Universit`a degli Studi di Padova – Facolt`a di Ingegneria
FONDAMENTI DI ANALISI MATEMATICA 2
Prof. F. Albertini, M. Motta Vicenza, 27-07-2010 Esercizio 1 Si consideri il seguente insieme:
D = (x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 3, y ≥ −1, y ≥ −|x − 2|, y ≤ |x2− 2x| . (a) Disegnare D.
(b) Determinare l’area di D.
(c) Determinare il volume del solido S ottenuto ruotando D attorno all’asse y di un angolo α = π.
Esercizio 2 Si consideri la seguente curva:
γ :
x(t) = 2 cos(t) y(t) = 2 sin(t) z(t) = t2+ 1
t ∈ [−π, π].
(a) Determinare al lunghezza di γ.
(b) Determinare il versore tangente alla curva nel punto P (2, 0, 1).
Esercizio 3 Data la forma differenziale lineare:
ω = 2xf (x2+ y2) + axy dx + 2yf (x2+ y2) + x2 dy, dove f : R → R `e una funzione di classe C∞ e a ∈ R.
(a) Determinare quali condizioni devono soddisfare la funzione f e il parametro a affinch`e la forma differenziale data sia esatta.
(b) Determinare, quando possibile, una primitiva di ω.
(c) (fac.) Determinare quali condizioni devono soddisfare la funzione f e il parametro a affinch`e R
γω = 0, dove γ `e la curva nel semipiano y ≥ 0, delimitata dalll’asse x e dalla circonferenza x2+ y2= 4.
Esercizio 4 Data la funzione
f (x, y) = (log(x + 1) − 1) |y2− 2x| + ex
determinare il dominio di f e discutere continuit`a, derivabilit`a e differenziabilit`a di f nel suo dominio.
Esercizio 5 Dato il sistema di equazioni (
(1 − x)(y + 1)(z − 1) + (x + 1) cos y − 2xRz
1(1 + |t|)et2+1dt = 1 y +Rx
0(1 + |t|)e−t2dt = 3(1 − z)2
(a) verificare che nell’intorno del punto (0, 0, 1) esso definisce implicitamente una curva;
(b) determinare l’equazione della retta tangente a tale curva in (0, 0, 1).
Tempo: due ore e mezza. Viene corretto solo ci`o che `e scritto sul foglio intestato. `E vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.
