CORSO DI LAUREA IN SCIENZE BIOLOGICHE Prova scritta di FISICA – 7 Luglio 2008
1) Meccanica:
Un proiettile di massa mP=30 g , che ha velocità vP=10 m/s, è sparato contro un blocco di massa MB=200 g, fermo su un piano orizzontale. Dopo l’urto perfettamente anelastico, in cui il proiettile si conficca nel blocco, il blocco si mette in moto e sale lungo un piano scabro, inclinato di 30 ° rispetto al piano orizzontale, fino ad un punto B , dove si arresta . Il coefficiente di attrito piano inclinato – blocco, µ, vale 0.1.
Si calcoli:
a) la velocità del blocco ( + proiettile ) subito dopo l’urto.
b) il tratto percorso dal blocco ( + proiettile ) lungo il piano inclinato prima di arrestarsi 2) Elettrostatica:
Due cariche puntiformi di segno opposto e valore assoluto |Q| = 1 x 10 - 6 C si trovano nei punti A = (d,0) e B=(3d,0), dove d= 1m. La carica positiva si trova in A e quella negativa in B. Determinare:
a) il campo elettrico (modulo, direzione e verso) generato nel punto P di coordinate P = (2d, d) e la forza elettrostatica (modulo, direzione e verso) di cui risente una carica di prova
q0 = + 1x 10 – 12 C posta nel punto P;
b) l’energia potenziale elettrostatica di q0 nel punto P.
3) Fluidi:
Una cisterna cilindrica di altezza h = 1 m ha base circolare di raggio R1 = 1m. La cisterna si trova a quota H = 4m dal suolo e presenta sulla superficie laterale, in prossimità della base inferiore, un forellino di sezione circolare e raggio R2 = 1 cm. Determinare:
a) il rapporto v1/v2 fra le velocità del fluido (acqua) in corrispondenza della base superiore (v1) e del forellino (v2) e la velocità v2 di deflusso dal forellino;
b) il tempo impiegato dallo zampillo d’acqua uscente dal forellino per raggiungere il suolo e la massima distanza orizzontale percorsa.
4) Termodinamica:
Una mole di un gas perfetto monoatomico compie il seguente ciclo:
trasformazione AB: isoterma dallo stato A di pressione pA = 2 atm e volume VA = 1 l allo stato B di pressione pB = pA/2 e volume VB = 2VA;
trasformazione BC: isobara dallo stato B allo stato C di pressione pC = pA/2e volume VC = VA; trasformazione CA: isocora dallo stato C allo stato A.
a) Si disegnino le tre trasformazioni nel piano (p,V) e si determinino le coordinate termodinamiche (p,V,T) degli stati A, B e C;
b) Si calcoli la variazione di energia interna, il lavoro ed il calore scambiato nelle tre trasformazioni e nell’intero ciclo;
c) FACOLTATIVO: si determini il rendimento della corrispondente macchina termica.
(R= 8.31 J/Kmole =0.082 l atm /K mol ; k=8.99 109 N m2 /C2)
SCRIVERE IN MODO CHIARO. GIUSTIFICARE BREVEMENTE I PROCEDIMENTI.
SOSTITUIRE I VALORI NUMERICI SOLO ALLA FINE. NON SCORDARE LE UNITA` DI MISURA. Testi, soluzioni ed esiti alle pagine: www2.fisica.unimi.it/bettega/ (AD), fisbio.webhop.net (EN), www.mi.infn.it/~sleoni (OZ)
SOLUZIONE ESERCIZIO 1 (Meccanica)
a) Nell’urto si conserva la quantità di moto totale del sistema e pertanto , indicato con mP ed MB le masse del proiettile e del blocco, con vP la velocità del proiettile e con V la velocità del sistema blocco+proiettile dopo l’urto, si ha :
mP vP = (mP + MB ) V da cui si ricava V.
Sostituendo i valori numerici si ha V=1. 3 m/s
b) Salendo sul piano inclinato il blocco ( + proiettile ) è soggetto alla forza peso, alla forza di attrito e alla reazione normale al piano. Scelto l’asse x di un sistema d’assi (x,y), parallelo al piano inclinato, con verso coincidente con quello del moto ( verso l’alto ) , e con origine O alla base del piano inclinato , la componente x della forza risultante è:
Fx = - (mP + MB ) g sen 30° - µ (mP + MB )g cos 30°
Il Lavoro compiuto dalla forza risultante nel tratto D percorso prima di arrestarsi uguaglia la variazione di energia cinetica del blocco ( + proiettile ).
Vale pertanto
- (mP + MB ) g sen 30° D - µ (mP + MB )g cos 30°D = = 0 - ½ (mP + MB ) V 2 da cui si ricava D.
D= V 2 / 2g (µ cos 30° + sen 30° )
Sostituendo i valori numerici si ottiene D=0. 15 m
SOLUZIONE ESERCIZIO 2 (Elettrostatica)
a) Il campo elettrico in P è dato dalla somma
vettoriale dei campi EA e EB prodotti dalle cariche +Q e –Q.
Essendo P equidistante dai punti A e B, i campi EA ed EB hanno lo stesso modulo, pari a
2 0
2 0
2 0
8 1
2 4
1 4
1
d Q
d Q r E Q
E
AP B
A
πε πε
= πε
=
e risultano inclinati di +45° e -45° rispetto all’asse x, come mostrato in figura.
