Corso di Fisica - Fluidi

Corso di Fisica

- Fluidi

Prof. Massimo Masera

Corso di Laurea in Chimica e Tecnologia Farmaceutiche Anno Accademico 2011-2012

dalle lezioni del prof. Roberto Cirio Corso di Laurea in Medicina e Chirurgia

1

2

La densità La pressione

L’equazione di continuità Il teorema di Bernoulli

Stenosi e aneurismi

La lezione di oggi

3



Densità, pressione



La portata di un condotto



Il teorema di Bernoulli



Applicazioni dell’equazione di Bernoulli



Stenosi e aneurisma



Pressione del sangue

La Densità

4

La densità è definita come

La densità è definita come

Sostan za

Ari a

Polistiro lo espanso

Olio d’oliv

a

Acqua di mare

Allumini o

Ferr

o Oro

Densità (kg/m³)

1.2

9 ~30 920 1025 2700 7860 1930

0



Dimensioni: [ML

]



Unità di misura SI:

kg/m

Acqua dolce

1000

V  m

ρ

La Pressione

5

La pressione è definita come La pressione è definita come

 Dimensioni: [MLT^-2][L^-2]=[ML^-1T^-2]

 Unità di misura SI: Pa (pascal) = N/m²

Esempio:

Calcolare la pressione esercitata sulla pelle, quando si preme con una forza di 3 N con un dito (sezione = 10^-4 m²) e con un ago ipodermico (sezione = 210^-7 m²)

area forza A

P  F 

Pa 10

m 3 10

N

P_dito  3_{4 2}   ⁴ Pa 10

m 1.5 10

2

N

P_ago 3 _{7 2}   ⁷

  _

6

Attenzione!

Area grande = Pressione

piccola

7

S

Quale forza devo usare

?

Nel calcolo della pressione, devo sempre usare la componente della forza

perpendicolare (normale) alla superficie

F F_

8

Il fluido esercita sul corpo...

... una forza uguale in ogni direzione e

perpendicolare alla superficie

9

Pressione atmosferica

E’ la pressione esercitata dalla colonna di aria (atmosfera) che sta sopra di noi

La pressione

atmosferica agisce in modo uguale in tutte le direzioni P_atm 1.01310⁵ Pa  101 kPa  1.01 bar  1 atm

N.B. 1 bar º10⁵ Pa

10

La pressione relativa

Pressione interna:

pressione assoluta

Patmosferica

P_interna

Pressione relativa:

differenza tra

pressione interna e pressione

atmosferica

atm

rel

P - P

P 

11

Esercizio

Qual è la pressione assoluta all’interno di un pneumatico gonfiato ad una pressione relativa di 2 atm

La pressione prescritta dalla casa costruttrice (quella che si legge sulla colonnina) è la pressione relativa

atm 3

atm 2

atm 1

p p

p_ass  _atm  _rel     31.0110⁵ Pa

12



Densità, pressione



La portata di un condotto



Il teorema di Bernoulli



Applicazioni dell’equazione di Bernoulli



Stenosi e aneurisma



Pressione del sangue

13

• Fluido perfetto

(incomprimibile, non viscoso)

• Condotto rigido

• Moto stazionario (vedi)

• Flusso laminare (vedi)

Oggi lavoreremo con:

Conservazione dell’energia

meccanica

Portata di un condotto

Unità di misura (S.I.):

m³/s

S ^{Dx = v·Dt}

A

Volume di liquido che attraversa una sezione (A) nell’unità di tempo



Q Δt V    S  v Δt

Δx

S    Δt

Δt v

S

14

Q = 100 cm³ s^–1

Esemp io

In regime di moto

stazionario, la portata è la stessa in ogni sezione del

condotto

Equazione di continuità

S₁ S₂

v₁ v₂

S_A = 5 cm² v_A = 20 cm s^–1

S_B = 1.25 cm²

v_B = 80 cm s^–1 La sezione aumenta,

la velocità diminuisce

La sezione diminuisce, la velocità aumenta

costante v

S

Q   

15



Densità, pressione



La portata di un condotto



Il teorema di Bernoulli



Applicazioni dell’equazione di Bernoulli



Stenosi e aneurisma

16

Liquido perfetto

(incomprimibile, non viscoso)

