. I due punti sono inoltre vincolati a rimanere a distanza costante pari a 2`. Il punto P1 `e richiamato

dall’origine delle coordinate attraverso una molla di costante elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla. Entrambi i punti P1 e P2 sono inoltre sottoposti

alla forza costante

F =α 0

,

dove α > 0 `e un parametro assegnato. Si denoti con ξ l’ascissa del baricentro G e con θ l’angolo che la direzione−P−−2P→1 forma con l’asse delle ascisse.

Si scriva la lagrangiana del sistema, si individuino le posizioni di equili-brio e se ne discuta la stabilit`a al variare del parametro positivo γ = 2α

k`, limitandosi ai casi in cui la stabilit`a `e riconosciuta dalla parte lineare.

Si calcolino inoltre le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio stabile.

(25)

1.35 Compito 35

Su un piano verticale, sia {O; x, y} un sistema di riferimento ortonormale con l’asse y diretto secondo la verticale ascendente. Una sbarra omogenea AB, di massa m e lunghezza 2`, giace in tale piano ed è libera di ruotare senza attrito attorno al suo estremo A, che è vincolato a scorrere senza attrito lungo l’asse delle ascisse. Il baricentro G della sbarra è richiamato dall’origine O attraverso una molla di lunghezza a riposo nulla e costante elastica k. Si denoti con x l’ascissa dell’estremo A e con θ l’angolo che−AB−→ forma con l’asse delle ascisse.

2) Si individuino le posizioni di equilibrio e se ne discuta la stabilit`a al variare del parametro α = mg

k` (dove g è l’accelerazione di gravità), limitandosi ai casi in cui la stabilità è riconosciuta dalla parte lineare. (Facoltativo: studiare il caso critico.)

4) Si modifichi il sistema bloccando l’estremo A della sbarretta nella posizione x = 1. Si discutano qualitativamente i moti del sistema, rappresentando le orbite nello spazio delle fasi (θ, ˙θ).

1.36 Compito 36

Su un piano verticale, sia {O; x, y} un sistema di riferimento ortonor-male con l’asse y diretto secondo la verticale ascendente. Su tale piano è posta una guida rettilinea di massa trascurabile libera di ruotare at-torno all’origine O. Su tale guida è libera di scorrere senza attrito una barra omogenea pesante AB, di massa m e lunghezza 2`. Ciascuno de-gli estremi A e B della sbarra è richiamato dal punto Q di coordinate (0, −`/2) attraverso una molla di lunghezza a riposo nulla ed uguale costante elastica k. Si denoti con ξ l’ascissa del baricentro G lungo la guida (con origine in O) e con θ l’angolo che−BA forma con l’asse delle−→ ascisse.

(26)

3) Si calcolino le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio stabile.

4) Si modifichi il sistema bloccando la guida nella posizione θ = π/6. Si determini la soluzione delle corrispondenti equazioni del moto di dati iniziali ξ(0) = 0, ˙ξ(0) = 0.

1.37 Compito 37

Sia {O; x1, x2, x3} un sistema di riferimento ortonormale con l’asse x3

diretto secondo la verticale ascendente. Un punto materiale pesante P di massa m `e vincolato a scorrere senza attrito sulla superficie conica d’asse verticale x3, descritta in coordinate cartesiane dall’equazione

x3 =

q

x2₁+ x2₂ .

Oltre che alla forza peso, il punto P `e sottoposto a: i) la forza costante ~

F = f ~e1, con f ≥ 0, essendo ~e1 il versore dell’asse x1; ii) la forza di

repulsione dall’asse verticale di energia potenziale

Uγ(x) =

γ px2

1+ x22

,

con γ > 0 un parametro fissato.

Per identificare la configurazione del sistema si utilizzino le coordinate polari (r, ϕ) della proiezione di P sul piano cartesiano orizzontale.

1) Si scriva la lagrangiana del sistema. Nel caso f > 0 si individuino le posizioni di equilibrio e se ne discuta la relativa stabilità, al variare del parametri positivi f, m, g (dove g è l’accelerazione di gravità).

2) Si determinino le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio stabile.

3) Si consideri il caso f = 0. Utilizzando gli integrali primi del siste-ma si discutano qualitativamente i moti del punto P . Si determini inoltre una soluzione periodica delle equazioni del moto.

