Esercizi di Metodi Statistici per la Biologia Francesco Caravenna
Foglio 6. (18–22 febbraio 2008)
Esercizio 1. Si sa che i chiodi prodotti da una certa ditta hanno lunghezza dis- tribuita in modo Normale con media incognita µ e varianza nota σ2 = 3 mm2. Si misura un campione di 50 chiodi, ottenendo una media empirica pari a x = 26.35 mm. Si determinino gli intervalli di confidenza bilateri al 95% e al 99% per µ. [Intervallo al 95%: 26.35 ± z0.025
√3
√
50 → (25.87, 26.83), Intervallo al 99%: 26.35 ± z0.005
√
√3
50 → (25.72, 26.98)]
Esercizio 2. Da una misurazione dei leucociti per mm3 presenti nel sangue di 18 individui di una determinata popolazione si ottiene una media campionaria pari a x = 8300 e una deviazione standard campionaria pari a 3000.
a) Si determinino gli intervalli di confidenza bilatero, unilatero sinistro e unilatero destro al 95% per il livello dei leucociti nella popolazione in esame. [bilatero:
8300 ± 2.10983000√
18 = 8300 ± 1492 → (6808, 9792); unilatero destro: 8300 − 1.73963000√
18 = 8300 − 1230 → (7070, ∞); unilatero sinistro: 8300 + 1.73963000√
18 = 8300 + 1230 → (−∞, 9530)]
b) Si determini l’intervallo di confidenza bilatero al 95% per la varianza del prezzo.
[σ2 ∈ (17·(3000)30.191 2,17·(3000)7.564 2) = (5067735, 20227393) cio`e σ ∈ (2251, 4497)]
Esercizio 3. Un sondaggio su 100 famiglie italiane rivela che 31 tra loro passano il sabato sera davanti alla TV.
a) Si determini l’intervallo di confidenza bilatero al 99% per la probabilit`a che una famiglia scelta a caso passi il sabato sera davanti alla TV. [0.31±2.576
√0.31·0.69√
100 =
0.31 ± 0.12 → (0.19, 0.43)]
b) Si determini quanto grande deve essere il campione perch´e l’ampiezza dell’in- tervallo di confidenza al 99% sia minore di 0.04. [2 · z20.005√n < 0.04 cio`e n >
(2.576·0.04)2 = 4147.36 cio`e n ≥ 4148]
Esercizio 4. Si misura la concentrazione nell’aria di una certa sostanza in 50 punti diversi di una citt`a, ottenendo un valore medio x = 6.35 (espresso in opportune unit`a di misura). Si assuma che la concentrazione di questa sostanza segua una distribuzione Normale di media incognita µ e varianza nota σ2 = 3.
a) Si effettui un test al 5% e all’1% sull’ipotesi H0 : µ = 6.9, e di determini il p- value. [Test al 5%: rifiuto H0 se |z| = |σ/x−µ√n0| > z0.025. Dato che |z| = |1.73/7.076.35−6.9| = 2.25 e z0.025 = 1.96, H0 `e rifiutata. Test all’1%: dato che z0.005 = 2.576, H0 `e accettata. p-value: 1 − α/2 = Φ(2.25) ≈ 0.988 da cui α = 0.024]
1
