Lezione 3 - Struttura atomica
Unit`
a 3.2 L’atomo di idrogeno secondo Bohr
Luca Salasnich
Dipartimento di Fisica e Astronomia “Galileo Galilei”, Universit`a di Padova
Il modello atomico di Bohr (I)
Nel 1913 Niels Bohr1fu in grado di spiegare le frequenze discrete di emissione elettromagnetica dell’atomo di idrogeno nell’ipotesi che l’energia dell’elettrone orbitante attorno al nucleo sia quantizzata secondo la formula En= − mee4 8ε2 0h2 1 n2 = −13.6 eV 1 n2 , (1)
dove n = 1, 2, 3, ... `e detto numero quantico principale, me `e la massa dell’enettrone, −e `e la carica elettrica dell’elettrone e ε0`e la costante dielettrica del vuoto. Si noti che
1eV = 1.6 · 10−19 J . (2)
L’Eq. (1) mostra che gli stati quantistici del sistema sono caratterizzati dal numero quantico n e lo stato fondamentale (n = 1) ha un’energia pari a −13, 6 eV, che `e l’energia di ionizzazione dell’idrogeno.
Il modello atomico di Bohr (II)
Secondo la teoria di Bohr, la radiazione elettromagnetica viene emessa o assorbita quando un elettrone ha una transizione da un livello di energia En1 a un altro En2.
Inoltre, la frequenza ν di la radiazione `e correlata alle energie dei due stati coinvolti nella transizione di
hν = En1− En2 . (3)
Quindi qualsiasi transizione elettromagnetica tra due stati quantici implica l’emissione o l’assorbimento di un fotone con un’energia hν uguale alla differenza di energia degli stati coinvolti.
Derivazione del risultato di Bohr (I)
L’energia dell’elettrone di massa me e carica q = −e che orbita con moto circolare uniforme attorno al nucleo `e data da
E = 1 2mev 2− e 2 4π0r , (4)
dove il primo termine rappresenta l’energia cinetica non relativistica dell’elettrone ed il secondo termine l’energia potenziale dovuta alla forza elettrica di Coulomb tra l’elettrone ed il protone del nucleo.
Come noto, il modulo della forza elettrica F di Coulomb `e
F = e
2 4π0r2
. (5)
Per il secondo principio della dinamica deve essere F = me a = me
v2
r , (6)
dove l’ultima uguaglianza si ottiene tenendo conto che nel moto circolare l’accelerazione a `e legata alla velocit`a v e al raggio dell’orbita r dalla formula a = v2/r .
Derivazione del risultato di Bohr (II)
Mettendo assieme le Eqs. (5) and (6) si ottiene subito 1 2mev 2= 1 2 e2 4π0r . (7)
Quindi l’energia cinetica dell’elettrone `e pari a met`a della sua energia potenziale cambiata di segno.
Dalla Eq. (4) segue che l’energia dell’elettrone si possa scrivere come
E = −1 2
e2 4π0r
. (8)
Il fatto che ci sia il segno meno assicura che l’elettrone sia in uno stato legato. Cosa corretta visto che si `e supposto che l’elettrone sia vincolato su una orbita circolare.
Derivazione del risultato di Bohr (III)
In questo modello planetario, oltre all’energia E vi `e un’altra grandezza conservata: il momento angolare totale L dell’elettrone. Il modulo di L `e dato da
L = |r ∧ p| = r me v sin (θ) = r me v (9) L’ipotesi fondamentale di Bohr `e che questo momento angolare orbitale L sia quantizzato. Dato che il momento angolare ha le unit`a di misura J s, che sono le stesse della costante di Planck h, Bohr nel suo lavoro scrive
L = h
2πn (10)
dove n `e un numero intero positivo, cio`e n = 1, 2, 3, 4, .... Dalla quantizzazione del momento angolare, esplicitamente
r me v = h
2πn , (11)
Derivazione del risultato di Bohr (IV)
D’altra parte, anche l’Eq. (7) pone un vincolo tra queste due grandezze. Dopo un p`o di semplice algebra con le Eqs. (7) e (11) si ricavano le formule r = 0h 2 πmee2 n2= rB n2 (12) v = e 2 20h 1 n = vB 1 n (13)
dove rB = 0.53 · 10−10 m `e il raggio di Bohr e vB = 2 · 106m/s `e la velocit`a di Bohr. Quindi la quantizzazione del momento angolare implica la quantizzazione del raggio dell’orbita ed anche la quantizzazione della velocit`a dell’elettrone in quell’orbita.
Infine, inserendo l’Eq. (12) in Eq. (8) si ottiene proprio En= − mee4 8ε2 0h2 1 n2 . (14)