1.38 Compito 38

Su un piano verticale, sia {O; x, y} un sistema di riferimento ortonor-male con l’asse y diretto secondo la verticale ascendente. Una sbarra

(27)

omogenea AB, di massa m e lunghezza 2`, giace in tale piano ed è libera di ruotare senza attrito attorno al suo estremo B, che è vin-colato a scorrere senza attrito lungo l’asse delle ascisse. L’estremo A della sbarra è richiamato dal punto Q = (0, `) attraverso una molla di lunghezza a riposo nulla e costante elastica k. Si denoti con x l’ascissa dell’estremo B e con θ l’angolo che−BA forma con l’asse delle ascisse.−→

2) Si individuino le posizioni di equilibrio e se ne discuta la stabilit`a al variare del parametro α = 1

2 − mg

4k` (dove g è l’accelerazione di gravità, e si osservi che −∞ < α < 1/2), limitandosi ai casi in cui la stabilità è riconosciuta dalla parte lineare. (Facoltativo: studiare il caso critico.)

1.39 Compito 39

In un piano verticale, sia {O; x, y} un sistema di riferimento ortonor-male con l’asse y diretto secondo la verticale ascendente. Su tale piano `e posto un disco omogeneo di massa m e raggio R, libero di ruotare at-torno ad un punto del suo bordo che `e fissato nell’origine O del sistema di riferimento.

Detto G il baricentro del disco, si consideri la retta immateriale r, pas-sante per G e perpendicolare alla direzione−OG. Si orienti questa retta−→ in modo tale che il corrispondente versore ˆn si allinei alla direzione −−→

OG mediante una rotazione oraria si π/2.

Sia P un punto materiale di uguale massa m libero di scorrere senza attrito lungo r e sia s la sua coordinata su r, precisamente−GP = s ˆ−→ n. Il punto `e richiamato dall’origine O del sistema d riferimento per il tramite di una molla ideale di costante elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla.

Sia infine θ l’angolo che il vettore −OG forma con ~−→ ex, essendo ~ex il

versore dell’asse x.

1) Si scriva la lagrangiana del sistema mediante le coordinate (s, θ). 2) Si determinino le posizioni di equilibrio del sistema e le relative propriet`a di stabilit`a al variare del parametro positivo µ = 2kR

(28)

limitandosi ai casi in cui tali propriet`a sono riconosciute dalla parte lineare.

3) Si modifichi il sistema bloccando la posizione del punto P sulla retta a distanza R dal baricentro, precisamente fissando −GP =−→ R ˆn. Discutere qualitativamente il moto del relativo problema lagrangiano unidimensionale nella variabile θ. In particolare, si disegni il ritratto delle fasi, specificando il numero di curve di fase su ciascun livello di energia ed il tipo di moto corrispondente a ciascuna di esse.

1.40 Compito 40

Su un piano verticale, sia {O; x, y} un sistema di riferimento ortonor-male con l’asse y diretto secondo la verticale ascendente. Una sbarra omogenea AB, di massa M e lunghezza 2`, giace in tale piano ed è libera di ruotare senza attrito attorno al suo baricentro G, che è fis-sato nell’origine O delle coordinate. Un punto materiale P di massa m è vincolato a scorrere senza attrito lungo l’asse delle ordinate. Gli estremi A e B della sbarra sono richiamati dal punto P attraverso due molle di lunghezza a riposo nulla e costanti elastiche kA= k e kB= 2k

rispettivamente, con k > 0. Si denoti con y l’ordinata del punto P e con θ l’angolo che−OB forma con l’asse delle ascisse.−→

1) Si scriva la lagrangiana del sistema e le relative equazioni di Eulero-Lagrange.

2) Si individuino le posizioni di equilibrio e se ne discuta la stabilit`a al variare del parametro α = mg

k`.

3) Si calcolino le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio stabile.

1.41 Compito 41

Sia {O; x, y} un sistema di riferimento ortonormale in un piano ver-ticale, con l’asse y diretto secondo la verticale ascendente. Un punto materiale P di massa m `e sottoposto (oltre alla forza di gravit`a) alla forza di energia potenziale

(29)

ed `e richiamato dall’origine O del sistema di riferimento attraverso una molla di costante elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla.

1) Scrivere la lagrangiana del sistema utilizzando le coordinate po-lari (r, θ).

2) Individuare le posizioni di equilibrio e discuterne le propriet`a di stabilit`a.

3) Calcolare le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio stabile.

