Esercizi di Metodi Statistici per la Biologia Francesco Caravenna
Foglio 2. (7–11 maggio 2007)
Richiamo delle formule pi`u importanti:
• Formule basilari :
P (E ∪ F ) = P (E) + P (F ) − P (E ∩ F ) P (Ec) = 1 − P (E)
• Formula delle probabilit`a totali :
P (E) = P (E|F )P (F ) + P (E|Fc)P (Fc)
• Formula di Bayes:
P (F |E) = P (E|F )P (F )
P (E) = P (E|F )P (F )
P (E|F )P (F ) + P (E|Fc)P (Fc)
Esercizio 1. Si lanciano due dadi regolari a sei facce. Per tutti i valori di i ∈ {1, . . . , 6} si calcoli il valore della probabilit`a condizionata
P (il primo dado d`a come risultato i | la somma dei due dadi vale 9) . [0 per i ∈ {1, 2} e 14 per i ∈ {3, 4, 5, 6}]
Esercizio 2. Si lancia per due volte una moneta equilibrata. Si considerino gli eventi A := “nel primo lancio esce testa” B := “nel secondo lancio esce testa”
C := “nei due lanci, presi insieme, esce esattamente una testa” . Naturalmente gli eventi A e B sono indipendenti.
a) Si dimostri che gli eventi A e C sono indipendenti, cos`ı come anche gli eventi B e C.
b) Si dimostri che i tre eventi {A, B, C} non sono indipendenti.
Esercizio 3. Si lanciano due dadi regolari a sei facce.
a) Si dimostri che gli eventi A := “il primo dado d`a come risultato 2” e B := “la somma dei due dadi vale 7” sono indipendenti.
b) Si dimostri che gli eventi A := “il primo dado d`a come risultato 2” e B := “la somma dei due dadi vale 5” non sono indipendenti.
c) Si mostri che entrambe le precedenti affermazioni restano vere se, nella definizione dell’evento A, si sostituisce il valore 2 con qualunque altro valore i ∈ {1, . . . , 6}.
Esercizio 4. Dati tre eventi indipendenti A, B, C tali che P (A) = 12, P (B) = 13 e P (C) = 14, si calcoli il valore di P (A ∩ (B ∪ C)). [14]
Suggerimento: si usi la formula A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
1
2
Esercizio 5. Una coppia ha due figli(e). Assumiamo che il sesso dei due figli possa essere descritto dallo spazio campionario S = {(M M ), (M F ), (F M ), (F F )} (dove (ab) indica che il primogenito `e di sesso a e il secondogenito di sesso b) munito della probabilit`a uniforme, cio`e P (M M ) = P (M F ) = P (F M ) = P (F F ) = 14.
a) Se sappiamo che il primogenito `e maschio, qual `e la probabilit`a che il secondo- genito sia maschio? [12]
b) Se sappiamo che il secondogenito `e maschio, qual `e la probabilit`a che il primo- genito sia maschio? [12]
c) Se sappiamo che almeno un figlio `e maschio, qual `e la probabilit`a che anche l’altro sia maschio? [13]
Esercizio 6 (Paradosso di Monty Hall). Vi propongo di scegliere tra tre buste chiuse, una delle quali contiene un premio mentre le altre due sono vuote. Una volta effettuata la scelta, io guardo di nascosto il contenuto delle due buste rimaste e ve ne mostro una vuota (tra le mie due buste ce n’`e almeno una vuota, dunque lo posso sempre fare). A questo punto vi propongo di cambiare la busta che avete scelto con quella che mi `e rimasta in mano. Vi conviene cambiare? [S`ı, la prob. 13 → 23]
Esercizio 7. Da un mazzo di 52 carte da poker si estraggono a caso una dopo l’altra 5 carte.
a) Qual `e la probabilit`a di fare colore, cio`e che tutte e cinque le carte siano dello stesso seme (5 cuori, oppure 5 quadri, ecc.)? [4 · 135/ 525 ≈ 0.00198]
b) Qual `e la probabilit`a di fare poker, cio`e che tra le 5 carte ce ne siano 4 dello stesso tipo (4 assi, oppure 4 re, ecc.)? [13 · 48/ 525 ≈ 0.00024]
Esercizio 8. Viene effettuato uno screening test a un individuo per rivelare la presenza di una malattia. Definiamo gli eventi
A := “l’individuo risulta positivo allo screening test ” B := “l’individuo `e affetto dalla malattia” . La sensibilit`a del test `e definita dai valori
P (A|B) = 0.96 P (A|Bc) = 0.02 .
Indichiamo col parametro p ∈ (0, 1) l’incidenza della malattia nella popolazione, cio`e la frazione di persone affette dalla malattia, per cui vale p = P (B).
Si determinino le probabilit`a condizionate P (B|A) e P (B|Ac) (che descrivono la preddittivit`a del test) in funzione di p e se ne calcoli il valore per p = 4%, p = 0.4%
e p = 0.04%. [0.96p/(0.94p + 0.02) → 66.7%, 16.1%, 1.9%]
Esercizio 9. Ho due monete distinte, che indico con α e β. La moneta α `e regolare, mentre la moneta β `e “truccata”: la probabilit`a di ottenere testa vale 0.7. Scelgo una delle due monete a caso e la lancio.
a) Qual `e la probabilit`a di ottenere testa? [0.6]
b) Se ottengo testa, qual `e la probabilit`a che la moneta lanciata sia stata α? [0.42]
