FONDAMENTI DI ANALISI MATEMATICA 2
Commissione F. Albertini, M. Motta
Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza Vicenza, 19 settembre 2012
TEMA
1
Esercizio 1 Si consideri il seguente insieme:
D = (x, y) ∈ R2 : x2+ 9y2 ≤ 9 .
Disegnare D e determinare i massimi e minimi assoluti su D della funzione:
f (x, y) = |x + 2|e(x2+9y2).
Esercizio 2 Calcolare
Z Z
E
x2√ x y6 e
x y
2
dx dy
dove E `e la porzione del piano O x y delimitata dalle curve x = 2y2, x = 4y2, x = 2y, x = y.
Esercizio 3 Per ogni a > 0 si consideri la seguente equazione differenziale y0(x) = y(x)
x − a
2
xex+y(x) x .
(a) Determinare, in un intorno di x0 = 1, la soluzione tale che y(1) = 0.
(b) Dire se esistono, e quali sono, i valori a > 0 tali che la soluzione determinata in (a) ha come dominio (0, +∞).
Esercizio 4 Per ogni k > 0, si consideri il seguente insieme:
Sk = (x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ z ≤ 2k, (x − 2k)2+ (y + 1)2≤ k2z2 . (a) Calcolare il volume di Sk.
(b) Determinare, se esistono, i valori di k tali che vol(Sk) = 24π.
Tempo: due ore e mezza. Viene corretto solo ci`o che `e scritto sul foglio intestato. `E vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo.