4) Si modifichi il sistema vincolando il punto P a scorrere senza at-trito lungo la retta di equazione y = 1. Si fissi inoltre k = 1/2 la costante elastica della molla. Utilizzando come coordinata l’ascis-sa x del punto, si discuta qualitativamente il moto. In particolare si disegni il ritratto delle fasi, specificando il numero di curve di fase su ciascun livello di energia ed il tipo di moto corrispondente a ciascuna di esse.

1.42 Compito 42

Sia {O; x, y} un sistema di riferimento ortonormale in un piano verti-cale, con l’asse y diretto secondo la verticale ascendente. Su tale piano giacciono un punto materiale P di massa m ed un disco omogeneo di uguale massa m e raggio R. Il punto P è libero di scorrere senza attri-to lungo l’asse delle ordinate, mentre il disco è libero di ruotare senza attrito attorno ad un punto del suo bordo che è fissato nell’origine O del sistema di riferimento. Il punto P è richiamato, attraverso due molle di uguale costante elastica k > 0 e lunghezza a riposo nulla, dal punto Q di coordinate (0, 2R) e dal punto S solidale al disco che si trova in posizione diametralmente opposta all’origine O.

1) Scrivere la lagrangiana del sistema utilizzando come coordinate l’ordinata y del punto P ed il raggio θ che la direzione−→OS forma con l’asse delle ascisse.

2) Individuare le posizioni di equilibrio e discuterne le propriet`a di stabilit`a al variare del parametro α = mg

kR − 1 (si osservi che α > −1), limitandosi ai casi in cui esse sono riconosciute dalla parte lineare.

3) Calcolare le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio stabile.

(30)

4) Scrivere le equazioni di Eulero-Lagrange e determinarne la solu-zione (y(t), θ(t)) di dati iniziali y(0) = 2R, ˙y(0) = 0, θ(0) = −π

2, ˙

θ(0) = 0.

1.43 Compito 43

Sia {O; x, y, z} un sistema di riferimento ortonormale con l’asse z diretto se-condo la verticale ascendente. Un punto materiale P di massa m `e vincolato a muoversi sulla superficie di equazione cartesiana

z = f (x, y) := 1 4(x

4_{− 2αx}2_{+ 4)(y}2_{+ 1) ,}

dove α `e un parametro reale.

1) Scrivere la lagrangiana del sistema utilizzando le coordinate (x, y).

2) Individuare le posizioni di equilibrio e discuterne le propriet`a di stabi-lit`a al variare di α ∈ R, limitandosi ai casi in cui esse sono riconosciute dalla parte lineare.

3) Si ponga α = −1 e si calcolino le frequenze delle piccole oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio stabile.

4) Discutere la stabilit`a delle posizioni di equilibrio nel caso α = 0.

5) Facoltativo: Si ponga α = 2 e si determini la soluzione esplicita delle equazioni di Eulero-Lagrange di dati iniziali x(0) = √2, y(0) = 1,

˙

(31)

2 Soluzioni

2.1 Soluzione Compito 1

1) Siano ~e1 ed ~e2 rispettivamente i versori degli assi coordinati orizzontale e

verticale ascendente. Si ha −−→ OP = ` 2cos θ ~e1+ ` 2sin θ ~e2, −−→ OP1= x ~e1, cosicch´e −→ vP = − ` 2 ˙ θ sin θ ~e1+ ` 2 ˙ θ cos θ ~e2, −→vP1 = ˙x ~e1.

Poiché il baricentro della sbarra è fissato in O l’energia cinetica della sbarra è Tsbarra= 1 2Iω 2₌ M `2 6 ˙ θ2, essendo I = M_2`R` −`dr r2 = M ` 2

3 il momento di inerzia della sbarra rispetto

al baricentro ed ω = ˙θ la velocit`a angolare della sbarra. Quindi l’energia cinetica totale `e T = Tsbarra+ m 2|− → vP|2+ m 2|−→vP1| 2₌ m 2x˙ 2₊ M `2 6 + m`2 8 ˙ θ2,

Il punto fisso della sbarra coincide con il suo baricentro e la quota del punto P1 non varia. Quindi l’energia potenziale `e

