La lezione di oggi

1

La densità La pressione

L’equazione di continuità Il teorema di Bernoulli

Stenosi e aneurismi

La lezione di oggi

3

!  Densità, pressione

!  La portata di un condotto

!  Il teorema di Bernoulli

!  Applicazioni dell’equazione di Bernoulli

!  Stenosi e aneurisma

!  Pressione del sangue

La Densità

La densità è definita come

V = m

ρ

Sostanza Aria Polistirolo espanso Olio

d’oliva Acqua

di mare Alluminio Ferro Oro

Densità

(kg/m

) 1.29 ~30 920 1025 2700 7860 19300

!  Dimensioni: [ML ^-3 ]

!  Unità di misura SI: kg/m ³

La Pressione

5

La pressione è definita come

area forza A

P = F =

!  Dimensioni: [MLT ^-2 ][L ^-2 ]=[ML ^-1 T ^-2 ]

!  Unità di misura SI: Pa (pascal) = N/m ²

Esempio:

Calcolare la pressione esercitata sulla pelle, quando si preme con una forza di 3 N con un dito (sezione = 10

m

) e con un ago ipodermico (sezione = 2⋅10

m

)

Pa 10

m 3 10

N

P

= 3

= ⋅

Pa 10

m 1.5 10

2

N

P

3

= ⋅

= ⋅

Attenzione!

Area grande = Pressione piccola

7

S

Quale forza devo usare ?

Nel calcolo della pressione, devo sempre usare la componente della forza

perpendicolare (normale) alla superficie

F F

Il fluido esercita sul corpo...

... una forza uguale in ogni direzione e

perpendicolare alla superficie

9

Pressione atmosferica

E’ la pressione esercitata dalla colonna di aria (atmosfera) che sta sopra di noi

P

= 1.013⋅10

Pa = 101 kPa = 1.01 bar = 1 atm

La pressione

atmosferica agisce

in modo uguale

in tutte le direzioni

N.B. 1 bar ≡ 10

Pa

La pressione relativa

Pressione interna: pressione assoluta

P

P

Pressione relativa:

differenza tra

pressione interna e pressione atmosferica

atm

rel P - P

P =

11

Esercizio

Qual è la pressione assoluta all’interno di un pneumatico gonfiato ad una pressione relativa di 2 atm

atm 3

atm 2

atm 1

p p

p

=

+

= + = = 3 × 1.01 × 10

Pa

La pressione prescritta dalla casa costruttrice (quella che si legge

sulla colonnina) è la pressione relativa

!  Densità, pressione

!  La portata di un condotto

!  Il teorema di Bernoulli

!  Applicazioni dell’equazione di Bernoulli

!  Stenosi e aneurisma

!  Pressione del sangue

13

•  Fluido perfetto

(incomprimibile, non viscoso)

•  Condotto rigido

•  Moto stazionario (vedi)

•  Flusso laminare (vedi)

Oggi lavoreremo con:

Conservazione dell’energia

meccanica

Portata di un condotto

Q = Unità di misura (S.I.):

m

/s

S ^{Δ x = v ·Δt}

A

Volume di liquido che attraversa una sezione (A) nell’unità di tempo

Δt

V = ⋅ = S⋅ ^v Δt

Δx

S ⋅ ⋅ = Δt

Δt v

S

Q = 100 cm

s

Esempio

In regime di moto stazionario, la portata è la stessa in ogni sezione

del condotto

Equazione di continuità

S

S

v

v

S

= 5 cm

v

= 20 cm s

S

= 1.25 cm

v

= 80 cm s

La sezione aumenta,

la velocità diminuisce

La sezione diminuisce, la velocità aumenta

costante v

S

Q = ⋅ =

15

!  Densità, pressione

!  La portata di un condotto

!  Il teorema di Bernoulli

!  Applicazioni dell’equazione di Bernoulli

!  Stenosi e aneurisma

Liquido perfetto

(incomprimibile, non viscoso) Condotto rigido

Moto stazionario Flusso laminare

Ci sono soltanto la forza

gravitazionale e le forze di pressione

Il teorema di Bernoulli

2 2

1

1 x - F x F

L = Δ Δ ^{= p}

^A

^{Δ x}

^{- p}

^A

^{Δ x}

^{= p}

^V

^{- p}

^V

^{= (p}

^{- p}

^{) V}

Il lavoro compiuto dalle forze di pressione vale

Intermezzo: lavoro e energia meccanica

! 

Per il teorema dell’energia cinetica il lavoro fatto dalla risultante delle forze che agiscono su un oggetto vale

! 

