Prova scritta di Meccanica Razionale – 11.04.2017 Cognome e Nome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Corso di Laurea . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Prova scritta di Meccanica Razionale – 11.04.2017

Cognome e Nome . . . . Corso di Laurea . . . Anno di Corso 1 2 3 altro

Esercizio 1. Nel piano cartesiano Oxy si consideri la lamina omogenea di massa m, costituita da un triangolo rettangolo isoscele EDC e da un quadrato ABCE, in cui `e stato praticato un foro a forma di triangolo isoscele QP R (vedi figura).

Sapendo che AB = 2αR, QR = αR, si chiede:

1. determinare il valore di α (α > 0) affinch`e l’ordinata del baricentro G della lamina sia y G = −R (punti 4);

2. calcolare la matrice d’inerzia I O della lamina rispetto al riferimento Oxyz (punti 10).

O

x y

A B

C D

E

P R Q

Esercizio 2. In un piano verticale Oxy si consideri un sistema materiale costituito da un’asta AB, di lunghezza L e massa 2m, non omogenea, la cui densit` a, in un suo generico punto P , varia con la legge ρ(P ) = α AP (α > 0), e da un’asta omogenea BC, di lunghezza L e massa m. L’asta AB ha gli estremi A e B vincolati a muoversi rispettivamente sull’asse y e sull’asse x, l’asta BC `e incernierata alla prima in B. Si introducano i parametri lagrangiani θ = y ⁻ AB b e ϕ = y ⁻ BC. b

Oltre alle forze peso, sul sistema agiscono:

• una forza elastica ~ F e = −k(C − C ^′ ), dove C ^′ `e la proiezione di C sull’asse x,

• una forza costante ~ F G

= 1

2 mg ~, applicata al baricentro G 1 di AB,

• una coppia di momento ~ M 1 = − k

2 L ² sin 2θ ~k, agente su AB,

• una coppia di momento ~ M 2 = − k

2 L ² sin 2ϕ ~k, agente su BC,

con ~, ~k rispettivamente versori degli assi y ed z.

O A

B C ^′

C

x y

θ

ϕ

Supposti i vincoli lisci ed introdotto il parametro adimensionale λ = mg

kL ∈ R ⁺ , si chiede di:

1. scrivere l’espressione della funzione potenziale delle forze attive agenti sul sistema (punti 5);

2. determinare le configurazioni di equilibrio del sistema in funzione di λ (punti 4);

3. studiare la stabilit`a delle configurazioni di equilibrio del sistema in funzione di λ (punti 4);

4. scrivere l’espressione dell’energia cinetica del sistema (punti 5).

Avvertenze:

• Durata della prova: 120 minuti.

• Non ` e consentita la consultazione di testi e appunti.

• Ammissione alla prova orale con punti 16.

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