U = mg−OP · ~−→ e2+ k 2| −−→ P P1|2 = mg` 2 sin θ + k 2 " x − ` 2cos θ 2 +` 2 4 sin 2_θ # ,

ovvero, a meno di una costante additiva,

U = k 2 x2− `x cos θ + 1 2λ` 2_{sin θ} ,

avendo introdotto il parametro λ = 2mg_k` . Concludiamo che la lagrangiana L = T − U = L2+ L0 `e L = 1 2 m ˙x2+ M ` 2 3 + m`2 4 ˙ θ2 − k 2 x2− `x cos θ + 1 2λ` 2_{sin θ}

e le equazioni di Eulero-Lagrange sono          m¨x = −kx +1 2k` cos θ, M `2 3 + m`4 2 ¨ θ = −1 2k`x sin θ − 1 4k` 2_{λ cos θ.}

(32)

2) Le posizioni di equilibrio sono le soluzioni del sistema          ∂L0 ∂x = −kx + 1 2k` cos θ = 0, ∂L0 ∂θ = − 1 2k`x sin θ − 1 4k` 2_{λ cos θ = 0,} ovvero ( x = ` 2cos θ, (sin θ + λ) cos θ = 0.

Per ogni valore del parametro λ > 0 si hanno le soluzioni 0, ±π₂. Se λ ≤ 1 si hanno inoltre le soluzioni

(x±, θ±) = ±` 2 p 1 − λ2_{, −}π 2 ± π 2 − arcsin λ .

Studiamone la stabilit`a; la matrice hessiana di L0 `e

H(x, θ) = −k −1 2k` sin θ −1 2k` sin θ − 1 2k`x cos θ + 1 4k` 2_{λ sin θ} . Quindi H0,π 2 = −k −1 2k` −1 2k` 1 4k` 2_λ , H0, −π 2 = −k 1 2k` 1 2k` − 1 4k` 2_λ e H(x±, θ±) = −k −1 2k`λ −1 2k`λ − 1 4k`2 ,

da cui si ricava che 0,π₂ `e instabile, 0, −π₂ `e stabile se λ > 1 ed instabile se λ < 1, mentre le posizioni (x±, θ±) sono stabili se λ < 1 (ovvero quando

esistono distinte da 0, −π₂).

Nel caso critico λ = 1, in cui la soluzione 0, −π₂ biforca, la stabilità non è riconosciuta dalla parte lineare (la matrice hessiana possiede un autovalore negativo ed uno nullo). Osserviamo però che in tal caso si ha

L0 = − k 2 x2− `x cos θ + 1 2` 2_{sin θ} = −k 2 x − ` 2cos θ 2 +k` 2 8 g(θ),

con g(θ) = cos2θ − 2 sin θ = 2 − (1 + sin θ)2. Poich´e g(θ) possiede un massimo proprio in θ = −π₂, si ricava immediatamente che 0, −π₂ `e un

(33)

punto di massimo proprio di L0. Siamo quindi nelle ipotesi del teorema di

Lagrange-Dirichlet, dunque 0, −π₂ `e stabile anche per λ = 1.

Calcoliamo infine le frequenze delle piccole oscillazioni attorno alla posi-zione 0, −π₂ per λ > 1. Sia A la matrice dell’energia cinetica calcolata in

0, −π₂, ovvero A = m 0 0 M `₃2 +m`₄2 .

Posto H = H 0, −π₂, le frequenze delle piccole oscillazioni sono ω± =

√

−µ±, essendo µ± le radici dell’equazione caratteristica

det(H − µA) = det

−k − µm 1 2k` 1 2k` − 1 4k` 2_{λ − µ}M `2 3 + m`2 4 ! = 0 ovvero M m 3 + m2 4 `2µ2+ k`2 1 4mλ + M 3 + m 4 µ − 1 4k 2_`2 _{= 0,} da cui, ponendo α = m₄ M₃ +m₄−1 , ω±= r k m q αλ + 1 ±p(αλ + 1)2_{+ 4α.}

3) Quando il sistema `e posto su un piano orizzontale la lagrangiana `e

L(x, θ, ˙x, ˙θ) = 1 2 m ˙x2+ M ` 2 3 + m`2 4 ˙ θ2 −k 2x 2₋1 2k`x cos θ

e le equazioni di Eulero-Lagrange sono

         m¨x = −kx +1 2k` cos θ, M `2 3 + m`2 2 ¨ θ = −1 2k`x sin θ.

