IV APPELLO DI
FONDAMENTI DI ANALISI MATEMATICA 2
Ing. Aerospaziale
A.A. 2018/2019, 18 Settembre 2019
Cognome e Nome:
...Matricola:
...1 2 3 4
ESERCIZIO 1. Si consideri la curva parametrica r(θ) = eθcos θ, eθsen θ, θ ∈ [0, 2π].
(i) [3 punti] Si calcoli: il versore tangente in un generico punto r(θ); la retta tangente nel punto r(π).
(ii) [4 punti] Si calcoli l’integrale curvilineo di 1a specie (indicando i passaggi fondamentali) Z
r
√2 xy ds =
ESERCIZIO 2. Si consideri la regione D =
(x, y, z) ∈ R3 : 2x2+ y2+ z2≤ 8, −1 ≤ x ≤ 0
.
(i) [3 punti] Scrivere una parametrizzazione della frontiera ∂D di D e tracciare un disegno qualitativo di D.
(ii) [2 punti] Determinare il versore normale uscente nei punti regolari della superficie ∂D.
(iii) [5 punti] Calcolare il volume di D(indicando i passaggi fondamentali):
Vol(D) =
ESERCIZIO 3. Si consideri l’insieme D =n
(x, y) ∈ R2 : x2+ 5y2≤ 20, xy ≥√ 15o
, e la funzione f : D → R definita da f (x, y) = xy − 2x2− 10y2.
(i) [1 punti] Determinare la frontiera ∂D di D.
∂D =
(ii) [6 punti] Calcolare gli estremi di f vincolati su ∂D:
e specificare i corrispondenti punti di massimo e minimo vincolato
(iii) [3 punti] Calcolare gli estremi di f inf
D f = sup
D
f =
e determinare la sua immagine:
f (D) =
ESERCIZIO 4.
(i) [4 punti] Si consideri l’equazione differenziale lineare di Eulero del second’ordine x2y00+ 2xy0− 6y = 0 .
Determinare l’integrale generale (l’insieme delle soluzioni) ϕ(c1, c2; x) =
(ii) [3 punti] Determinare la soluzione ϕ del problema di Cauchy
x2y00+ 2xy0− 6y = 0 , y(1) = 0, y0(1) = −10 .
ϕ(x) =
