Facolt`a di Agraria

Facolt`a di Agraria

Prova scritta di Matematica del 14/7/2003 A.A. 2002-2003

Voto

Istruzioni: scrivere la risposta nel riquadro a fianco dell’esercizio ed allegare lo svolgimento completo. Apporre nome, cognome e numero di matricola su ogni foglio. Prima della consegna indicare nell’apposito spazio il numero totale di fogli di cui ` e composto l’elaborato.

Cognome Nome

no. fogli (compreso questo) N. Matricola

1. Risolvere la disequazione 2 ^3x

64 ≥ 2 ^|2x−15|

[21/5, +∞[

2. Data la funzione

f (x) = log(1 − x) 1. determinarne il dominio;

2. calcolarne i limiti agli estremi degli intervalli che costituiscono il dominio di f ;

3. determinare in quali intervalli la funzione `e crescente e in quali decrescente;

4. determinare in quali intervalli la funzione `e concava e in quali convessa;

5. scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di f nel punto di coordinate (−2, f (−2));

6. disegnare un grafico approssimativo di f e della retta tangente precedentemente individuata.

1. D =] − ∞, 1[

2. lim

x→−∞ f (x) = +∞, lim

x→1

f (x) = −∞

3. f ⁰ (x) = −1/(1 − x), x ∈] − ∞, 1[.

f `e decrescente in ] − ∞, 1[.

4. f ⁰⁰ (x) = −1/(1 − x) ² , x ∈] − ∞, 1[.

f `e concava in ] − ∞, 1[

5. y(x) = − 1

3 (x + 2) + log 3

6.

y

log3

0 1 x

-2

2 Matematica, 14/3/2003

3. Si consideri la funzione f : R → f (R) con legge

f (x) =

( log(1 − x) se x ≤ −2

a − 2x se x > −2 dove a `e un parametro reale.

1. Dire per quali valori di a la funzione `e invertibile e per quali di essi risulta f (R) = R;

2. dire se per a = −3 la funzione `e invertibile e, in caso affermativo, determinare dominio, codominio e legge della funzione inversa;

3. determinare per quali valori di a, se ne esistono, la funzione `e continua in ogni punto;

4. determinare per quali valori di a, se ne esistono, f `e derivabile in ogni punto.

1. `e invertibile per ogni a ≤ log 3 − 4 con f (R) = R solo per a = log 3 − 4.

2. per a = −3 la funzione `e invertibile

con f ⁻¹ :]−∞, 1[∪[log 3, +∞[→ R definita da

f ⁻¹ (y) =

( 1 − e ^y se y ≥ log 3

−(y + 3)/2 se y < 1

3. a = log 3 − 4 4. non esistono

4. Dato il problema di Cauchy

 



y ⁰ + 1 1 − x y = 1 y(0) = 0,

1. dire se la funzione y(x) = x ²

1 − x `e una soluzione del problema;

2. determinare una soluzione del problema, nel caso in cui non lo sia gi`a la funzione di cui al punto precedente.

1. non `e soluzione 2. y(x) = 2x − x ² 2(1 − x)

5. Calcolare, se esistono, i seguenti limiti 1. lim

x→+∞ (x − p

2 + x ² );

2. lim

x→+∞ x(x − p

2 + x ² ).

1. 0

2. −1