Lezione 6 - Lo sviluppo in serie di Fourier
Unit`
a 6.2 La serie di Fourier
Luca Salasnich
Dipartimento di Fisica e Astronomia “Galileo Galilei”, Universit`a di Padova
La serie geometrica (I)
E’ noto fin dai tempi di Archimede che, in alcuni casi, le somma infinita, detta serie, di numeri (solitamente descrescenti) pu`o produrre un risultato finito.
Per`o solo nel 1593 il matematico Francois Viete diede il primo esempio di una funzione, f (x ) = 1/(1 − x ), scritta come serie di potenze. Questa funzione non `e altro che la serie geometrica, data da
1 1 − x = ∞ X n=0 xn, per |x | < 1 . (1)
Dimostriamo questo interessante risultato utilizzando un approccio intuitivo ed euristico.
La serie geometrica (II)
La serie geometrica si pu`o scrivere
S = ∞ X
n=0
xn= 1 + x + x2+ x3+ x4+ x5+ ... . (2)
E quindi, raccogliendo la x , abbiamo
S = 1 + x 1 + x + x2+ x3+ x4+ ...
. (3)
La quanitit`a dentro la parentesi tonda `e proprio la serie geometrica S . Quindi S = 1 + x S (4) ovverosia S (1 − x ) = 1 (5) ed in definitiva S = 1 1 − x (6)
La serie di Taylor
In 1714 Brook Taylor sugger`ı che ogni funzione reale f (x ), che sia infinitamente derivabile in x0e sufficientemente regolare, possa essere scritta come una seria di potenze, cio`e
f (x ) = ∞ X
n=0
cn(x − x0)n, (7)
dove i coefficienti cn sono dati da cn=
1 n!f
(n)(x
0) , (8)
con f(n)(x ) la n-esima derivata della funzione f (x ). La seria (7) `e oggi detta serie di Taylor e diventa la cosiddetta seri di MacLaurin se x0= 0. Chiaramente, la serie geometrica (1) non `e nient’altro che la serie di Maclaurin dove cn= 1 per ogni n.
La serie di Fourer (I)
Nel 1807 Jean Baptiste Joseph Fourier, che era interessato alla
propagazione delle onde ed ai fenomeni periodici, scopr`ı che ogni funzione reale f (x ), sufficientemente regolare, che sia periodica, cio`e tale che
f (x + λ) = f (x ) , (9)
where λ `e la periodicit`a (lunghezza d’onda se x `e una lunghezza), pu`o essere scritta come una somma infinita di funzioni sinusoidali, in particolare f (x ) = a0 2 + ∞ X n=1 ancos n2π λ x + bn sin n2π λx , (10) where an = 2 λ Z λ/2 −λ/2 f (y ) cos n2π λy dy , (11) bn = 2 λ Z λ/2 −λ/2 f (y ) sin n2π λy dy . (12)
La serie di Fourer (II)
Nella figura un’onda quadra (curva blu) con una precisa periodicit`a `e approssimata attraverso i primi termini della sua serie di Fourier (curve rosse): da 1 (in alto)a 4 (in basso) termini.
La serie di Fourier (III)
Utilizzando la formula di Eulero ein2πλx = cos n2π λ x + i sin n2π λ x (13)
con i =√−1 l’unit`a immaginaria, Fourier obsserv`o che la sua serie (10) pu`o essere riscritta in modo elegante come
f (x ) = +∞ X n=−∞ fnein2πλx , (14) dove fn= 1 λ Z λ/2 −λ/2 f (y ) e−in2πλydy (15)
sono coefficienti complessi, con f0= a0/2, fn= (an− ibn)/2 se n > 0 e fn= (a−n+ ib−n)/2 se n < 0, dunque fn∗= f−n.