La risultante delle forze è la somma vettoriale della risultante delle forze conservative (F

)eventualmente presenti e della risultante delle altre forze (F). Il lavoro

compiuto dalla risultante delle forze conservative è uguale e opposto alla variazione di energia potenziale (L

=- Δ U).

Quindi:

! 

Il lavoro compiuto dalle forze F è pari alla variazione dell’energia meccanica totale

17

L _{T OT} = K

L

= L + L

= L U = K = ) L = (K + U) = E

Il teorema di Bernoulli

) v - (v 2 m

) 1 y - (y mg

E =

+

Δ

variazione

energia potenziale variazione

energia cinetica

19

(p ₁ - p ₂ ) V = mg (h ₂ - h ₁ ) + 1

2 m (v ₂ ² - v ₁ ² )

E L = Δ

Divido entrambi i membri per V (p

- p

) = m

V g (h

- h

) + 1 2

m

V (v

- v

) (p

- p

) = ρ ^{g (h}

^{- h}

) + 1

2 ρ ^(v

^{- v}

⁾ ρ ^gh

+ 1

2 ρ ^v

+ p

= ρ ^gh

+ 1

2 ρ ^v

+ p

Dopo qualche passaggio...

m/V = ρ

densità

costante p

2 v

gh + 1 ρ ² + =

ρ

Energia

potenziale mgh per unità di

volume

Energia cinetica ½mv

per unità di volume

Lavoro delle forze di pressione per unità di volume

Il teorema di Bernoulli

Divido entrambi i membri per ρg

costante g

p 2g

h v

2

= +

+ ρ

altezza

geometrica altezza

altezza

piezometrica

21

!  Densità, pressione

!  La portata di un condotto

!  Il teorema di Bernoulli

!  Applicazioni dell’equazione di Bernoulli

!  Stenosi e aneurisma

!  Pressione del sangue

Legge di Stevino

(effetto del peso del fluido)

2 2

2 2

1 2

1

1

v p

2 gh 1

p 2 v

gh + 1 ρ + = ρ + ρ +

ρ

h

h

y

Il fluido è in quiete

) h - (h g p

p

=

+ ρ

= p

+ ρ gh

gh p

p _tot = _atm + ρ

pressione idrostatica

In un fluido in equilibrio, la pressione interna

dipende solo dalla profondità h

23

Il barometro

gh gh

0

P

= + ρ = ρ

m ) 10

ms (9.8 )

m kg 10

(

Pa 10

1.013 g

h P

5 atm

acqua

=

⋅

= ⋅

= ρ

Se uso acqua

m ) 0.76

ms (9.8 )

m kg 10

3595 .

1 (

Pa 10

1.013 g

h P

5 atm

mercurio

=

⋅

⋅

= ⋅

= ρ

Se uso mercu rio

Unità di misura della pressione atmosferica:

1 Torr = 1 mmHg

Esercizio

Qual è la pressione (assoluta e relativa) esercitata su un nuotatore che nuota 5 m sotto la superficie di un lago ?

gh p

p

=

+ ρ = 1.01 × 10

Pa + (10

kg m

) × (9.8 m s

) × (5 m) Pa

10 1.50 ×

=

Ogni 5 m di profondità in acqua, si è sottoposti a una pressione aggiuntiva di 0.5 atm

atm

= 1.5

p

= 1.5 atm

p

= 0.5 atm

La Forza di Archimede agisce sul centro geometrico del volume immerso!

Il principio di Archimede

Forza verso il basso

2 1

1

1

P A P L

F = ⋅ = ⋅

Forza verso l’alto

2 2

2

2

P A P L

F = ⋅ = ⋅ gL P

P

=

+ ρ

3 1

3 2

1 2

1

2

(P gL) L P L gL F gL

F = + ρ ⋅ = + ρ = + ρ

Attenzione !!!

•   la densità è quella del fluido!

•  il corpo deve essere totalmente immerso

gV F

F -

F

⁼

⁼ ρ

Quest’ uovo è fresco…

…e questo no

27

Legge di Torricelli

2 2

2 2

1 2

1

1

v p

2 gh 1

p 2 v

gh + 1 ρ + = ρ + ρ +

ρ

La superficie libera dell’acqua è

immobile

La pressione esterna è uguale per i 2 punti (p

)

h

è uguale a 0 per costruzione (origine

dell’asse y)

