FONDAMENTI DI ANALISI MATEMATICA 2

FONDAMENTI DI ANALISI MATEMATICA 2

Commissione F. Albertini, M. Motta

Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza Vicenza, 7 febbraio 2012

TEMA

1

Esercizio 1 Si consideri, per ogni α ∈ R, la seguente equazione differenziale:

y⁰⁰+ (1 − α)y⁰− αy = −e^−x.

(a) Determinare le soluzioni dell’equazione omogenea associata per ogni α ∈ R.

(b) Determinare le soluzioni dell’equazione data per ogni α 6= −1

(c) Dire se esistono dei valori del parametro α 6= −1 tali che tutte le soluzioni sono limitate nelle semiretta [0, +∞).

Sol. (a) Il polinomio caratteristico `e p(λ) = λ²+ (1 − α)λ − α = 0 di radici reali λ1,2 = α − 1 ±p(α + 1)²

2 = α, −1.

Sono radici coincidenti se α = −1. In questo caso l’integrale generale dell’equazione omogenea `e y(x) = (c1+ c2x)e<sup>−x</sup> (c1, c2 ∈ R). Sono distinte se α 6= −1. In questo caso l’integrale generale dell’equazione omogenea `e y(x) = c1e^αx+ c2e^−x (c1, c2∈ R).

(b) C’`e sempre risonanza con la radice −1 che nell’hp. α 6= −1 ha molteplicit`a 1, per cui la soluzione particolare ha la forma ¯y(x) = Ax e^−x. Sostituendo nell’equazione si ottiene A = 1/(α + 1), per cui l’integrale generale dell’equazione data `e y(x) = c₁e^αx+ c₂e^−x+_α+1^x e^−x (c1, c2∈ R).

(c) Le sol. sono tutte limitate se e solo se α ≤ 0.

TEMA 2: (a) Se α = −2, y(x) = (c₁+c₂x)e^−2x (c₁, c₂∈ R). Se α 6= −2, y(x) = c1e^αx+c₂e^−2x (c₁, c₂∈ R). (b) y(x) = c1e^αx+ c₂e^−2x+_α+2^x e^−2x (c₁, c₂ ∈ R). (c) α ≤ 0.

TEMA 3: (a) Se α = −3, y(x) = (c1+c2x)e^−3x (c1, c2∈ R). Se α 6= −3, y(x) = c1e^αx+c2e^−3x (c₁, c₂∈ R). (b) y(x) = c1e^αx+ c₂e^−3x+_α+3^x e^−3x (c₁, c₂ ∈ R). (c) α ≤ 0.

TEMA 4: (a) Se α = −4, y(x) = (c1+c2x)e^−4x (c1, c2∈ R). Se α 6= −4, y(x) = c1e^αx+c2e^−4x (c1, c2∈ R). (b) y(x) = c1e^αx+ c2e^−4x+_α+4^x e^−4x (c1, c2 ∈ R). (c) α ≤ 0.

Esercizio 2 Si consideri la seguente funzione:

f (x, y) = (y − 1)(x − 3)². (a) Determinare il segno della funzione.

(b) Determinare i massimi e minimi assoluti della funzione nell’insieme D =(x, y) | |y − 1| ≤ −(x − 3)²+ 1 .

Sol. (a) f (x, y) = 0 lungo le due rette y = 1 e x = 3. Poi f (x, y) ≥ 0 sopra la retta y = 1, cio`e se y ≥ 1; f (x, y) ≤ 0 se y ≤ 1. Incidentalmente, i punti (3, y) con y > 1 sono quindi di min rel.; con y < 1 sono di max rel., mentre (3, 1) non `e n`e min n`e max rel.

(b) Considerando y come asse verticale, D `e la regione del piano delimitata sopra dalla parabola y = 2 − (x − 3)² e sotto dalla parabola y = (x − 3)², per x ∈ [2, 4]. All’nterno di D,

∇f (x, y) = (0, 0) lungo la parte della retta x = 3 contenuta in D, dove per (a) non si ha n`e min n`e max assoluto (essendo f (3, y) = 0 e sia positiva che negativa altrove). Lungo il bordo:

f (x, y) = [1 − (x − 3)²](x − 3)² lungo la parabola superiore y = 2 − (x − 3)², x ∈ [2, 4], con derivata nulla in x = 3 ± (1/√

2) e valore M = 1/4;

f (x, y) = −[1 − (x − 3)²](x − 3)² lungo la parabola inferiore y = (x − 3)², x ∈ [2, 4], con derivata nulla in x = 3 ± (1/√

2) e valore m = −1/4.

