Esercizi di Metodi Statistici per la Biologia Francesco Caravenna
Foglio 4. (4–8 febbraio 2008)
Esercizio 1. In ogni estrazione del Lotto sulla ruota di Venezia vengono scelti 5 numeri a caso tra 1 e 90. Si indichi con T il numero di estrazioni che occorre attendere prima che esca il numero 79 sulla ruota di Venezia.
a) Come `e distribuita la variabile casuale T ? [T ∼ Ge(1/18)]
b) Si esprima in termini di T e si calcoli la probabilit`a che nelle prossime 27 estra- zioni della ruota di Venezia non esca mai il numero 79? [p = 894/ 905
= 5/90 = 1/18; P (T > 27) = (1 − 1/18)27 = (1718)27 ≈ 0.21 – si noti che P (Po(1.5) = 0) = e−1.5 ≈ 0.22]
Esercizio 2. Si sa che i libri prodotti da una certa casa editrice contengono in media 5 pagine con refusi. Qual `e la probabilit`a che, scelto un libro a caso, questo contenga al pi`u una pagina con refusi? [P (Po(5) ≤ 1) = e−5(1 + 5) ≈ 0.0404 – si noti che P (B(100, 1/20) ≤ 1) ≈ 0.037]
Esercizio 3. In una fabbrica di circuiti stampati vengono prodotti 10000 pezzi al giorno. Si sa che ciascun pezzo ha probabilit`a 1/2500 di essere guasto.
a) Qual `e la probabilit`a che domani vengano prodotti al pi`u 2 pezzi difettosi?
[P (B(10000, 1/2500) ∈ {0, 1, 2}) ≈ 0.2380]
b) Come cambierebbe la risposta al punto precedente, se l’unica informazione sulla fabbrica fosse stata che ogni giorno vengono prodotti in media 4 pezzi guasti? [P (Po(4) ∈ {0, 1, 2}) ≈ 0.2381]
Esercizio 4. Un generatore di numeri casuali produce numeri che sono distribuiti
“uniformemente nell’intervallo [0, 2]”. Indichiamo con X la variabile casuale che corrisponde a uno dei numeri prodotti. Allora X `e una variabile casuale continua, detta Uniforme su [0, 1], la cui densit`a data da
fX(x) =
(c se 0 ≤ x ≤ 2 0 altrimenti , dove c `e un’opportuna costante.
a) Si determini il valore di c e si calcolino E(X) e Var(X). [c = 12, E(X) = R2
0 x · 12dx = 1, E(X2) =R2
0 x2 12dx = 43, Var(X) = E(X2) − E(X)2 = 13] b) Si mostri che la funzione di ripartizione vale F (t) = 2t per t ∈ [0, 2]. [Rt
0 1
2dx = 2t] Esercizio 5. Sia Z una variabile normale standard. Quanto valgono P (Z ≤ 1.55), P (Z > −0.87), P (−0.3 ≤ Z ≤ 1.27)? [0.93942; 0.80785; 0.51587]
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