3. Esercizi di Geometria 2

3. Esercizi di Geometria 2

(Semestre Estivo 2019)

Prof. Matteo Penegini Prof. Arvid Perego

Esercizio 1. In R³ con la topologia euclidea e coordinate {x, y, z} di consideri la sfera S di raggio 1 e centro (0, 0, 0). Sia C_n la circonferenza ottenuta tagliando S con il piano x + n · z = 0 con n = 1, 2, 3. Si consideri la semiciconferenza V ottenuta tagliando S con il piano z = 0 e tale che x ≥ 0.

(1) Si calcoli il gruppo fondamentale di A₁ := C₁ ∪ V.

(2) Esiste un k tale che A₁ sia omeomorfo ad un bouquet di k circonferenze?

(3) Si calcoli il gruppo fondamentale di A := V ∪

3

[

n=1

C_n.

(4) Sia π : S −→ P²_R la proiezione naturale. Si calcoli il gruppo fondamentale di π(A).

Esercizio 2. Provare che la somma connessa di due tori T₁]T₂ privata di un punto P `e omotopicamente equivalente a S¹∪ S¹∪ S¹∪ S¹

Suggerimento: si veda T₁]T₂ come quoziente di un ottagono con un’opportuna identificazione dei lati e si provi che esistono quattro circonferenze C₁, . . . , C₄, aventi un solo punto in comune, tale che C₁ ∪ C₂ ∪ C₃ ∪ C₄ `e un retratto di deformazione di T₁]T₂ .

Esercizio 3. Sia p : E → X un rivestimento. Provare che se E `e compatto e X

`

e T₁ allora il rivestimento ha grado finito.

Esercizio 4. Provare che la mappa

p : R × (0, +∞) → R²\ (0, 0), P (x, t) = t(cos(2πx), sin(2πx))

`

e un rivestimento.

Esercizio 5. Sia E → X un rivestimento. Provare che:^p (1) Se X `e di Hausdorff allora E `e di Hausdorff.

(2) Se X `e una variet`a di dimensione n allora E `e una variet`a di dimensione n.

(3) Se E `e una variet`a di dimensione n e X `e di Hausdorff allora X `e una variet`a di dimensione n.

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