Teoria  ed sempi svolti    disequazioni fratte

Esempio 1 svolto disequazione di primo grado fratta.

Bisogna imporre sempre N>0 e D>0 qualsiasi sia il verso della disequazione fratta <0 oppure >0 .

Quindi ,imponiamo subito numeratore N

>

>

x +3<0

N >0 →2−x>0 → x <2 D>0 → x +3>0→ x>−3

NOTA BENE

Al denominatore non va mai aggiunto l’uguale per alcuna ragione .

Questo è uno degli errori più frequenti durante i compiti in classe di matematica.

Le due soluzioni che abbiamo trovato vanno rappresentate sul grafico in figura:

A questo punto possiamo studiare il segno, tenendo in considerazione che linea

continua=+, linea tratteggiata= –.

x←3 U x >2

Abbiamo cioè individuato 3 campi. In ciascuno di questi si moltiplicano i segni corrispondenti. Nel primo abbiamo moltiplicato “più” per “meno” e ottenuto “meno”. Nel secondo abbiamo moltiplicato “più” per “più” e ottenuto “più”. Nel terzo abbiamo moltiplicato “meno” per “più” e ottenuto “meno”.

Esempio 2 svolto disequazione di secondo grado fratta.

Esempio 3 svolto disequazione di secondo grado fratta.

2 x−1 x2−2 x +1≤ 0

bisogna indicare il campo di esistenza C.E. ovvero l'insieme dentro il quale le

soluzioni sono accettabili.

Per farlo bisogna porre il denominatore diverso da zero e svolgere la disuguaglianza:

x2−2 x +1 ≠ 0→ x ≠ 1

N ≥0 → 2 x−1 ≥ 0 → x ≥1 2

D>0 → x2_{−2 x +1>0 → x ≠1 oppure sempre verif . con x ≠ 1}

A questo punto dobbiamo disporre le soluzioni trovate nel diagramma dei segni:

x ≤1 2

bisogna cercare i valori negativi Nel nostro caso la soluzione della nostra disequazione

è quella cercata.

A questo punto ci siamo trovati nella formula generale delle disequazioni frazionarie: numeratore fratto denominatore e al secondo membro lo zero. Solo a questo punto posso applicare la regola N>0 e D>0.

Dobbiamo sempre ricordare che il primo passo, è quello di scomporre i denominatori il più possibile. Quindi cerchiamo di non dimenticare le regole sulle scomposizioni.

Attenzione alle scomposizioni dei denominatori delle disequazioni frazionarie!

Per il primo denominatore abbiamo usato la regola della messa in evidenza parziale, mentre per la seconda una totale. Evitiamo invece di scomporre i numeratori, non aiuterebbe lo svolgimento dell’esercizio e ci farebbe solo sprecare tempo. Possiamo così proseguire:

Ma non è una disequazione fratta di primo grado!!

Scomponiamo il numeratore

Siamo ora nella forma N/D con al secondo membro lo 0. Potremmo già trattare separatamente numeratore e denominatore. Il problema è che al numeratore abbiamo una disequazione di terzo grado che non sappiamo ancora come affrontare! Come

risolvere la disequazione fratta che si è presentata? Proviamo a scomporre il

numeratore e vedere se qualcosa può essere semplificato con il denominatore: ci

Anche se numeratore e denominatore non possono essere semplificati possiamo risolvere l’esercizio perché riconducibile ad una disequazione fratta di primo grado. Vale infatti la seguente regola:

Attenzione: questa regola è fondamentale!

Quando siamo in presenza di un esercizi sulle disequazioni di primo grado con dei

fattori(cioè delle parentesi o anche elementi singoli che si moltiplicano tra loro), si

pone ciascuno maggiore (o uguale, tranne il denominatore che non vai posto uguale) di 0

e poi si mette sul grafico.

In questo modo possiamo risolvere gli esercizi riconducibili alle disequazioni di primo

grado. Proseguendo con il nostro esercizio, infatti, moltiplicando tutto per due

abbiamo:

La seconda e l’ultima disequazione sono di secondo grado. Non abbiamo ancora studiato l’argomento ma possiamo dire che quando siamo in presenza di un numero addizionato alla x al quadrato maggiore di zero, il risultato è sempre verificato (un numero positivo più un’incognita positiva darà sempre risultato positivo). Per cui visto che la soluzione è sempre verificata possiamo mettere linea continua.