Cerchiamo le soluzioni di dati iniziali (x(0), ˙x(0)) = (x0, ˙x0) e (θ(0), ˙θ(0)) =

(34)

dalla funzione θ(t) ≡ 0 (che soddisfa le condizioni iniziali). Possiamo quin-di ricercare la soluzione delle equazioni nella forma (x(t), θ(t)) = (x(t), 0). Sostituendo si ricava che x(t) deve essere soluzione dell’equazione

m¨x = −kx +1 2k`,

che `e un oscillatore armonico nella variabile y = x −1₂`. Quindi la soluzione del problema `e          x(t) = ` 2 + A cos r k mt + φ ! , θ(t) = 0,

dove le costanti A > 0, φ ∈ [0, 2π) sono fissate dalle condizioni iniziali: A cos φ = x0−₂`, −A

q

k

msin φ = ˙x0.

Siano ~e1 ed ~e2 i versori degli assi coordinati x ed y rispettivamente. Si ha

−→

OA = x ~e1,

−−→

OB = (x + ` cos θ) ~e1+ ` sin θ ~e2,

e quindi, detto G il baricentro della sbarretta,

−−→ OG = x + ` 2cos θ ~ e1+ ` 2sin θ ~e2, cosicch´e −→ vG = ˙ x − ` 2θ sin θ˙ ~e1+ ` 2θ cos θ ~˙ e2. Per il teorema di Koenig, l’energia cinetica della sbarretta `e

T = M 2 |− → vG|2+ 1 2Iω 2_, essendo I = M_` R`/2 −`/2dr r 2 ₌ M `2

12 il momento di inerzia della sbarretta

rispetto al baricentro ed ω = ˙θ la velocit`a angolare della sbarretta. Quindi

T = M 2 " ˙ x − ` 2 ˙ θ sin θ 2 +` 2 4 ˙ θ2cos2θ # +M ` 2 24 ˙ θ2,

(35)

da cui T = M 2 ˙ x2+ ` 2 3θ˙ 2_{− ` sin θ ˙x ˙θ} . L’energia potenziale `e U = M g−OG · ~−→ e2+ k 2| −−→ OB|2= M g` 2 sin θ + k 2(x + ` cos θ) 2_{+ `}2_sin2_{θ ,}

ovvero, a meno di una costante additiva,

U = k 2x

2_{+ k`x cos θ +}M g`

2 sin θ. Concludiamo che la lagrangiana L = T − U = L2+ L0 `e

L(x, θ, ˙x, ˙θ) = M 2 ˙ x2+` 2 3 ˙ θ2− ` sin θ ˙x ˙θ −k 2x 2_{− k`x cos θ − k`}2_{λ sin θ,}

avendo introdotto il parametro λ = M g_2k`.

Le posizioni di equilibrio sono le soluzioni del sistema          ∂L0 ∂x = −kx − k` cos θ = 0, ∂L0 ∂θ = k`x sin θ − k` 2_{λ cos θ = 0,} ovvero x = −` cos θ, (sin θ + λ) cos θ = 0.

Per ogni valore del parametro λ > 0 si hanno le soluzioni 0, ±π₂. Se λ ≤ 1 si hanno inoltre le soluzioni

(x±, θ±) = ∓`p1 − λ2_{, −}π 2 ± π 2 − arcsin λ .

H(x, θ) =

−k k` sin θ k` sin θ k`x cos θ + k`2λ sin θ

. Quindi H0,π 2 = −k k` k` k`2λ , H0, −π 2 = −k −k` −k` −k`2_λ

(36)

e H(x±, θ±) = −k −k`λ −k`λ −k`2 ,

da cui si ricava che 0,π₂ `e instabile, 0, −π₂ `e stabile se λ > 1 ed instabile se λ < 1, mentre le posizioni (x±, θ±) sono stabili se λ < 1 (ovvero quando

esistono distinte da 0, −π₂).

Nel caso critico λ = 1, in cui la soluzione 0, −π₂ biforca, la stabilità non è riconosciuta dalla parte lineare (la matrice hessiana possiede un autovalore negativo ed uno nullo). Osserviamo però che in tal caso si ha

L0= − k 2x 2_{− k`x cos θ − k`}2_{sin θ = −}k 2(x + ` cos θ) 2₊k`2 2 g(θ), con g(θ) = cos2θ − 2 sin θ = 2 − (1 + sin θ)2. Poich´e g(θ) possiede un massimo proprio in θ = −π₂, si ricava immediatamente che 0, −π₂ `e un punto di massimo proprio di L0. Siamo quindi nelle ipotesi del teorema di

Lagrange-Dirichlet, dunque 0, −π₂ `e stabile anche per λ = 1.

