Facolt`a di Scienze Statistiche, Algebra Lineare 1 A, G.Parmeggiani LEZIONE 14
Rango di una matrice.
Basi dello spazio delle righe e dello spazio delle colonne di una matrice.
Def. 1. Sia A una matrice m× n. Si chiama rango o caratteristica di A, e si indica con il simbolo rk(A), la dimensione dello spazio delle colonne C(A) di A.
Proposizione.
Siano U una matrice m×n in forma ridotta di Gauss e k il numero delle sue colonne dominanti.
Siano uj1, uj2, . . . , ujk le colonne dominanti di U ed rT1, rT2, . . . , rTk le sue righe non nulle (quindi le prime k righe di U : si ricordi, come osservato nella Lezione 6, che il numero delle colonne dominannti di una matrice in forma ridotta di Gauss `e uguale al numero delle sue righe non nulle).
1 B = {uj1, uj2, . . ., ujk} `e una base dello spazio delle colonne C(U ) di U . 2 D = {r1, r2, . . ., rk} `e una base dello spazio delle righe R(U ) di U . 3 rk(U)=k.
Dimostrazione.
1 Per l’ESERCIZIO TIPO 8 B `e L.I, quindi per provare che `e una base di C(U ) resta da provare cheB `e un insieme di generatori di C(U ).
Provare che B `e un insieme di generatori di C(U ) significa provare che ogni elemento di C(U ), ossia ogni combinazione lineare delle colonne di U , `e combinazione lineare degli elementi di B. Poich`e combinazioni lineari di combinazioni lineari sono ancora combinazioni lineari, `e sufficiente provare che ogni colonna di U `e combinazione lineare degli elementi diB.
Sia dunque u una colonna di U .
Si costruisca la matrice ˜U le cui colonne sono gli elementi diB.
1
2
Dunque ˜U `e una matrice m× k del tipo:
U =˜
T
− − − − − O
dove e T `e una matrice unitriangolare superiore k× k:
T = 1
1 ∗
...
O 1
1 ,
e O `e un blocco nullo (m − k) × k.
La matrice ( ˜U | u ) che si ottiene affiancando u ad ˜U `e, come ˜U , una matrice in forma ridotta di Gauss, ed u `e una colonna libera. Quindi il sistema lineare (∗) U x = u, che ha˜ ( ˜U | u ) come matrice aumentata, ha soluzioni.
Sia
α1
α2
... αk
una soluzione di (∗). Allora, suddividendo U in blocchi colonna e facendo il˜
prodotto a blocchi (come nel caso (3) della Lezione 4), si ottiene:
u = ˜U
α1
α2
... αk
= ( uj1 uj2 . . . ujk)
α1
α2
... αk
= α1uj1+ α2uj2+ . . . + αkujk.
Quindi u `e combinazione lineare degli elementi diB.
2 Per l’ESERCIZIO TIPO 9D `e L.I, quindi per provare che `e una base di R(U ) resta da provare cheD `e un insieme di generatori di R(U ).
Osserviamo che ogni riga di U sta inD oppure `e nulla, in entrambi i casi `e quindi una com- binazione lineare di elementi diD. Quindi, come nella dimostrazione di 1 , poich`e combinazioni
3
lineari di combinazioni lineari di righe di U sono ancora combinazioni lineari di righe di U , questa osservazione `e sufficiente a provare cheD `e un insieme di generatori di R(U ).
3 Segue da 1 e dalla definizione di rango di una matrice.
Si pu´o provare il seguente
Teorema. Siano A e B due matrici tali che esista una matrice non singolare F per cui si abbia B = F A. Allora si ha:
1 {aj1, aj2, . . ., ajk} `e una base di C(A) se e solo se {bj1, bj2, . . . , bjk} (l’insieme delle cor- rispondenti colonne di B) `e una base di C(B).
2 R(A) = R(B).
Un’applicazione di questo Teorema ci permette di trovare basi di spazi delle colonne e delle righe di ogni matrice.
Corollario. Siano A una matrice ed U una sua forma ridotta di Gauss. Siano uj1, uj2, . . ., ujk le colonne dominanti di U ed rT1, rT2, . . . , rTk le sue righe non nulle (quindi le prime k righe di U ).
Allora:
1 L’insieme delle colonne di A corrispondenti alle colonne dominanti di una forma ridotta di Gauss U di A `e una base di C(A).
2 L’insieme delle righe non nulle di U `e una base di R(A).
Dimostrazione. Per la Proposizione di questa Lezione, B = {uj1, uj2, . . . , ujk} `e una base dello spazio delle colonne C(U ) di U eD = {r1, r2, . . ., rTk} `e una base dello spazio delle righe R(U ) di U .
Il risultato segue quindi da un’applicazione del Teorema, ricordando (si veda un N.B. nella Lezione 6) che poich`e U `e una forma ridotta di Gauss per A, esiste una matrice non singolare F tale che F A = U .
Esempio 1. Sia A =
0 0 1 0
. Allora, facendo un’eliminazione di Gauss su A si ottiene
A =
0 0 1 0
E12
−−−−−−→
1 0 0 0
= U,
4
ed U `e una forma ridotta di Gauss per A.
Poich`e l’unica colonna dominante di U `e la 1a, cio`e
1 0
, allora l’insieme che ha come unico elemento la 1a colonna di A, ossia{
0 1
}, `e una base di C(A).
Poich`e l’unica riga non nulla di U `e la 1a, cio`e ( 1 0 ), allora l’insieme che ha la trasposta si tale riga come unico elemento, ossia{
1 0
}, `e una base di R(A).
N.B. {
1 0
}, ossia l’insieme che ha come elemento la 1a colonna di U , NON `e una base di C(A).
N.B. {
0 0
}, ossia l’insieme che ha come elemento la trasposta della riga di A corrispon- dente all’unica riga non nulla di U , NON `e una base di R(A).
Propriet`a del rango di una matrice.
1. rk(A)= rk(AT)= rk(AH) per ogni matrice A.
2. Se A e B sono due matrici per cui esiste il prodotto AB, allora
• rk(AB)≤rk(A),
• rk(AB)≤rk(B).
