Elettromagnetismo. Prof. Francesco Ragusa Università degli Studi di Milano. Lezione n

Prof. Francesco Ragusa

Università degli Studi di Milano

Elettromagnetismo

Campo di un anello di carica Capacità, condensatori

Energia del condensatore

Forza fra le armature del condensatore

Lezione n. 11 – 18.11.2021

Cariche immagine e energia

• Un ultimo problema per chiarire un altro un punto importante

• Quanto lavoro è necessario per portare una carica q dall'infinito a distanza h da un piano conduttore?

• Per rispondere uno studente (o un professore …) ragiona in questo modo:

• Abbiamo visto che la forza è quella che si esercita fra la carica e la sua immagine

• Analogamente il lavoro calcolato, cambiato di segno, è uguale all'energia elettrostatica immagazzinata nel sistema carica + carica immagine

• Un altro studente (o professore …) preferisce un calcolo meno elegante, più di "forza bruta"

• Calcola il lavoro fatto contro la forza elettrostatica

• Ad una altezza z avremo

( )

2 2

4 0 2 F q

πε h

=

( )

2

4 0 2 U q

πε h

= −

dW = Fdz

( )

2 2

4 0 2

q dz πε z

=

Cariche immagine

• Il lavoro totale si trova integrando

• Il valore trovato è la metà di quello trovato con il primo calcolo

• Chi ha ragione e perché?

• Il risultato corretto è il secondo

• Nel primo caso infatti c'è un vincolo su come costruire il sistema

• Occorre spostare le due cariche in modo simmetrico rispetto al piano altrimenti il campo elettrico non è più perpendicolare al piano

• Se spostiamo entrambe le cariche il lavoro da considerare è solo metà:

quello fatto per spostare solo una delle due cariche

• Alternativamente si può ricordare che

• La formula

Nella nostra soluzione il campo è definito solo in metà dello spazio

2 0 2

1

4 4 _h

W q dz

πε z

∞

= ⋅

∫

q πε z

⎡ ⎤∞

⎢ ⎥

= ⋅ ⎢⎣− ⎥⎦

2

0

1 4 4

q πε h

= ⋅

2

0

1 2

1 4 2

q πε h

=

2

0

1 1

2 4 2 W q

πε h

=

0 2 V 2

U ε E dV

=

∫

( )

2

4 0 2 U q

πε h

= Presuppone un integrale su tutto lo spazio

Campo generato da un anello di carica

• Consideriamo nuovamente l'anello di carica Q e di raggio R

• L'anello è rappresentabile con una distribuzione lineare di carica di densità λ = Q/(2πR)

• Vogliamo calcolare il potenziale e il campo elettrico in un generico punto

r

• Consideriamo un elemento di carica sull'anello

• La lunghezza dell'elemento è dl = R dφ′

• La carica dell'elemento è dQ = λdl

• Chiamiamo il potenziale

V(r)

• Il contributo al potenziale dell'elemento di anello dl è

• Nell'ultima espressione abbiamo sviluppato il prodotto scalare fra

r

r′

tenendo conto che

r′

z

x

y r

φ θ r ′ φ′

0

( ) 1

4 dV dQ

πε s

= r

0

1 4

λ Rd φ πε

= ′

− ′

r r

1

4 2

λ Rd φ πε

= ′

′ ′

+ − ⋅

r r r r

2 2

0

( ) 1

4 2 sin cos( )

dV Rd

r R r R

λ φ

πε θ φ φ

= ′

+ − ′ −

r

′ s

− =

r r

Campo generato da un anello di carica

• Verifichiamo calcolando il prodotto scalare esplicitamente

• Il potenziale generato da tutto l'anello è

• È evidente che l'integrale non dipende da φ (simmetria azimutale)

• Possiamo porre φ = 0

• È un integrale che non conduce a espressioni contenenti funzioni elementari

sin cos sin sin r cos θ φ

θ φ θ

⎛ ⎞⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

= ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

r cos

sin 0

R φ

φ

⎛ ′ ⎟ ⎞

⎜ ⎟

′ = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝ ′ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ r

sin (cos cos sin sin )

rR θ φ φ φ φ

′ ′ ′

⋅ = +

r r

z

x

y r

φ θ r ′ φ′

sin cos( )

rR θ φ φ

′ ′

⋅ = −

r r

2

2 2

0 0

( ) 4 2 sin cos( )