Calcoliamo infine le frequenze delle piccole oscillazioni attorno alla posi-zione 0, −π₂ per λ > 1. Sia A la matrice dell’energia cinetica calcolata in

0, −π₂, ovvero A = M M `₂ M ` 2 M `2 3 .

Posto H = H 0, −π₂, le frequenze delle piccole oscillazioni sono ω± =

√

det(H − µA) = det

_{−k − µM} _{−k` − µ}M ` 2 −k` − µM `₂ −k`2_{λ − µ}M `2 3 = 0 ovvero M2`2 12 µ 2_{+ M k`}2 λ − 2 3 µ + k2`2(λ − 1) = 0, da cui ω±= r k M q 6λ − 4 ±p36λ2_{− 60λ + 28.} 2.3 Soluzione Compito 3

1) Siano ~e1 ed ~e2 i versori degli assi coordinati x ed y rispettivamente. Si ha

−−→ OG = x~e1+ x2 2~e2, −→ vG= ˙x~e1+ x ˙x~e2.

(37)

Il momento di inerzia della sbarretta AB rispetto a G `e I = m₂ R₋₁1 ds s2 = m₃. Quindi l’energia cinetica del sistema `e

T = m 2|− → vG|2+ 1 2I ˙θ 2₌ m 2 (1 + x2) ˙x2+1 3θ˙ 2 . Essendo −→ OA = (x + cos θ)~e1+ x2 2 + sin θ ~ e2, l’energia potenziale è U = Umolla+ Upeso = k 2(x + cos θ) 2₊mg 2 x 2_, cosicché la lagrangiana L = T − U = L2+ L0 è L(x, θ, ˙x, ˙θ) = m 2 (1 + x2) ˙x2+ 1 3θ˙ 2 −k 2(x + cos θ) 2₋mg 2 x 2_.

Le posizioni di equilibrio sono le soluzioni del sistema          ∂L0 ∂x = −(k + mg)x − k cos θ = 0, ∂L0 ∂θ = k(x + cos θ) sin θ = 0.

Per ogni valore dei parametri si hanno le quattro soluzioni

(x1, θ1) = 0,π 2 , (x2, θ2) = 0,3π 2 , (x3, θ3) = − k k + mg, 0 , (x4, θ4) = k k + mg, π .

H(x, θ) =

−k − mg k sin θ

k sin θ −k sin2_{θ + k(x + cos θ) cos θ}

. Quindi H(x₁, θ1) = −k − mg k k −k , H(x₂, θ2) = −k − mg −k −k −k ,

(38)

H(x3, θ3) = H(x4, θ4) = −k − mg 0 0 − k2 k+mg + k ! ,

da cui si ricava che (x1, θ1) e (x2, θ2) sono stabili mentre (x3, θ3) e (x4, θ4)

sono instabili.

Calcoliamo infine le frequenze delle piccole oscillazioni attorno alla po-sizione (x1, θ1). Sia A la matrice dell’energia cinetica calcolata in (x1, θ1),

ovvero A = m 0 0 m₃ .

Posto H = H(x1, θ1), le frequenze delle piccole oscillazioni sono ω± =

√

det(H − µA) = det −k − mg − mµ k k −k − m₃µ = 0 ovvero m2 3 µ 2₊m 3(4k + mg)µ + mgk = 0, da cui, posto λ = mg_k , ω±= r k m s 4 + λ ±√λ2_{− 4λ + 16} 2 . 2) Essendo −−→ OB = (x − cos θ)~e1+ x2 2 − sin θ ~e2,

l’energia potenziale del sistema con la molla aggiuntiva `e

U = k 2(x + cos θ) 2₊k 2(x − cos θ) 2₊mg 2 x 2 ₌ 2k + mg 2 x 2_{+ k cos}2_θ, cosicch´e la lagrangiana L = T − U `e L(x, θ, ˙x, ˙θ) = L(1)(x, ˙x) + L(2)(θ, ˙θ) con L(1)(x, ˙x) = m 2(1 + x 2_{) ˙}_x2₋2k + mg 2 x 2 L(2)(θ, ˙θ) = m 6 ˙ θ2− k cos2_θ.

(39)

Il problema `e completamente separato nei due problemi unidimensiona-li di lagrangiane L(1) ed L(2). Sono quindi integrali primi del moto le corrispondenti energie E1(x, ˙x) = m 2(1 + x 2_{) ˙}_x2₊2k + mg 2 x 2 E2(θ, ˙θ) = m 6θ˙ 2_{+ k cos}2_θ.