La loro somma vettoriale risulta quindi parallela e concorde all’asse x, con modulo pari al doppio della componente x di ciascun campo:
i C N
m i C C
Nm d i ETot Q
r
r r r
/ 10 36 . 6
2 2 ) 1 ( )10 10
9 (
45 8 cos
2 1
3
2 6 2 9 2
0 2
0
×
=
×
=
×
=
−
πε
La forza di cui risente q0 è quindi:
i N
i C N C
E q F Tot
r
r r
r
9 3 12
0
10 36 . 6
/ 10 36 . 6 10
−
−
×
=
×
×
=
=
b) L’energia potenziale elettrostatica di q0 in P è nulla, essendo pari alla somma delle energie potenziali elettrostatiche relative ai campi EA ed EB prodotti da cariche sorgenti uguali ed opposte, ed equidistanti da P:
4 0 1 4
) 1 (
0 0
0 =
−
=
BP
AP r
Q r
q Q P
U πε πε
y
x O A=(d,0) B=(3d,0)
P=(2d,d)
-Q +Q
q0
EA
EB y
x O A=(d,0) B=(3d,0)
P=(2d,d)
-Q +Q
q0
EA EA
EB EB
SOLUZIONE ESERCIZIO 3 (Fluidi)
a) Per l’equazione di continuità le velocità v1 e v2 alle sezioni A1 ed A2 sono tali per cui:
4 2
2 2 1 2 2 1 2 2 1
2 2 1 1
10 ) 1 (
) 01 . 0 (
= −
=
=
=
=
m m
R R A A v v
v A v A
π π
La velocità v2 di deflusso si ottiene dal teorema Bernoulli:
p0 + ρv12+ρg H +h = p0+ ρv22+ρgH 2
) 1 2 (
1
ρv22− ρv12 ≈ ρv22 =ρgh 2
1 2
1 2
1
da cui segue che:
s m m
s m gh
/ 43 . 4 1 / 8 . 9 2 2 v
2 2
=
×
×
=
=
b) Il tempo impiegato dallo zampillo per raggiungere il suolo (a quota y = 0) si ricava dalla legge del moto uniformemente accelerato lungo y, sapendo inoltre che la velocità dello zampillo all’uscita del forellino, vo , ha componenti vox = 4.43 m/s e voy = 0.
2 0 1
2 1
2 2 0
0
=
−
=
− +
=
gt H
gt t v y
y y
da cui segue:
s s m g m
H
t 0.9
/ 8 . 9 2 4 /
2 = × 2 ≈
=
a cui corrisponde uno spostamento orizzontale m m s
s m t
v t v
x= 0x = 2 =4.43 / ×0.45 =3.987 ≈4
SOLUZIONE ESERCIZIO 4 (Termodinamica) a) A partire dall’equazione di stato dei gas
perfetti determino le coordinare termodinamiche (p,V,T):
stato A:
K K J
m Pa
nR V T p
m l
V
Pa atm
p
A A A A A
/ 24 31 . 8
10 10
2 10 1
10 2 2
3 3 5
3 3
5
× ≈
= ×
=
=
=
×
=
=
−
−
stato B:
K T
T
m l
V V
Pa atm
p p
A B
A B
A B
24
10 2 2 2
10 1 1
2 /
3 3
5
≈
=
×
=
=
=
×
=
=
=
−
stato C:
K nR T
V p nR
V T p
m l
V V
Pa atm
p p
A A A C C C
A C
A C
12 2 2 /
10 1 1
10 1 1
2 /
3 3
5
≈
=
=
=
×
=
=
=
×
=
=
=
−
b) Per il calcolo di ∆ E, Q e W si applica il primo principio della termodinamica Trasformazione A → B:
J V nRT
nRT V V dV
pdV nRT W
Q
T nc E
A A
B A B
A A B
A AB AB
V AB
138 2 ln ln
0
≈
=
=
=
=
=
=
∆
=
∆
∫
∫
Trasformazione B → C:
J V
p p V
RT W
Q E
J RT
T T R T nc Q
J p V
V V p W
A A A
A A BC
BC BC
A B
C P
BC
A A B
C B BC
4 150 3 2
4 5
0 4 250
) 5 2 (
5
2 100 )
(
−
≈
−
= +
−
=
−
=
∆
<
−
≈
−
=
−
=
∆
=
−
=
−
=
−
=
Trasformazione C → A:
J Q
E
J RT
T T R T nc Q W
CA CA
A C
A V
CA CA
150
0 4 150
) 3 2 (
3 0
+
≈
=
∆
>
+
≈
=
−
=
∆
=
=
Intero Ciclo:
J Q
Q Q Q
J W
W W
E
CA BC AB tot
BC AB tot
Ciclo
38 38 0
+
≈ + +
=
+
= +
=
=
∆
c) FACOLTATIVO:
Il rendimento del ciclo è pari a
13%
150 138
38
0
+ = + =
=
=
> J J
J Q
Q W Q
W
CA AB
ciclo ciclo
η
p
A V
V VB
C A
B pB
pA
p
A V
V VB
C A
B pB
pA
