FONDAMENTI DI ANALISI MATEMATICA 2
Commissione F. Albertini, M. Motta
Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza Vicenza, 7 febbraio 2012
TEMA
1
Esercizio 1 Si consideri, per ogni α ∈ R, la seguente equazione differenziale:
y00+ (1 − α)y0− αy = −e−x.
(a) Determinare le soluzioni dell’equazione omogenea associata per ogni α ∈ R.
(b) Determinare le soluzioni dell’equazione data per ogni α 6= −1
(c) Dire se esistono dei valori del parametro α 6= −1 tali che tutte le soluzioni sono limitate nelle semiretta [0, +∞).
Esercizio 2 Si consideri la seguente funzione:
f (x, y) = (y − 1)(x − 3)2. (a) Determinare il segno della funzione.
(b) Determinare i massimi e minimi assoluti della funzione nell’insieme D =(x, y) | |y − 1| ≤ −(x − 3)2+ 1 .
Esercizio 3 Data la funzione f (x, y) = 1
4a2x2y + ra2
4 + x2+ 3y2−a 2x
(a) Determinare al variare del parametro a > 0 il versore normale e l’equazione del piano tangente al grafico di f nel punto P0= (0, a/2, a).
(b) Determinare il valore del parametro a > 0 per cui il piano tangente determinato nel punto (a) risulta parallelo al piano −x + 3y − 2z = 4.
(c) (Fac.) Determinare il valore del parametro a > 0 per cui la direzione di massima crescita di f in P0= (0, a/2, a) risulta parallela alla seconda bisettrice.
Esercizio 4 Dato il solido di rotazione S =
(x, y, z) ∈ R3: x + 8 ≥ 2(y2+ z2), x + 1 e2 ≤ e−
√
y2+z2
(a) fare un disegno qualitativo della proiezione di S sul piano Ox, z e calcolare il volume di S;
(a) determinare il flusso uscente da ∂S del seguente campo vettoriale:
F (x, y, z) = (x arctan(xy) − x +
√
2, 6(y +
√
2) − y arctan(xy), z − arctan(xy))
Tempo: due ore e mezza. Viene corretto solo ci`o che `e scritto sul foglio intestato. `E vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.
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Commissione F. Albertini, M. Motta
Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza Vicenza, 7 febbraio 2012
TEMA
2
Esercizio 1 Si consideri, per ogni α ∈ R, la seguente equazione differenziale:
y00+ (2 − α)y0− 2αy = −e−2x.
(a) Determinare le soluzioni dell’equazione omogenea associata per ogni α ∈ R.
(b) Determinare le soluzioni dell’equazione data per ogni α 6= −2
(c) Dire se esistono dei valori del parametro α 6= −2 tali che tutte le soluzioni sono limitate nelle semiretta [0, +∞).
Esercizio 2 Si consideri la seguente funzione:
f (x, y) = (y − 2)(x − 4)2. (a) Determinare il segno della funzione.
(b) Determinare i massimi e minimi assoluti della funzione nell’insieme D =(x, y) | |y − 2| ≤ −(x − 4)2+ 2 .
Esercizio 3 Data la funzione f (x, y) = 1
9a2xy2+ ra2
9 + 3x2+ y2−a 3y
(a) Determinare al variare del parametro a > 0 il versore normale e l’equazione del piano tangente al grafico di f nel punto P0= (a/3, 0, 2a/3).
(b) Determinare il valore del parametro a > 0 per cui il piano tangente determinato nel punto (a) risulta parallelo al piano 3x − y − 2z = 5.
(c) (Fac.) Determinare il valore del parametro a > 0 per cui la direzione di massima crescita di f in P0= (a/3, 0, 2a/3) risulta parallela alla seconda bisettrice.
Esercizio 4 Dato il solido di rotazione S =
(x, y, z) ∈ R3 : 3x + 9 ≥ y2+ z2, x + e−
√
y2+z2 ≤ 1 e3
(a) fare un disegno qualitativo della proiezione di S sul piano Ox, z e calcolare il volume di S;
(a) determinare il flusso uscente da ∂S del seguente campo vettoriale:
F (x, y, z) = (2x + x log(1 + x2z2) + π, (x + π) log(1 + x2z2) − y, z − z log(1 + x2z2))
Tempo: due ore e mezza. Viene corretto solo ci`o che `e scritto sul foglio intestato. `E vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.