Consideriamo i moti sul livello E1(x, ˙x) = E1, E2(θ, ˙θ) = E2. Se E1 = 0 il

moto della coordinata x `e stazionario: x(t) = 0; se E1 > 0 il moto di x `e

periodico di periodo T1(E1) = 2 Z x+(E1) x−(E1) dx s m(1 + x2₎ 2E1− (2k + mg)x2 , x±(E1) = s 2E1 2k + mg.

Se E2 = 0 il moto della coordinata θ `e stazionario: θ(t) = π₂ o θ(t) = 3π₂ . Se

0 < E2 < k il moto di θ `e periodico attorno a θ = π₂ od a θ = 3π₂ , di uguale

periodo T2(E2) = 2 Z θ+(E1) θ−(E1) dθ r _m 6(E2− k cos2θ) , θ±(E1) = ± arccos r E2 k .

Se E2 = k il moto di θ `e stazionario, θ(t) = 0 o θ(t) = π, oppure lungo

un’orbita eteroclina che connette tali punti. Infine, se E2 > k, il moto di θ

`e periodico con rotazioni complete della barretta di periodo

T2(E2) = Z 2π 0 dθ r _m 6(E2− k cos2θ) .

Per avere moti periodici non banali del sistema completo `e necessario che le energie E1 ≥ 0 ed E2 ≥ 0, E2 6= k, siano scelte in modo tale che esistano

interi N, M per cui N T1(E1) = M T2(E2).

Siano ~e1, ~e2 ed ~e3 i versori degli assi coordinati x, y e z rispettivamente. Si

ha _−−→

OP1 = cos ϕ ~e1+ sin ϕ ~e2,

−−→

OP2 = sin θ ~e2+ cos θ ~e3.

L’energia cinetica del sistema `e

T = m 2 |−→vP1| 2_{+ |−→}_v P2| 2₌ m 2 ϕ˙ 2_{+ ˙}_θ2_,

(40)

mentre l’energia potenziale `e U = Umolla+ Upeso = k 2| −−−→ P1P2|2+ mg −−→ OP1+ −−→ OP2 · ~e3

= −k sin ϕ sin θ + mg cos θ + costante,

cosicch´e la lagrangiana L = T − U = L2+ L0 `e

L(ϕ, θ, ˙ϕ, ˙θ) = m 2 ϕ˙

2_{+ ˙}_θ2_{+ k sin ϕ sin θ − mg cos θ.}

Le posizioni di equilibrio sono le soluzioni del sistema

         ∂L0 ∂ϕ = k cos ϕ sin θ = 0, ∂L0

∂θ = k sin ϕ cos θ + mg sin θ = 0. Per ogni valore dei parametri si hanno le otto soluzioni

(ϕi, θi) = (0, 0), (0, π), (π, 0), (π, π), π 2, − arctan λ , −π 2, arctan λ , π 2, π − arctan λ , −π 2, π + arctan λ , (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8),

avendo posto λ = _mgk . Studiamone la stabilit`a; la matrice hessiana di L0 `e

H(ϕ, θ) = mg

−λ sin ϕ sin θ λ cos ϕ cos θ λ cos ϕ cos θ −λ sin ϕ sin θ + cos θ

. Si ha H(ϕi, θi) = mg 0 λ cos ϕicos θi λ cos ϕicos θi 0 , i = 1, 2, 3, 4, H(ϕi, θi) = mg λ2cos θi 0 0 (λ2+ 1) cos θi , i = 5, 6, 7, 8.

Essendo det H(ϕi, θi) = −k2 per i = 1, 2, 3, 4 e cos θi> 0 se i = 5, 6, le prime

sei posizioni di equilibrio sono instabili. Viceversa, cos θi < 0 se i = 7, 8,

(41)

Calcoliamo infine le frequenze delle piccole oscillazioni attorno alla posi-zione (ϕ7, θ7) = π₂, π − arctan λ. La matrice dell’energia cinetica `e

costan-te A = m 0 0 m .