R d

V r R r R

λ

φ

πε θ φ φ

= ′

+ − ′ −

∫

r

2

2 2

0 0

( ) 4 2 sin cos

R d

V r R r R

λ

φ

πε θ φ

= ′

+ − ′

∫

r

Campo generato da un anello di carica

• Trasformiamo l'integrale in una forma opportuna rispetto alle definizioni standard degli integrali ellittici

• Prima di tutto operiamo un cambio di variabile: φ = π + 2t

• I limiti di integrazione diventano

• φ = 0 → t = −π/2 φ = 2π → t = +π/2. Inoltre dφ =2dt

• La funzione trigonometrica: cosφ = cos(π+2t) = −cos2t = −1 + 2sin²t

• Chiamiamo A il radicando

• Definiamo

• Otteniamo

• Osserviamo che per 0 ≤ θ ≤ π e 0 ≤ r < ∞ abbiamo 0 ≤ k ≤1

2

2 2

0 0

( ) 4 2 sin cos

R d

V

r R r R

λ

φ

πε θ φ

= ∫ + −

r

2

r

R

2 sin r R

ξ = + + θ

2 2

4 sin 2 sin k Rr

r R r R

θ

= θ

+ +

2 2

2 sin cos

A = r + R − r θ R φ = r

+ R

+ 2 sin r θ R − 4 sin r θ R sin

t

2

2 2

0 2

( ) 2

4 1 sin

R dt

V

k t

π π

λ πε ξ

+

−

= ∫ −

r

2 2

0 0

1 sin

R dt

k t

π

λ

= πε ξ

∫ −

Campo generato da un anello di carica

• Si definisce integrale ellittico completo di primo tipo

• Per la definizione e le proprietà degli integrali ellittici si veda

• NIST – Digital Library of Mathematical Functions – capitolo 19 https://dlmf.nist.gov/

• Introduciamo la variabile ridotta ρ

• In funzione di ρ il parametro k è

• Infine

2

2 2

0 0

( )

1 sin

R dt

V

k t

π

λ

= πε ξ

∫ − r

2

r

R

2 sin r R

ξ = + + θ

2

2 2

4 sin

2 sin k Rr

r R r R

θ

= θ

+ +

2

2 2

0

( ) 1 sin

K k dt

k t

π

= ∫ −

r ρ = R

2

1

2 sin ξ = + ρ + ρ θ

2

2

4 sin

1 2 sin

k ρ θ

ρ ρ θ

= + +

Integrali ellittici

• Per il calcolo del campo elettrico è necessaria la derivata della funzione K(k)

• Vedi NIST DLMF 19.4

• La funzione E(k) è l'integrale ellittico completo di secondo tipo

• Notiamo infine che

2 2

( ) ( ) (1 ) ( ) (1 )

dK k E k k K k

dk k k

− −

= −

2 2 2

0

( ) 1 sin

E k k t dt

π

= ∫ −

k 2

π (0) (0)

K E π 2

= =

lim ( )

k

K k

→

= ∞

( ) E k

( ) K k

(1) 1

E =

Campo generato da un anello di carica

• Calcoliamo il valore del potenziale al centro dell’anello

• Al centro dell’anello

• Abbiamo pertanto

• A grandi distanze dal centro dell’anello

• Abbiamo pertanto

• A grandi distanze è il potenziale della carica dell’anello posta nell’origine

0

( ) R ( )

V λ K k

= πε ξ r

r ρ = R

2 2

2

1 2 sin

R

ξ = + ρ + ρ θ

2

2

4 sin

1 2 sin

k ρ θ

ρ ρ θ

= + +

z

x

y

ρ = 0 k = 0 1

R ξ =

0

(0) R (0)

