Esercizi di Metodi Statistici per la Biologia Francesco Caravenna

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Esercizi di Metodi Statistici per la Biologia Francesco Caravenna

Foglio 1. (7–11 maggio 2007)

Esercizio 1. Si considerino i seguenti dati relativi agli incidenti aerei per voli com- merciali avvenuti negli USA nel periodo 1991-95:

Anno x = numero di incidenti y = numero di vittime

91 4 62

92 4 33

93 1 1

94 4 239

95 2 166

Per il campione x si determinino media, mediana, quartili, varianza, deviazione standard e differenza interquartile. Infine si determini il coefficiente di correlazione tra i campioni x e y.

Esercizio 2. Si determinino i quartili e si disegni il box plot per i seguenti dati:

1, 7, 0, 7, 9, 5.

Esercizio 3. Si determinini il coefficiente di correlazione per il seguente campione di dati:

x y

0 2

1 1.5 5 -0.5 6 -1

Esercizio 4. Si considerino i seguenti dati: 1, 3, 3, 8, z (il valore di z `e incognito).

a) Al variare di z ∈ R, quali valori pu`o assumere la mediana Q2?

b) Se invece i dati fossero 1, 3, 4, 8, z, quali valori potrebbe assumere Q₂? Esercizio 5. Un campione di dati x1, . . . , xn `e tale che x = 0. Le seguenti affermazioni sono vere o false?

a) Esiste almeno un dato x_i tale che x_i > 0.

b) Esiste almeno un dato x_i tale che x_i ≥ 0.

c) Q₂ = 0.

d) Q₁ ≤ 0.

1

(2)

2

Esercizio 6. Un campione di dati x1, . . . , xn `e tale che s²_x = 0. Le seguenti affermazioni sono vere o false?

a) x = 0.

b) Q₁ = Q₂.

Esercizio 7. Un campione di dati x₁, . . . , x_n `e tale che Q₁ = Q₃ = 2.5. Le seguenti affermazioni sono vere o false?

a) Q₂ = 2.5.

b) x = 2.5.

c) Tutti i dati sono uguali a 2.5.

d) I dati che valgono 2.5 sono pi`u del 40%.

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3

Soluzione 1. Per la variabile x si ha:

• x = ^4+4+1+4+2₅ = ¹⁵₅ = 3.

• Q₁ = 2, Q₂ = 4, Q₃ = 4.

• s²_x = ¹²⁺¹²⁺⁽⁻²⁾₄²⁺¹²⁺⁽⁻¹⁾² = 2.

• s_x =ps²_x =√

2 ' 1.41

• Q₃− Q₁ = 2 Per la variabile y:

• y = 62+33+1+239+166

5 = ⁵⁰¹₅ = 100.2.

• s²_y = ^(−38.2)²^+(−67.2)²^+(−99.2)₄ ²^+(138.8)²^+(65.8)² = 9852.7.

• s_y =√

9852.7 ' 99.26

Quindi il coefficiente di correlazione vale r =

1 n−1

Pn

i=1(x_i− x)(y_i− y)

s_x· s_y =

1

4(−38.2 − 67.2 + 2 · 99.2 + 138.8 − 65.8)

1.41 · 99.26 ' 0.30.

Dunque x e y manifestano una debole correlazione positiva.

Soluzione 2. Mettendo i dati in ordine crescente: 0, 1, 5, 7, 7, 9 si ricava facilmente che Q₁ = 1, Q₂ = ⁵⁺⁷₂ = 6, Q₃ = 7.

Soluzione 3. Una risposta veloce si ha notando che i dati giacciono lungo la retta y = −x/2 + 2, per cui si ha r = −1 (il coefficiente angolare della retta `e negativo).

Altrimenti si pu`o procedere col calcolo diretto:

• x = ^0+1+5+6₄ = ¹²₄ = 3

• y = 2+1.5−0.5−1

4 = ²₄ = 0.5

• s²_x = ⁽⁻³⁾²⁺⁽⁻²⁾₃ ²⁺²²⁺³² = ²⁶₃

• s²_y = ^(1.5)²⁺¹²⁺⁽⁻¹⁾₃ ²^+(−1.5)² = ²⁶₁₂ da cui

r = −3 · 1.5 + (−2) + 2 · (−1) + 3 · (−1.5) 3 ·

q26 3

q26 12

= −1 .

Soluzione 4. a) Indipendentemente dal valore di z, il terzo dato in ordine crescente

`

e sempre 3, per cui Q2 = 3.

b) In questo caso si ha che

Q₂ =







3 se z ≤ 3 x se 3 < z < 4 4 se z ≥ 4

.

Soluzione 5. a) F b) V c) F d) F.

(4)

4

Soluzione 6. a) F b) V.

Soluzione 7. a) V b) F c) F d) V.