Questi sono i max e min assoluti, dato che nei punti critici interni e nei punti di intersezione delle due parabole f = 0.

TEMA 2: (a) f (x, y) = 0 lungo le rette y = 2 e x = 4. Poi f (x, y) ≥ 0 se y ≥ 2; f (x, y) ≤ 0 se y ≤ 2. (b) ∇f (x, y) = (0, 0) lungo x = 4 e f (x, y) = [2 − (x − 4)²](x − 4)² lungo la parabola superiore y = 4 − (x − 4)², x ∈ [4 −√

2, 4 +√

2], con derivata nulla in x = 4 ± 1 e valore M = 1;

f (x, y) = −[2 − (x − 4)²](x − 4)² lungo la parabola inferiore y = (x − 4)², x ∈ [4 −√

2, 4 +√ 2], con derivata nulla in x = 4 ± 1 e valore m = −1. Questi sono i max e min assoluti, dato che nei punti critici interni e nei punti di intersezione delle due parabole f = 0.

TEMA 3: (a) f (x, y) = 0 lungo le rette y = 1 e x = 3. Poi f (x, y) ≥ 0 se x ≥ 3; f (x, y) ≤ 0 se x ≤ 3. (b) ∇f (x, y) = (0, 0) lungo y = 1 e f (x, y) = [3 − (y − 1)²](y − 1)² lungo la parabola superiore x = 6 − (y − 1)², y ∈ [1 − √

3, 1 +√

3], con derivata nulla in y = 1 ± (p3/2) e valore M = 9/4; f (x, y) = −[3 − (y − 1)²](y − 1)² lungo la parabola inferiore x = (y − 1)², y ∈ [1 −√

3, 1 +√

3], con derivata nulla in y = 1 ± (p3/2) e valore m = −9/4. Questi sono i max e min assoluti, dato che nei punti critici interni e nei punti di intersezione delle due parabole f = 0.

TEMA 4: (a) f (x, y) = 0 lungo le rette y = 2 e x = 4. Poi f (x, y) ≥ 0 se x ≥ 4; f (x, y) ≤ 0 se x ≤ 4. (b) ∇f (x, y) = (0, 0) lungo y = 2 e f (x, y) = [4 − (y − 2)²](y − 2)² lungo la parabola superiore x = 8 − (y − 2)², y ∈ [0, 4], con derivata nulla in y = 2 ±√

2 e valore M = 4;

f (x, y) = −[4 − (y − 2)²](y − 2)² lungo la parabola inferiore x = (y − 2)², y ∈ [0, 4], con derivata nulla in y = 2 ±√

2 e valore m = −4. Questi sono i max e min assoluti, dato che nei punti critici interni e nei punti di intersezione delle due parabole f = 0.

Esercizio 3 Data la funzione f (x, y) = 1

4a²x²y + ra²

4 + x²+ 3y²−a 2x

(a) Determinare al variare del parametro a > 0 il versore normale e l’equazione del piano tangente al grafico di f nel punto P₀= (0, a/2, a).

(b) Determinare il valore del parametro a > 0 per cui il piano tangente determinato nel punto (a) risulta parallelo al piano −x + 3y − 2z = 4.

(c) (Fac.) Determinare il valore del parametro a > 0 per cui la direzione di massima crescita di f in P0= (0, a/2, a) risulta parallela alla seconda bisettrice.

Sol. (a) Basta calcolare ∇f (0, a/2) = (−a/2, 3/2). Poi (−f_x, −f_y, 1) = (a/2, −3/2, 1) rapp- resenta il vettore normale, per cui

N = a/2

p1 + (a²/4) + (9/4), − 3/2

p1 + (a²/4) + (9/4), 1

p1 + (a²/4) + (9/4)

! ,

e il piano tangente `e

z = a −a 2x +3

2

 y − a

2



, cio`e a 2x −3

2y + z = a 4.

(b) Le direzioni normali ai due piani devono essere parallele, quindi: ^a/2₋₁ = ^−3/2₃ = ₋₂¹ , da cui segue a = 1.

(c) La direzione di massima crescita `e ∇f (0, a/2) = (−a/2, 3/2). Quindi risulta parallela alla seconda bisettrice y = −x se 3/2 = a/2, cio`e per a = 3.

