Esercizi di Metodi Statistici per la Biologia Francesco Caravenna

Esercizi di Metodi Statistici per la Biologia Francesco Caravenna

Foglio 5. (11–15 febbraio 2008)

Esercizio 1. La durata delle lampadine di una certa marca segue approssimati- vamente una distribuzione normale con media µ = 900 giorni e varianza σ² = 40000 (giorni)².

a) Qual `e la probabilit`a che una lampadina scelta a caso duri meno di 1210 giorni?

[Φ(310/200) = Φ(1.55) ≈ 0.94]

b) Qual `e la probabilit`a che una lampadina scelta a caso duri pi`u di 3 anni (3·365 = 1095)? [1 − Φ(195/200) = 1 − Φ(0.975) ≈ 1 − 0.83 = 0.17]

c) Qual `e la probabilit`a che una lampadina scelta a caso duri tra 1 e 2 anni (2 · 365 = 730)? [Φ(−170/200) − Φ(−535/200) = Φ(−0.85) − Φ(−2.675) = Φ(2.675) − Φ(0.85) ≈ 0.996 − 0.802 = 0.194]

Esercizio 2. Il consumo energetico giornaliero di un’abitazione `e una variabile ca- suale con media 13 kWh e varianza 9 kWh<sup>2</sup>. Una centrale che fornisce energia elettri- ca a un complesso di 2000 abitazioni ha una disponibilit`a energetica di 26415 kWh al giorno. Qual `e la probabilit`a che domani ci sia un blackout, cio`e che la richie- sta di energia superi la disponibilit`a? [P (N (26000, 18000) > 26415) = P N (0, 1) >

26415−26000

134.16
= 1 − Φ(3.09) ≈ 0.001]

Esercizio 3. Il numero di telefonate giornaliere effettuate a Padova in cui il numero di telefono viene composto in modo errato si pu`o descrivere con una variabile di Poisson di media 17.5. Qual `e la probabilit`a che in un mese (30 giorni) i numeri di telefono composti in modo errato siano pi`u di 500? (Si usi l’approssimazione normale e la correzione di continuit`a) [P (Po(525) > 500) = P (Po(525) > 500.5) = P Po(525)−525√

525 > −1.07
≈ 1 − Φ(−1.07) = Φ(1.07) ≈ 0.858]

Esercizio 4. `E indetto un referendum in una popolazione in cui gli aventi diritto al voto sono 30 milioni. Supponiamo che ciascun avente diritto, indipendentemente da- gli altri, si rechi a votare con probabilit`a p = 0.48. Qual `e la probabilit`a di superare il quorum? [P (B(3 · 10⁶, 0.48) > 1.5 · 10⁶) = P (^B(3·10√⁶,0.48)−0.48·3·10⁶

0.48·0.52·3·10⁶ > ^{1.5·10√ 6−0.48·3·106}

0.48·0.52·3·10⁶ ) ≈ P (N (0, 1) > 69.34) ≈ 0]

Esercizio 5. Sia X₁, X₂, . . . una successione di variabili casuali i.i.d. con distribu- zione Po(λ). Per quale valore di a ∈ R la statistica

X₁+ X₂+ . . . + X_n− n · λ a ·√

n ,

`

e, per n grande, approssimativamente Normale Standard? [a =√ λ]

1

2

Esercizio 6. Usando le tavole, si calcolino zα, χ²_α,n e tα,n per diversi valori di α ∈ (0, 1) e n ∈ N.