V λ K

= πε ξ

0

2 λ π

= πε

2

λ

= ε

ρ → ∞ k → 0

R

ξ → ρ r

R R

ξ → ξ → r

0

lim ( ) (0)

r

V R K

r λ πε

→∞

r →

0

2 R

r λ π

= πε

0 0

2 2

2 2 4

R R

r r

λ π π λ

πε πε

= =

⋅ 4

Q πε r

=

Campo generato da un anello di carica

• Visualizziamo il potenziale con alcuni grafici

• Consideriamo il potenziale nel piano y = 0

• Una sezione x−z

• Normalizziamo il potenziale al suo valore nel centro dell’anello

z

x y

0

( ) R ( )

V λ K k

= πε ξ r

0

(0) 2

V λ

= ε ( ) 2

( ) ( )

(0)

V R

v K k

V π ξ

= r =

r

r ρ = R

2 2

2

1 2 sin

R

ξ = + ρ + ρ θ

2

2

4 sin

1 2 sin

k ρ θ

ρ ρ θ

= + +

ρ θ

2 2

x z R

= +

ρ ( , )

v ρ θ

1 ρ

90

θ =

0

θ =

60

θ =

75

θ =

Campo generato da un anello di carica

• Altri grafici nella sezione x−z

x z

x z

( , ) v x z

z

x

Capacità di un conduttore

• Consideriamo un conduttore isolato

• Ad esempio una sfera

• Supponiamo che sul conduttore sia depositata una certa quantità di carica q

• La carica si distribuisce sulla superficie del conduttore con una densità superficiale σ

• Abbiamo utilizzato una sfera solo per convenienza

• Non è detto che la densità sia uniforme

• Ovviamente avremo (S è la superficie del conduttore)

• Se il punto

r

r

• La superficie del conduttore è equipotenziale

• Supponiamo adesso di variare la densità di carica sul conduttore σ → k σ

• Anche la quantità di carica sarà moltiplicata per k: q → k q

• Anche il potenziale sul conduttore sarà moltiplicato per k: V → k V

(

)

S

q =

∫v

⁽

⁾

⁽

⁾

x y z σ da

φ πε

′ ′ ′

= ′

− ′

∫ v

₍ ⁽

₎ ⁾

( )

0

1 , ,

4 S

k x y z σ da

πε

′ ′ ′

′ ′

∫ v

∫ v

⁽

⁾

⁽

⁾

Capacità di un conduttore

• Ne consegue che il rapporto fra la carica sul conduttore e il potenziale della superficie è indipendente dal valore della carica

• Questo rapporto dipende dalla geometria del conduttore e prende il nome di capacità del conduttore

• Dipende anche dal mezzo che circonda il conduttore

• Per adesso supponiamo che sia il vuoto

• L'unità di misura della capacità (Coulomb/Volt) è il Farad

• Vedremo che un Farad è una capacità enorme e quindi normalmente si usano dei sottomultipli

• milliFarad 10⁻³ F mF

• microFarad 10⁻⁶ F μF

• nanoFarad 10⁻⁹ F nF

• picoFarad 10⁻¹² F pF

• femtoFarad 10⁻¹⁵ F fF

• Calcoliamo la capacità di una sfera di raggio R

• Mettiamo una carica q sulla superficie della sfera e calcoliamo il potenziale sulla sua superficie

C q

= V

Capacità di un conduttore

• Sappiamo che il potenziale sul conduttore è uguale a quello di una carica q posta al centro della sfera

• Pertanto il potenziale sulla superficie sarà

• E la capacità

• Come preannunciato dipende solo dalla geometria (R)

• Notiamo che il prodotto ε₀R ha le dimensioni del Farad

• È abitudine (ed è anche comodo) utilizzare per le unità di ε₀ il F/m (Farad per metro)

• Qualche esempio numerico

• R = 0.1 m → C = 1.11 × 10⁻¹¹ F = 11 pF

• R = 6700 Km → C = 0.74 × 10⁻³ F = 0.74 mF (raggio della terra)

• R = 9 × 10⁶ Km → C = 1F (il sole dista 150 × 10⁶ Km, la luna 0.4 × 10⁶ Km)

( )

0

1 4 V R q

φ R

= = πε C q

= V

0

1 4

q q πε R

= = 4πε₀R ₀ ^{12 2}

2

8.854 10 C ε = ⋅ ⁻ Nm

0 8.854 pF/ m ε =

Condensatore

• Il concetto di capacità è utile e importante anche per sistemi di più conduttori