TEMA 2: (a) ∇f (a/3, 0) = (3/2, −a/3), la direzione normale `e (−f<sub>x</sub>, −f<sub>y</sub>, 1) = (−3/2, a/3, 1) e il piano tangente `e −³₂x + ^a₃y + z = ^a₆. (b) ^−3/2₃ = ^a/3₋₁ = ₋₂¹ , da cui segue a = 3/2. (c) Se 3/2 = a/3, cio`e per a = 9/2.

TEMA 3: (a) ∇f (0, a/3) = (a/3, 3/2). Poi (−f_x, −f_y, 1) = (−a/3, −3/2, 1) e il piano tangente

`e −<sup>a</sup><sub>3</sub>x − <sup>3</sup><sub>2</sub>y + z = <sup>a</sup><sub>6</sub>. (b) <sup>−a/3</sup><sub>1</sub> = <sup>−3/2</sup><sub>3</sub> = <sub>−2</sub><sup>1</sup> , da cui segue a = 3/2. (c) Se 3/2 = a/3, cio`e per a = 9/2.

TEMA 4: (a) ∇f (a/2, 0) = (3/2, a/2), la direzione normale `e (−fx, −fy, 1) = (−3/2, −a/2, 1) e il piano tangente `e −³₂x − ^a₂y + z = ^a₄. (b) ^−3/2₃ = ^−a/2₁ = ₋₂¹ , da cui segue a = 1. (c) Se 3/2 = a/2, cio`e per a = 3.

Esercizio 4 Dato il solido di rotazione S =



(x, y, z) ∈ R³: x + 8 ≥ 2(y²+ z²), x + 1 e² ≤ e⁻

√

y²+z²



(a) fare un disegno qualitativo della proiezione di S sul piano Ox, z e calcolare il volume di S;

(a) determinare il flusso uscente da ∂S del seguente campo vettoriale:

F (x, y, z) = (x arctan(xy) − x +√

2, 6(y +√

2) − y arctan(xy), z − arctan(xy))

Sol. Considerando l’asse z come asse verticale, la proiezione di S sul piano Ox, z `e la regione del piano che sta a destra della parabola orizzontale x = 2(z²− 4) e a sinistra della curva pari rispetto all’asse x, x = e^−|z| − e⁻². Le due curve si intersecano lungo l’asse z, per z = ±2.

S risulta essere la rotazione di 2π attorno all’asse x della parte della sua proiezione su Ox, z con z ≥ 0. Detto E tale insieme, E =(x, z) : z ∈ [0, 2], 2(z²− 4) ≤ x ≤ e^−z− e⁻² e per il Teorema di Guldino

V ol(S) = 2π Z Z

E

z dx dz = 2π Z 2

0

ze^−z− e⁻²− 2(z²− 4) dz = 2π(9 − 5e⁻²).

(b) Per il Teorema della divergenza:

Z

∂S

hF, N^ei dσ = Z Z Z

S

divF dx dy dz = 6V ol(S).

TEMA 2: S `e rotazione di 2π attorno a x di E =(x, z) : z ∈ [0, 3], (z²− 9)/3 ≤ x ≤ e⁻³− e^−z e per il Teorema di Guldino

V ol(S) = 2π Z Z

E

z dx dz = 2π Z 3

0

ze⁻³− e^−z− (z²− 9)/3 dz = ...

(b) Per il Teorema della divergenza:

Z

∂S

hF, N^ei dσ = Z Z Z

S

divF dx dy dz = 2V ol(S).

TEMA 3: S `e rotazione di 2π attorno a x di E =(x, z) : z ∈ [0, 2], e^−z− e⁻²≤ x ≤ 8 − 2z² e per il Teorema di Guldino

V ol(S) = 2π Z Z

E

z dx dz = 2π Z 2

0

z8 − 2z²− e^−z+ e⁻² dz = ...

(b) Per il Teorema della divergenza:

Z

∂S

hF, N^ei dσ = Z Z Z

S

divF dx dy dz = 4V ol(S).

TEMA 4: S `e rotazione di 2π attorno a x di E =(x, z) : z ∈ [0, 3], e⁻³− e^−z≤ x ≤ (9 − z²)/3 e per il Teorema di Guldino

V ol(S) = 2π Z Z

E

z dx dz = 2π Z 3

0

z(9 − z²)/3 − e⁻³+ e^−z dz = ....

(b) Per il Teorema della divergenza:

Z

∂S

hF, N^ei dσ = Z Z Z

S

divF dx dy dz = 5V ol(S).