Poich´e sia la matrice A che H(ϕ7, θ7) sono diagonali, le frequenze delle

piccole oscillazioni si determinano immediatamente:

ω−= p −gλ2_{cos θ} 7 = r k m s λ √ λ2_{+ 1}, ω+=p−g(λ2+ 1) cos θ7= r k m s√ λ2_{+ 1} λ ,

essendo gλ = _mk e (cos θ7, sin θ7) =

−1 √ λ2₊₁, λ √ λ2₊₁ . 2.5 Soluzione Compito 5

Le coordinate assolute e le coordinate del sistema solidale sono legate da

   x = ξ cos φ − η sin φ y = ξ sin φ + η cos φ z = ζ Quindi −−→ OP =   ξ cos φ ξ sin φ a 2ξ 2  , −−→ OQ =   L cos φ L sin φ a 2L 2  

Ne consegue che l’energia cinetica del sistema `e

T = m 2 (1 + ξ 2_{) ˙}_ξ2₊φ˙2 2 (mξ 2_{+ M L}2_), e l’energia potenziale `e U = m 2gaξ 2_.

Quindi la lagrangiana si scrive

L = m 2(1 + ξ 2_{) ˙}_ξ2₊φ˙2 2 (mξ 2_{+ M L}2_{) −}m 2gaξ 2_.

(42)

La ciclicit`a di φ comporta l’esistenza dell’integrale primo

P = ˙φ(mξ2+ M L2).

Si conserva inoltre l’energia meccanica

E = m 2(1 + ξ 2_{) ˙}_ξ2₊φ˙2 2 (mξ 2_{+ M L}2_{) −}m 2gaξ 2_.

Fissato il livello P = k, il sistema ristretto ha quindi lagrangiana

ˆ L = m 2(1 + ξ 2_{) ˙}_ξ2₋ m 2gaξ 2₋ k2 2(mξ2_{+ M L}2₎

Gli equilibri sono assegnati dai punti critici di

ˆ L0 = − m 2gaξ 2₊ k2 2(mξ2_{+ M L}2₎, ovvero le soluzioni di ξm −ga + k 2 (mξ2_{+ M L}2₎2 = 0 che sono ξ = 0, ξ±= ± s 1 m _|k| √ ga− M L 2

Ovviamente la soluzione ξ = 0 esiste per ogni valore di k, mentre ξ±esistono

solo se √|k|

ga > M L2, cio`e se λ > 1. Per conoscere la stabilit`a delle soluzioni

di equilibrio esaminiamo la derivata seconda di ˆL₀. Si ha

d2Lˆ0 dξ2 = −m ag + k 2 (mξ2_{+ M L}2₎2 − 4 k2mξ2 (mξ2_{+ M L}2₎3

Quindi ξ = 0 è un massimo propio per λ < 1 e quindi equilibrio stabile, mentre è un minimo proprio per λ > 1, quindi equilibrio instabile. Al contrario, quando ξ± esistono (cioè per per λ > 1) sono massimi per ˆL0

e quindi equilibri stabili. Per λ = 1, l’equilibrio ξ = 0 è multiplo, quindi la derivata seconda è nulla e l’esame della stabilità abbisogna di ulteriori investigazioni. Si può facilmente vedere dal grafico dell’energia potenziale che in effetti, in questo caso, ξ = 0 è equilibrio stabile.

(43)

La relazione tra coordinate solidali e coordinate fisse `e data da    x = ξ cos φ − η sin φ y = ξ sin φ + η cos φ z = ζ

Quindi, il generico punto solidale al cerchio pu`o essere individuato tramite le coordinate    x = R cos χ cos φ y = R cos χ sin φ z = R sin χ

Al variare di χ tra 0 e 2π otteniamo tutti i punti del cerchio. Le coordinate del punto P , libero di muoversi sul cerchio sono invece

   x = R cos ψ cos φ y = R cos ψ sin φ z = R sin ψ

L’energia cinetica del cerchio `e puramente rotazionale. Si ha

TC= ˙ φ2 2 R 3_µ Z 2π 0 cos2χdχ = R 2 4 M ˙φ 2_.

L’energia cinetica del punto P `e

TP =

R2

2 m( ˙φ

2_cos2_{ψ + ˙}_ψ2_).

Infine, l’energia potenziale `e

V = mgR sin ψ + K 2_R2 2 cos 2_ψ. Pertanto L = R 2 4 M ˙φ 2₊ R2 2 m( ˙φ 2_cos2_{ψ + ˙}_ψ2_{) − mgR sin ψ −}K2R2 2 cos 2_ψ

Quindi le equazioni di Lagrange sono          d dt[R 2₍M 2 + m cos 2_{) ˙}_{φ] = 0} d dt[R