• Uno dei sistemi a più conduttori più diffusi e utilizzati è quello costituito da due conduttori: il condensatore

• Studieremo in seguito i sistemi a più di due conduttori

• Consideriamo un sistema composto da due conduttori piani di area A posti a distanza ravvicinata

• I due conduttori prendono il nome di elettrodi o armature

• Supponiamo di depositare una carica +q sull'elettrodo superiore e una carica −q sull'elettrodo inferiore

• Se la distanza d fra gli elettrodi è molto piccola le cariche si distribuiscono uniformemente sulle superfici interne degli elettrodi

• In queste condizioni possiamo approssimare il campo fra gli elettrodi come il campo fra due distribuzioni superficiali di carica

uniforme e infinite

• Una soluzione esatta del problema

mostrerebbe una configurazione del campo elettrico come indicata in figura

d

+q

−q

Condensatore

• Trascuriamo gli effetti di bordo: il campo elettrico fra due piani di carica è uniforme e perpendicolare agli elettrodi (è nullo fuori)

• Il suo modulo è

• La densità di carica è

• A questo punto è immediato calcolare

la differenza di potenziale fra gli elettrodi

• V₊ il potenziale dell'elettrodo con la carica positiva

• V₋ il potenziale dell'elettrodo con la carica negativa

• Introducendo i valori di E e di σ

• Analogamente a quanto fatto per il conduttore singolo definiamo capacità del condensatore il rapporto fra la carica e il potenziale

• Notiamo che ancora una volta dipende solo dalla geometria

0

E σ

= ε q

σ = A

V =V₊ −V₋

d

+q

−q V₊ V₋ V = Ed E

0

σ d

= ε

0

q d

= Aε

C q

= V

0

q q d Aε

= ⁰A

d

= ε

0A

C d

= ε

0 d

= −

∫

⁽

⁾

Tutte le linee di campo che partono da un piano finiscono sull'altro.

Induzione completa

Condensatore

• Ci aspettiamo che il calcolo fatto sia tanto più accurato quanto più vicini sono i due piani

• Nel caso in cui l'approssimazione non sia buona allora occorre calcolare esattamente la differenza di potenziale i n funzione della carica

• Troveremmo qualcosa di "leggermente" differente dalla formula trovata

• Sul libro di Purcell è riportato il risultato di un calcolo della capacità di un condensatore con armature circolari

• La capacità calcolata esattamente viene confrontata con la formula approssimata

• La tabella mostra il rapporto f fra la capacità esatta e quella approssimata in funzione di s/R

• Ribadiamo che due conduttori formano comunque un condensatore

• Mantenere sotto controllo la geometria permette di costruire dispositivi utilizzati in circuiti elettronici

0 R2

C s

= ε π

esatta appr.

f C

= C

0.2 1.286 0.1 1.167 0.05 1.094 0.02 1.042 0.01 1.023

s f

R

Energia immagazzinata nel condensatore

• I condensatori sono dispositivi utili perché possono immagazzinare (e conservare) energia

• Consideriamo un condensatore di capacità C

• Consideriamo per semplicità l'elettrodo

inferiore a potenziale nullo e quello superiore a potenziale V

• La carica sulle armature è (per definizione)

• Supponiamo adesso di volere aumentare la carica sull'armatura superiore da q a q + dq trasportandola dall'elettrodo inferiore che passa da −q a −q −dq

• Naturalmente è necessaria una forza non elettrostatica

• Questa forza compie lavoro contro il campo elettrico per spostare una carica positiva dall'elettrodo inferiore a quello superiore

• Il lavoro fatto per trasportare dq è dato semplicemente da

• Il lavoro totale per "caricare" un condensatore da 0 a Q è pertanto

0 V₋ = V₊ =V

( )

Q = C V₊ −V₋ = CV

dW =Vdq q =CV q

V = C q

dW dq

= C

0 Q q

W dq

=

∫

= C

Energia immagazzinata nel condensatore

• Il lavoro W è naturalmente uguale all'energia immagazzinata U = W

• Possiamo inoltre esprimere il risultato ottenuto in funzione della differenza di potenziale fra le armature de condensatore

