3. Esercizi di Geometria 2
(Semestre Estivo 2018)
Dr. Matteo Penegini Prof. Arvid Perego
Esercizio 1. Identificare con gruppi conosciuti i gruppi dati dalle presentazioni seguenti:
< x, y|x2, y2 >,
< x, y, x|x2 = y, y2 = z >,
< x1, x2, x3|x31, x22, x23, x−11 x2x1 = x3, x−11 x3x1 = x2x3 > .
Esercizio 2. Dimostrare che il complementare di un insieme finito in Rn`e sem- plicemente connesso per n ≥ 3.
Esercizio 3. Sia X uno spazio di Hausdorff e A ⊂ X. Provare che se A `e un retratto di X allora A `e chiuso.
Esercizio 4. Provare che la somma connessa di due tori T1]T2 privata di un punto P `e omotopicamente equivalente a S1∪ S1∪ S1∪ S1
Suggerimento: si veda T1]T2 come quoziente di un ottagono con un?opportuna identificazione dei lati e si provi che esistono quattro circonferenze C1, . . . , C4, aventi un solo punto in comune, tale che C1 ∪ C2 ∪ C3 ∪ C4 `e un retratto di deformazione di T1]T2 .
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