FONDAMENTI DI ANALISI MATEMATICA 2
Commissione F. Albertini, M. Motta
Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza Vicenza, 7 febbraio 2012
TEMA
3
Esercizio 1 Si consideri, per ogni α ∈ R, la seguente equazione differenziale:
y00+ (3 − α)y0− 3αy = −e−3x.
(a) Determinare le soluzioni dell’equazione omogenea associata per ogni α ∈ R.
(b) Determinare le soluzioni dell’equazione data per ogni α 6= −3
(c) Dire se esistono dei valori del parametro α 6= −3 tali che tutte le soluzioni sono limitate nelle semiretta [0, +∞).
Esercizio 2 Si consideri la seguente funzione:
f (x, y) = (x − 3)(y − 1)2. (a) Determinare il segno della funzione.
(b) Determinare i massimi e minimi assoluti della funzione nell’insieme D =(x, y) | |x − 3| ≤ −(y − 1)2+ 3 .
Esercizio 3 Data la funzione f (x, y) = a
3x +1
9a2x2y + ra2
9 + x2+ 3y2
(a) Determinare al variare del parametro a > 0 il versore normale e l’equazione del piano tangente al grafico di f nel punto P0= (0, a/3, 2a/3).
(b) Determinare il valore del parametro a > 0 per cui il piano tangente determinato nel punto (a) risulta parallelo al piano x + 3y − 2z = 6.
(c) (Fac.) Determinare il valore del parametro a > 0 per cui la direzione di massima crescita di f in P0= (0, a/3, 2a/3) risulta parallela alla prima bisettrice.
Esercizio 4 Dato il solido di rotazione S =
(x, y, z) ∈ R3: x ≤ 8 − 2(y2+ z2), x + 1 e2 ≥ e−
√
y2+z2
(a) fare un disegno qualitativo della proiezione di S sul piano Ox, z e calcolare il volume di S;
(a) determinare il flusso uscente da ∂S del seguente campo vettoriale:
F (x, y, z) = (x − arctan(zy), 4(y + e) − y arctan(zy), z arctan(zy) − z + e)
Tempo: due ore e mezza. Viene corretto solo ci`o che `e scritto sul foglio intestato. `E vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.
FONDAMENTI DI ANALISI MATEMATICA 2
Commissione F. Albertini, M. Motta
Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza Vicenza, 7 febbraio 2012
TEMA
4
Esercizio 1 Si consideri, per ogni α ∈ R, la seguente equazione differenziale:
y00+ (4 − α)y0− 4αy = −e−4x.
(a) Determinare le soluzioni dell’equazione omogenea associata per ogni α ∈ R.
(b) Determinare le soluzioni dell’equazione data per ogni α 6= −4
(c) Dire se esistono dei valori del parametro α 6= −4 tali che tutte le soluzioni sono limitate nelle semiretta [0, +∞).
Esercizio 2 Si consideri la seguente funzione:
f (x, y) = (x − 4)(y − 2)2. (a) Determinare il segno della funzione.
(b) Determinare i massimi e minimi assoluti della funzione nell’insieme D =(x, y) | |x − 4| ≤ −(y − 2)2+ 4 .
Data la funzione
f (x, y) = a 2y +1
4a2xy2+ ra2
4 + 3x2+ y2
(a) Determinare al variare del parametro a > 0 il versore normale e l’equazione del piano tangente al grafico di f nel punto P0= (a/2, 0, a).
(b) Determinare il valore del parametro a > 0 per cui il piano tangente determinato nel punto (a) risulta parallelo al piano −3x − y − 2z = 2.
(c) (Fac.) Determinare il valore del parametro a > 0 per cui la direzione di massima crescita di f in P0= (a/2, 0, a) risulta parallela alla prima bisettrice.
Esercizio 4 Dato il solido di rotazione S =
(x, y, z) ∈ R3 : 3x ≤ 9 − y2− z2, x + e−
√
y2+z2 ≥ 1 e3
(a) fare un disegno qualitativo della proiezione di S sul piano Ox, z e calcolare il volume di S;
(a) determinare il flusso uscente da ∂S del seguente campo vettoriale:
F (x, y, z) = ((y +√
3) log(1 + y2z2) − x, 5y + y log(1 + y2z2) +√
3, z − z log(1 + y2z2))
Tempo: due ore e mezza. Viene corretto solo ci`o che `e scritto sul foglio intestato. `E vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.