2 2

1

v

2 gh 1 ρ

ρ = semplifico ρ

v

2

gh = 1 v = ₂ 2gh ₁

Identica alla velocità di un grave che cade da

un’altezza h

y

1

2

S

v

h

28

!  Densità, pressione

!  La portata di un condotto

!  Il teorema di Bernoulli

!  Applicazioni dell’equazione di Bernoulli

!  Stenosi e aneurisma

!  Pressione del sangue

29

h ₁ = h ₂

Q = costante S ₁ v ₁ = S ₂ v ₂

S ₂ < S ₁ v ₂ > v ₁

la stenosi tende a peggiorare v ₂ > v ₁ p ₂ < p ₁

Applicando il teorema di Bernoulli ( h ₁ = h ₂ ^):

2 2 2

2 1

1 ρ v

2 p 1

v 2 ρ

p + 1 = +

Applicazione dell’equazione di Bernoulli La stenosi

S ₂ S ₁

v ₁ v ₂

S ₂ > S ₁ v ₂ < v ₁ S ₂

S ₁

v ₁ v ₂ Q = costante

L’aneurisma

S ₁ v ₁ = S ₂ v ₂

Applicando il teorema di Bernoulli (h ₁ = h ₂ ):

v ₂ < v ₁ p ₂ > p ₁ L’aneurisma tende a peggiorare

2 2 2

2 1

1 ρ v

2 p 1

v 2 ρ

p + 1 = +

31

!  Densità, pressione

!  La portata di un condotto

!  Il teorema di Bernoulli

!  Applicazioni dell’equazione di Bernoulli

!  Stenosi e aneurisma

!  Pressione del sangue

Misuro la pressione in 3 grandi arterie (testa, cuore, piedi)

Faccio l’approssimazione che la sezione delle 3 arterie sia ~ uguale

Effetti della pressione idrostatica

y

h

h

costante p

2 v

gh + 1 ρ

+ =

ρ

cuore cuore

piedi

- p gh

p = ρ

testa cuore

cuore

testa

p gh - gh

p − = ρ ρ

h

piedi testa

cuore

v v

v = =

33

=

×

×

= (10 kg m ) (9.8 m s ) (1.3 m) p

-

p

Hg mm 101 Pa

10

1.3 ×

=

=

×

×

= (10 kg m ) (9.8 m s ) ( 1.3 m - 1.7 m) p

-

p

Effetti della pressione idrostatica

Hg mm

31 -

Pa 10

2 4.

- ×

=

= y

h

h

h

= 1.7 m

h

= 1.3 m

Applicazione dell’equazione di Bernoulli

Misura della pressione arteriosa

h g ρ p

h g ρ

p _s + ^' = _{atmosferic a} +

' a

atmosferic

s p ρ g h - ρ g h

p − =

) h - (h g

ρ p

p _s − _{atmosferic a} = ^'

y

ρ soluzione salina ~ ρ fluido manometrico

Quando misuro P venose, che sono piccole, uso un fluido manometrico con ρ bassa

ρ&

35

Nota bene

La misura della pressione del sangue nelle arterie è sempre riferita alla P _atm

120 mmHg ⇒ (120+760) mmHg

y

Applicazione dell’equazione di Bernoulli

Misura della pressione arteriosa

Applicazione dell’equazione di Bernoulli La fleboclisi

h g ρ p

p _cannula = _{atmosferic a} +

y

h

37

Il flacone deve essere posto ad una altezza h sufficiente

per avere P _cannula – P atmosferica > P _vena

Applicazione dell’equazione di Bernoulli

La fleboclisi

=

×

×

⋅ +

⋅

= 1.013 10 Pa (1.000 10 kgm

) (9.810 m s ) (0.2500 m)

P

Pa 10

1.037 ×

=

Torr 18.05

Pa 10

2.400 10

1.013) -

(1.037 P

P

−

= ×

= ×

=

m

.25

h = 0

Misura della pressione arteriosa con lo sfigmomanometro

Comprimo l’arteria per ottenere p > p _sistolica

La circolazione è momentaneamente bloccata

39

Diminuisco lentamente la pressione

Misura della pressione arteriosa

con lo sfigmomanometro

p

= pressione sistolica p

= pressione diastolica p > p

⇒ silenzio

p

> p > p

⇒ rumore pulsato p < p

⇒ rumore continuo

Misura della pressione arteriosa con lo sfigmomanometro

Nota. Quando p _s > p > p _{d :}

•  il rumore è pulsato perchè il sangue fluisce quando la pressione del

sangue è maggiore della pressione esercitata dalla fascia

•  il flusso è turbolento e quindi il rumore è diverso da quando

ho p < p

41

Per i liquidi ideali la conservazione dell’energia meccanica porta al teorema di Bernoulli....

... molto utile per risolvere i problemi più disparati

Prossima lezione:

i liquidi reali

Riassumendo