Esercizi di Metodi Statistici per la Biologia Francesco Caravenna

Esercizi di Metodi Statistici per la Biologia Francesco Caravenna

Foglio 5. (28 maggio–1 giugno 2007)

Esercizio 1. Usando le tavole, si calcolino z_α, χ²_α,n e t_α,n per diversi valori di α ∈ (0, 1) e n ∈ N.

Esercizio 2. Abbiamo un campione di dati x1, x2, . . . , x50 estratti da una dis- tribuzione Normale di media incognita µ e varianza nota σ² = 3. Sapendo che la media empirica del campione vale x = 6.35, si determinino gli intervalli di confidenza bilateri al 95% e al 99% per µ. [Intervallo al 95%: 6.35 ± z0.025

√

√3

50 → (5.87, 6.83), Intervallo al 99%: 6.35 ± z_0.005

√3

√

50 → (5.72, 6.98)]

Esercizio 3. Negli ultimi due mesi sono stati venduti in una certa zona di Padova 18 bilocali. Si sa che i prezzi di vendita hanno media campionaria pari a 103000AC e deviazione standard campionaria pari a 9000AC.

a) Si determinino gli intervalli di confidenza bilatero, unilatero sinistro e unilatero destro al 95% per il valore medio del prezzo. [bilatero: 103000 ± 2.1098^9000√₁₈ = 103000 ± 4476 → (98524, 107476); unilatero destro: 103000 − 1.7396^9000√

18 = 103000−3690 → (99310, ∞); unilatero sinistro: 103000+1.7396^9000√

18 = 103000+

3690 → (−∞, 106690)]

b) Si determini l’intervallo di confidenza bilatero al 95% per la varianza del prezzo.

[σ² ∈ (^17·(9000)_30.191 ²,^17·(9000)_7.564 ²) = (45609619, 182046536) cio`e σ ∈ (6753, 13492)]

Esercizio 4. Un sondaggio su 100 famiglie italiane rivela che 31 tra loro passano il sabato sera davanti alla TV.

a) Si determini l’intervallo di confidenza bilatero al 99% per la probabilit`a che una famiglia scelta a caso passi il sabato sera davanti alla TV. [0.31±2.576

√0.31·0.69√

100 =

0.31 ± 0.12 → (0.19, 0.43)]

b) Si determini quanto grande deve essere il campione perch´e l’ampiezza dell’in- tervallo di confidenza al 99% sia minore di 0.04. [2 · ^z₂^0.005√_n < 0.04 cio`e n >

(^2.576_·0.04)² = 4147.36 cio`e n ≥ 4148]

1

2

Esercizio 5. Si misura la concentrazione nel sangue di una certa sostanza in un gruppo di 50 individui, ottenendo un valore medio x = 6.35 (espresso in opportune unit`a di misura). Si assuma che la concentrazione di questa sostanza segua una distribuzione Normale di media incognita µ e varianza nota σ² = 3.

a) Si effettui un test al 5% e all’1% sull’ipotesi H₀ : µ = 6.9. [Test al 5%: rifiuto H₀ se |z| = |_σ/^x−µ√_n⁰| > z_0.025. Dato che |z| = |_1.73/7.07^6.35−6.9| = 2.25 e z_0.025 = 1.96, H₀

`e rifiutata. Test all’1%: dato che z<sub>0.005</sub>= 2.576, H<sub>0</sub> `e accettata.]

b) Si determini il p–value del test per l’ipotesi H₀ : µ = 6.9. [1 − α/2 = Φ(2.25) ≈ 0.988 da cui α = 0.024]

c) Si effettui un test all’1% sull’ipotesi H₀ : µ ≥ 6.9. [Rifiuto H₀ se z = _σ/^x−µ√_n⁰ <

−z_0.01. Dato che z = _1.73/7.07^6.35−6.9 = −2.25 e −z_0.01= −2.326, H₀ `e accettata]

d) Si determini il p–value del test per l’ipotesi H₀ : µ ≥ 6.9. [α = Φ(−2.25) ≈ 0.012]

Esercizio 6. Un laboratorio farmaceutico sta elaborando un farmaco che dovrebbe ridurre la frequenza cardiaca a riposo di almeno 4 battiti al minuto. Per testarne l’effetto, viene somministrato il farmaco a un gruppo di 25 volontari. Per ciascun volontario, si misura la diminuzione di frequenza cardiaca: la media e la deviazione standard empirica di tali dati (espressi in battiti al minuto) sono x = 5.3 e s = 4.8.

a) Da questi dati si pu`o inferire che il farmaco abbia avuto l’effetto previsto?

(Effettuare un test al 5%) [H₀ : µ ≤ 4; Rifiuto H₀ se t = ^x−µ_s/^√_n⁰ > t_0.05,24; dato che t = 1.354 e t_0.05,24 = 1.71, H₀ `e accettata]

b) Si determini l’intervallo di confidenza unilatero destro al 95% per il valore atteso della diminuzione di frequenza cardiaca. [(x − t_0.05^√s_n, ∞) = (5.3 − 1.71^4.8₅ , ∞) = (3.658, ∞)]