1.1 Serie numeriche

Tutorato di Analisi 2 - AA 2014/15

Emanuele Fabbiani 23 marzo 2015

1 Serie

1.1 Serie numeriche

Stabilire se le seguenti serie sono convergenti, motivando la risposta. In caso questa sia aermativa, stabilire la somma.

1. +∞

X

k=1

4 1 3

k−1

Si osserva che si può ricostruire la serie geometrica mediante la sostituzione n = k − 1:

+∞

X

k=1

4 1 3

^k−1

= 4

+∞

X

n+1=1

 1 3

ⁿ

= 4

+∞

X

n=0

 1 3

ⁿ

(1.1)

Ricordando che la serie geometrica con ragione q tale che |q| < 1 converge a _1−q¹ ,

4

+∞

X

n=0

 1 3

n

= 4 1

1 − ¹₃ = 4 · 3

3 − 1 = 6 (1.2)

2. +∞

X

k=1

2k k + 5

Si verica la condizione necessaria di convergenza delle serie numeriche:

k→+∞lim an= lim

k→+∞

2k

k + 5 = 2 6= 0 (1.3)

La condizione non è vericata: la serie diverge a +∞, poiché si continuano a sommare termini positivi.

3. +∞

X

k=0

tan k

Si verica la condizione necessaria di convergenza delle serie numeriche:

lim

k→+∞a_n= lim

k→+∞tan k = non esiste 6= 0 (1.4)

La condizione non è vericata: la serie non converge - e non si può aggiungere altro.

4. +∞

X

k=0

3^k+ 2^k 6^k

E quindi dividere la serie in due:

+∞

X

k=0

 3^k 6^k +2^k

6^k



=

+∞

X

k=0

3^k 6^k +

+∞

X

k=0

2^k 6^k =

+∞

X

k=0

 3 6

^k +

+∞

X

k=0

 2 6

^k

(1.6)

Sono due serie geometriche con |q| < 1, quindi:

+∞

X

k=0

 3 6

^k +

+∞

X

k=0

 2 6

^k

=

+∞

X

k=0

 1 2

^k +

+∞

X

k=0

 1 3

^k

= 1

1 − ¹₂ + 1 1 − ¹₃ =7

2 (1.7)

1.2 Somma di una serie

Stabilire per quale valore di c ∈ R è vericata la seguente uguaglianza:

+∞

X

k=2

(1 + c)^−k= 2 La serie è geometrica:

+∞

X

k=2

(1 + c)^−k=

+∞

X

k=2

 1 1 + c

^k

(1.8) Questa converge solo se |q| < 1, quindi:

1 1 + c

< 1 (1.9)

|1 + c| > 1 (1.10)

(1 + c)²> 1 (1.11)

c²+ 2c > 0 (1.12)

c < −2 ∨ c > 0 (1.13)

Il problema consiste nel fatto che la formula canonica della somma della serie geometrica richiede che questa parta da zero. Occorre quindi osservare che la serie con primo indice 2 è equivalente alla stessa serie che parte da 0 alla quale vengono sottratti i primi due termini.

+∞

X

k=2

 1 1 + c

^k

=

+∞

X

k=0

 1 1 + c

^k

−

 1 1 + c

¹

−

 1 1 + c

⁰

(1.14)

Utilizzando ora la formula della serie geometrica:

+∞

X

k=0

 1 1 + c

^k

−

 1 1 + c

¹

−

 1 1 + c

⁰

= 1

1 − _1+c¹ − 1

1 + c− 1 = 1

c (1 + c) (1.15)

Imponendo che questa sia uguale a 2:

1

c (1 + c) = 2 (1.16)

2c²+ 2c − 1 = 0 (1.17)

c = 1 ±√ 3

2 (1.18)

Ricordando la condizione di convergenza, si conclude che l'unico valore accettabile è c = ¹⁺₂^√3.

1.3 Criteri di convergenza

Stabilire il carattere delle seguenti serie:

1. +∞

X

k=0

3 2k²+ 1 Criterio del CONFRONTO ASINTOTICO:

3

2k²+ 1 ∼ 3 2k² ∼ 1

k² (1.19)

Dal momento che la serie armonica generalizzata P_k¹α converge se α > 1, la serie converge.

2. +∞

X

k=2

2^k k⁵− 4 CONDIZIONE NECESSARIA DI CONVERGENZA:

lim

k→+∞a_k = lim

k→+∞

2^k

k⁵− 4 = +∞ (1.20)

Per le gerarchie degli inniti. La serie diverge.