• Abbiamo infatti

• L'energia trovata è naturalmente l'energia elettrostatica delle cariche sulle armature del condensatore

• Tuttavia può essere interpretata come l'energia immagazzinata nel campo elettrostatico presente fra le armature del condensatore

• In un condensatore piano, assumendo che possano essere trascurati gli effetti di bordo, il campo elettrico è uniforme

• Il suo modulo è

• Moltiplicando per il volume Ad del condensatore 1 2

2 U Q

= C Q = CV 1

( )

2 U CV

= C 1 ²

U = 2CV

0

E σ

= ε La densità di energia ₀ ²

E 2

ρ = ε E ²

0

1 2

σ

= ε

U = ρEAd 1 ² σ Ad

= 1 ² A²

σ d

= 1Q² 1

= d

1Q2

=

Esempi di condensatori

Forza fra le armature

• Consideriamo un condensatore carico sulle cui armature è presente una carica ±Q

• Le armature pertanto si attraggono

• Naturalmente è presente una forza non elettrica che mantiene fissa la distanza L fra le armature

• Calcoliamo la forza con cui si attraggono

• Iniziamo facendo il calcolo considerando il condensatore carico ma isolato da un eventuale generatore

• La carica sulle armature è costante

• Supponiamo di innalzare di un tratto dz l'armatura superiore

• Per farlo applichiamo una forza meccanica

F

F

• Il lavoro fatto dalla forza meccanica è

• Se la distanza fra le armature aumenta l'energia immagazzinata aumenta

• Infatti la capacità diminuisce

−Q +Q

m dz F

Fe

L

dW = F_m ⋅dr = F dz_m = −F dz_e

1 2

2 U Q

= C 1 ² 1

dU 2Q d

= C

0A C ε

= 1 L

= 1 dz

d = L dz

= 1 dz

= 1Q dz²

dU =

Forza fra le armature

• Naturalmente l'aumento di energia è uguale al lavoro fatto dalla forza meccanica

• Uguagliando

• Calcoliamo adesso la forza nel caso in cui la differenza di potenziale fra le armature sia costante

• Un approccio superficiale porterebbe a un risultato errato

• Utilizzando l'approccio precedente l'energia del condensatore sarebbe

• Uguagliando

• Ha il segno opposto !! SBAGLIATO

1 2

2 dU Q dz

= C L dW = −F dze

2 e

1 2 F dz Q dz

− = C L _e 1 ² 1

2 F Q

= − C L diretta verso il basso le armature si attraggono

1 2

U = 2CV 1 ²

dU = 2V dC ⁰A

C L

= ε ⁰A dz

dC L L

= −ε dz

C L

= −

e 2

1 2 F dz V C dz

− = − L _e 1 ² 1

F 2V C

= L 1 ^{2 2} 1 1 2V C

= C L 1 ² 1

2 Q

= C L

Forza fra le armature

• Naturalmente non è possibile che scollegando (o collegando) il condensatore a un generatore la forza cambi segno

• L'errore sta nel non aver considerato tutto il lavoro fatto per allontanare l'armatura di dz

• Infatti se vogliamo mantenere costante la tensione dobbiamo far variare la carica sulle armature

• Se la capacità cambia di dC (positivo o negativo) la carica sulle armature deve cambiare di conseguenza: dQ = VdC

• Per trasportare una carica dQ sulle armature il generatore G compie un lavoro

• Il bilancio energetico corretto è pertanto

• Ricordiamo che

• In accordo con il primo calcolo

dWG =VdQ =V dC²

m G

dW +dW = dU _e ² 1 ²

F dz V dC 2V dC

− + = _e 1 ²

F dz 2V dC

− = −

dC C dz

= − L _e 1 ²

2 F dz CV dz

− = L 1 ²

2

Q dz

= C L _e 1 ² 1

2 F Q

= − C L

Forza sulle armature

• Consideriamo un altro problema con condensatore a facce parallele

• Supponiamo che le armature siano fissate in modo che la loro distanza non possa variare