Condotto rigido Moto stazionario Flusso laminaresoltanto la ^{Ci sono}

forza

gravitazionale e le forze di

pressione

Il teorema di Bernoulli

N.B. V₁ = V₂ = V per l’equazione di continuità

Il lavoro compiuto dalle forze di pressione vale

2 2

1

1 x -F x F

L  D D  p1 A1 Dx1 -p2 A2 Dx2  p₁ V₁ -p₂ V₂  (p₁ -p₂ )V

Intermezzo: lavoro e energia meccanica

 Per il teorema dell’energia cinetica il lavoro fatto dalla risultante delle forze che agiscono su un oggetto vale

 La risultante delle forze è la somma vettoriale della risultante delle forze conservative (FC)eventualmente presenti e della risultante delle altre forze (F). Il lavoro

compiuto dalla risultante delle forze conservative è uguale e opposto alla variazione di energia potenziale (LC=-DU).

Quindi:

 Il lavoro compiuto dalle forze F è pari alla variazione dell’energia meccanica totale

17

18

Il teorema di Bernoulli

variazione

energia potenziale variazione

energia cinetica

) v - (v 2 m

) 1 y - (y mg

E  _{2 1}  ²_{2 1}²

D

19

Divido entrambi i membri per V

Dopo qualche passaggio...

m/V = r densità

(p

- p

) V  mg (h

- h

)  1

2 m (v

- v

)

E L  D

(p₁ - p₂)  m

V g (h₂ - h₁)  1 2

m

V (v₂² - v₁²)

(p

- p

)  r g (h

- h

)  1

2 r (v

- v

) r gh

 1

2 r v

 p

 r gh

 1

2 r v

 p

20

Energia potenziale

mgh per unità di

volume

Energia cinetica

½mv² per unità di

volume

Lavoro delle forze di

pressione per unità di

volume

Il teorema di Bernoulli

Divido entrambi i membri per rg

altezza geometri

ca

altezza cinetica

altezza piezometri

ca

costante p

2 v

gh  1 r

  r

costante g

p 2g

h v

2

 

 r

21



Densità, pressione



La portata di un condotto



Il teorema di Bernoulli



Applicazioni dell’equazione di Bernoulli



Stenosi e aneurisma



Pressione del sangue

22

Legge di Stevino

(effetto del peso del fluido)

h₁ h₂ y

Il fluido è in quiete

pressione idrostatica

In un fluido in equilibrio, la pressione interna dipende solo dalla profondità

h

2 2

2 2

1 2

1

1 v p

2 gh 1

p 2 v

gh  1 r   r  r 

r

) h - (h g p

p₂  ₁  r _{1 2}  p₁  rgh

gh p

p



 r

23

Il

barometro

Se uso acqua Se uso

mercurio

Unità di misura della pressione atmosferica:

1 Torr = 1 mmHg

gh gh

0

P_atm   r  r

m ) 10

ms (9.8 )

m kg 10

(

Pa 10

1.013 g

h P _{3 -3 -2}

5 atm

acqua 



 

 r

m ) 0.76

ms (9.8 )

m kg 10

3595 .

1 (

Pa 10

1.013 g

h P _{4 -3 -2}

5 atm

mercurio 





 

 r

24

Esercizio

Qual è la pressione (assoluta e relativa) esercitata su un nuotatore che nuota 5 m sotto la superficie di un lago ?

Ogni 5 m di profondità in acqua, si è sottoposti a una pressione aggiuntiva di 0.5 atm

p_assoluta = 1.5 atm p_relativa = 0.5 atm gh

p

p_tot  _atm  r 1.0110⁵ Pa  (10³ kg m^-3) (9.8 m s^-2) (5 m)

Pa 10

1.50  ⁵

 1.5 atm

La Forza di Archimede agisce sul centro geometrico del volume immerso!25

Il principio di Archimede

Forza verso il basso Forza verso l’alto

Attenzione !!!

• la densità è quella del fluido!