3. +∞

X

k=1

k sin 2 k²



Criterio del CONFRONTO ASINTOTICO: per gli sviluppi di McLaurin, sin x ∼ x per x → 0. Nella serie considerata l'argomento del seno tende a zero, quindi la formula è valida.

k sin 2 k²



∼ k · 2 k² ∼ 2

k ∼ 1

k (1.21)

La serie armonica diverge, quindi diverge pure la serie in esame.

4. +∞

X

k=1

ln k k

Criterio del CONFRONTO: ln k > 1 per k > 3, quindi ^{ln k}_k > ¹_k denitivamente. Dal momento che la serie armonica diverge, anche quella in esame ha lo stesso comportamento.

5. +∞

X

k=1

1 e^k− 1 Criterio del RAPPORTO:

lim

k→+∞

ak+1

a_k = lim

k→+∞

1 e^k+1−1

1 e^k−1

= lim

k→+∞

e^k− 1 e^k+1− 1 = 1

e < 1 (1.22)

Quindi la serie converge

6. +∞

X

k=1

 1 − 1

k

k²

Criterio della RADICE:

7. +∞

X

k=2

1 k · ln k

Criterio INTEGRALE: per accertarsi che la funzione f (x) = _{x ln(x)}¹ sia decrescente nell'intervallo [2; +∞]

si studia la sua derivata:

f⁰(x) = − ln x − 1

(x ln (x))² (1.24)

La funzione è decrescente in

− ln x − 1 < 0 (1.25)

ln x > −1 (1.26)

x > e⁻¹ (1.27)

Quindi in tutto l'intervallo di integrazione. Si può ora risolvere l'integrale improprio:

ˆ +∞

2

1

x ln (x)dx = ˆ +∞

2

1

x ln (x)dx = [ln (ln x)]^+∞₂ = +∞ (1.28) La serie conserva lo stesso carattere dell'integrale, di conseguenza diverge.

8. +∞

X

k=1

(−1)^k ln k k

La serie è a segni alterni: criterio di LEIBNIZ. Si vericano le condizioni:

lim

k→+∞bk= ln k

k = 0 OK! (1.29)

ln k

k non crescente def initivamente OK! (1.30)

La seconda può essere vericata tramite lo studio della derivata. Per il criterio di Leibniz la serie converge.

9. +∞

X

k=2

sin (ln k) k²ln k Criterio della CONVERGENZA ASSOLUTA: si studia la serie

+∞

X

k=2

sin (ln k) k²ln k

 (1.31)

Si osserva che |sin (ln k)| < 1 e che _{ln k}¹ <_{ln 2}¹ . Pertanto:

sin (ln k) k²ln k

< 1

k²ln 2 (1.32)

Pertanto, per il criterio del CONFRONTO, se P^+∞k=2 1

k²ln 2fosse convergente, allora lo sarebbe ancheP^+∞k=2

sin(ln k) k²ln k

  . Per passare dal condizionale all'indicativo si applica il criterio del CONFRONTO ASINTOTICO:

1

k²ln 2 ∼ 1

k² (1.33)

L'ultima è una serie armonica generalizzata P_k¹α con α > 1, pertanto converge. Quindi anche la serie in esame è convergente.

1.4 Stima di un somma

Dimostrare la convergenza della serie

+∞

X

k=0

(−1)^k k!

Stimare poi la somma della serie con un errore non superiore a 10⁻³.

Si tratta di una serie a segni alterni: si impiega quindi il criterio di Leibniz.

k→+∞lim bk= lim

k→+∞

1

k! = 0 OK! (1.34)

k! crescente =⇒ 1

k! non crescente def initivamente OK! (1.35) Le ipotesi del teorema son confermate, quindi la serie converge.

Per la stima è opportuno usare la formula

|S − S_k| ≤ b_k+1 (1.36)

|E (k)| ≤ bk+1 (1.37)

Dove E (k)rappresenta l'errore commesso considerando la ridotta di indice k invece della serie completa. Occorre ora individuare il primo termine della serie inferiore a 10⁻³.

0! = 1 (1.38)

1! = 1 (1.39)

2! = 2 (1.40)

3! = 6 (1.41)

4! = 24 (1.42)

5! = 120 (1.43)

6! = 720 (1.44)

7! = 5040 (1.45)

Quindi k + 1 = 7: si deve calcolare la somma della serie considerando solo i termini no a k = 6.

S (6) = 1 0!− 1

1!+ 1 2!− 1

3!+ 1 4!− 1

5!+ 1

6! = 0.368 ' e⁻¹ (1.46)