• Inoltre l'armatura superiore può muoversi orizzontalmente mentre quella inferiore è fissa

• Supponiamo infine che l'armatura superiore sia spostata verso destra

• Vogliamo adesso mostrare che se sul condensatore c'è una carica Q sull'armatura superiore si esercita una forza da destra verso sinistra

• Sia x la lunghezza della regione di sovrapposizione

• Trascurando gli effetti di bordo, le cariche Q e −Q sulle due armature si dispongono solo nella parte di sovrapposizione delle due armature

• Infatti la carica negativa a sinistra sarebbe attratta verso destra dalle cariche positive in alto

• La carica positiva a destra, analogamente, sarebbe attratta verso sinistra

• Di fatto si tratta di un condensatore di capacità variabile

x

A = L x⋅ ^{C x}

( )

d ε ⋅

= =

F

Condensatori variabili

• I condensatori variabili erano utilizzati nel sistema di sintonia delle vecchie radio

• Servivano per generare un segnale sinusoidale di frequenza variabile

• Oggi si utilizzano circuiti digitali per la sintesi di onde sinusoidali

• Una radio ancora più vecchia … a valvole

Forza sulle armature

• Scriviamo l'energia del condensatore in funzione della carica

• Consideriamo costante la carica

• Facciamo variare la lunghezza di dx

• L'energia varia a sua volta

• Se dx è positivo la regione di sovrapposizione cresce

• La capacità aumenta

• La derivata di 1/C è negativa

• L'energia diminuisce

• Se l'energia del sistema diminuisce significa che il sistema sta facendo lavoro contro una forza che bilancia F

• Abbiamo pertanto

x F

1 2

2 U Q

= C

( )

C x kx

d ε ⋅

= =

dU dU dx

= dx 1 ² 1

2

Q d dx dx C

⎛ ⎞⎟⎜

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎟ Fm = −F

dU Fdx

− = 1 ² 1

2

Q d dx dx C

⎛ ⎞⎟⎜

= − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎟

1 2 1 2

F Q d

dx C

⎛ ⎞⎟⎜

= − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎟

Forza sulle armature

• Cosa succede se invece di mantenere costante la carica manteniamo costante la differenza di potenziale V?

• La manteniamo costante con una batteria

• In questo caso scriviamo l'energia come

• Se variamo la sovrapposizione di dx

• Vediamo che questa volta, se dx è positivo, l'energia aumenta

• Vedremo fra breve che l'energia è fornita dalla batteria

• La carica deve aumentare

• Infatti se C aumenta e V rimane costante, Q aumenta (Q = CV)

• La batteria trasporta carica dall'armatura inferiore a quella superiore

• Nel fare questo compie un lavoro dW = V dQ

• La carica necessaria per un aumento di capacità dC è dQ = V dC

• Pertanto il lavoro fatto dalla batteria è

Notiamo che è il doppio di quanto è aumentata l'energia del condensatore x

F

( )

C x kx

d ε ⋅

= =

1 2

U = 2CV

dU dU dx

= dx 1 ² 2

V dC dx

= dx

dU =VdQ =VVdC ²dC V dx

= dx

dC 0 dx

⎛ ⎞⎟

⎜ > ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

Forza sulle armature

dU = Fdx 1 ² 2

V dC dx

= dx 1 ²

2 F V dC

= dx ^{2 2}

2

1 2

V C dC C dx

= 1 ² 1

2 Q d

= − dx C

• L'energia in eccesso viene spesa in lavoro contro la forza esterna

• Come nel caso precedente uguagliamo il lavoro contro la forza esterna con la energia in eccesso fornita dalla batteria

• Un'ultima osservazione

• Se il campo elettrico è perpendicolare alle armature chi fornisce la forza orizzontale?

• In realtà non è vero che il campo sia sempre perpendicolare

• Per comprendere l'origine fisica della forza sono essenziali gli effetti ai bordi

• Tuttavia gli effetti ai bordi non influenzano significativamente l'energia del condensatore

• Almeno fino a quando l'armatura superiore è lontana dalla posizione di equilibrio

• È comunque interessante notare che nel calcolo fatto trascuriamo gli

effetti ai bordi