• il corpo deve essere totalmente immerso

2 1

1

1 P A P L

F    

2 2

2

2 P A P L

F    

gL P

P₂  ₁  r

3 1

3 2

1 2

1

2 (P gL) L P L gL F gL

F   r    r   r

gV F

F -

F_{2 1}  _Archimede  r

26

Quest’ uovo è fresco…

CM(V_H20) ≡ CM(uovo) F_A

W

CM(V_H20) ≠ CM(uovo)

F_A

…e questo no

27

Legge di Torricelli

La superficie libera

dell’acqua è immobile

La pressione esterna è uguale

per i 2 punti (patmosferica)

h₂ è uguale a 0 per costruzione (origine dell’asse

y)

semplifico r

Identica alla velocità di un grave che cade

da un’altezza h

y

1

2

S

v h

2 2

2 2

1 2

1

1 v p

2 gh 1

p 2 v

gh  1 r   r  r 

r

2 2

1 v

2 gh 1 r

r  ₁ v²₂

2

gh  1

v

 2gh

28



Densità, pressione



La portata di un condotto



Il teorema di Bernoulli



Applicazioni dell’equazione di Bernoulli



Stenosi e aneurisma



Pressione del sangue

29

h

= h

Q = costante S

v

= S

v

S

< S

v

> v

la stenosi tende a peggiorare v

> v

p

< p

Applicando il teorema di Bernoulli (

h

= h

Applicazione dell’equazione di Bernoulli

La stenosi

S

S

v

v

2 2 2

2 1

1

ρ v

2 p 1

v 2 ρ

p  1  

30

S

> S

v

< v

S

S

v

v

Q = costante

L’aneurisma

S

v

= S

v

Applicando il teorema di Bernoulli (h₁ = h₂):

v

< v

p

> p

L’aneurisma tende a peggiorare

2 2 2

2 1

1

ρ v

2 p 1

v 2 ρ

p  1  

31



Densità, pressione



La portata di un condotto



Il teorema di Bernoulli



Applicazioni dell’equazione di Bernoulli



Stenosi e aneurisma



Pressione del sangue

32

Misuro la pressione in 3 grandi arterie (testa, cuore, piedi)

Faccio l’approssimazione che la sezione delle 3 arterie sia ~

uguale

Effetti della pressione idrostatica

y

h_testa

h_cuore h_{piedi = 0}

costante p

2 v

gh  1 r ²  

r

cuore cuore

piedi - p gh

p  r

testa cuore

cuore

testa p gh - gh

p   r r

piedi testa

cuore v v

v  

33

Effetti della pressione idrostatica

Hg mm

31 -

Pa 10

2 4.

-  ³ 

 y

h_testa

h_cuore







 (10 kg m ) (9.8 ms ) (1.3m) p

-

p_{piedi cuore} ^{3 3 -2}

Hg mm 101 Pa

10

1.3 ⁴ 







 (10 kg m ) (9.8 m s ) (1.3m -1.7 m) p

-

p_{testa cuore} ^{3 3 -2}

36

Applicazione dell’equazione di Bernoulli

La fleboclisi

y

h

h g ρ p

p





37

Il flacone deve essere posto ad una altezza h sufficiente

per avere P_cannula – Patmosferica > P_vena

Applicazione dell’equazione di Bernoulli

La fleboclisi













1.013 10 Pa (1.000 10 kgm^ ) (9.810 m s ) (0.2500 m)

P_cannula ^{5 3 3 -2}

Pa 10

1.037 ⁵



Torr 18.05

Pa 10

2.400 10

1.013) -

(1.037 P

P_cannula  _atmosferica   ⁵   ³ 

m .25 0 h 

38

Misura della pressione arteriosa con lo sfigmomanometro

Comprimo l’arteria per ottenere p > p

La circolazione è momentaneamente bloccata

39

Diminuisco lentamente la pressione

Misura della pressione arteriosa

con lo sfigmomanometro

40

p_s = pressione sistolica p_d = pressione diastolica p > p_s  silenzio

p_s > p > p_d  rumore pulsato

p < p_d  rumore continuo

Misura della pressione arteriosa con lo sfigmomanometro

Nota. Quando p_s > p > p_{d :}

• il rumore è pulsato perchè il sangue fluisce quando la pressione del

sangue è maggiore della pressione esercitata dalla fascia

• il flusso è turbolento e quindi il rumore è diverso da quando ho

p < p_d

41

Per i liquidi ideali la conservazione dell’energia meccanica porta al teorema di Bernoulli....

... molto utile per risolvere i problemi più disparati

Prossima lezione:

i liquidi reali

Riassumendo