Universit`a degli Studi di Padova – Facolt`a di Ingegneria Prof. F. Albertini, M. Motta
Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, sede di Vicenza
FONDAMENTI DI ANALISI MATEMATICA 2
Vicenza, 25 gennaio 2012
TEMA 1
Esercizio 1 Dato l’insieme
C =(x, y, z) ∈ R3 : x2+ y + z2≤ 4, x2+ z2− 2x 6 0, y ≥ 0 , si calcoli il seguente integrale triplo
Z Z Z
C
√ 1
x2+ z2 dx dy dz.
Esercizio 2
Nel piano O x y si consideri la curva piana orientata γ, definita implicitamente come porzione della circonferenza di centro (1, 1) e raggio√
2, tale che x ≥ 0, percorsa in senso antiorario.
i) determinare una parametrizzazione regolare di γ che conservi l’orientamento richiesto.
ii) Calcolare i seguenti integrali curvilinei:
Z
γ
(y + x2) ds ; Z
γ
2xy dx + (x2+ y arctan(y2)) dy ,
giustificando le risposte.
Esercizio 3 Cacolare l’area della porzione del piano 5z = 3x − 4y interna al cilindro ellittico x2+ 4y2 = 4.
Gli esercizi 4 e 4 bis sono alternativi: svolgerne soltanto uno, a scelta
Esercizio 4 Determinare i valori massimo e minimo di f (x, y, z) = x2+ y2+ z2 sull’ellisse che risulta dall’intersezione del cono z2 = x2+ y2 con il piano x − 2z = 3.
Esercizio 4, bis Dato un parametro reale a, si consideri l’equazione differenziale (1 − a)y00(t) + 2ay0(t) − (1 + a)y(t) = e3t.
i) Determinare l’integrale generale dell’equazione omogenea associata per ogni a ∈ R.
ii) Determinare l’integrale generale dell’equazione data per a 6= 1, 2.
iii) (Fac.) Determinare l’integrale generale dell’equazione data per per a = 1, e a = 2.
Tempo: due ore e mezza. Viene corretto solo ci`o che `e scritto sul foglio intestato. E’ consentito l’uso di un unico foglio di regole individuale in formato A4. `E vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.
