Soluzione Problema 3
Anonimo Missionario del Burundi 29 maggio 2011
1 Punto a
1.1 Sistema
˙
x1 = x4
˙
x2 = x5
˙
x3 = x6
˙
x4 = 1 m1
[−m1g + k1[L1− (x1− u)] − k2[L2− (x2− x1)] − r2(x4− x5)]
˙
x5 = 1
m2[−m2g + k2[L2− (x2− x1)] − k3[L3− (x3− x2)] − r3(x5− x6) − r2(x5− x4)]
˙
x6 = 1
m3[−m3g + k3[L3− (x3− x2)] + r3(x5− x6)]
Come riferimento abbiamo preso come 0 il terreno e le forze che spingono verso terra sono negative, mentre positive quelle che spingono verso l’alto.
2 Punto b
Esplicitando il sistema rispetto alle variabili di stato, e togliendo tutte le varie costanti ottenia- mo le matrici
A =
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
−k1−k2
m1
k2
m1 0 −mr2
1
r2
m1 0
k2
m2
−k2−k3
m2
k3
m2
r2
m2
−r3−r2
m2
r3
m2
0 mk3
3 −mk3
3 0 mr3
3 −mr3
3
b =
0 0 0
k1
m1
0 0
1
Soluzione Problema 3 Automatica Anonimo Missionario del Burundi
3 Punto c
3.1 k
1Dalla prova statica dei pneumatici sappiamo che la macchina è senza passeggeri (m3 = 0), siccome è una prova statica saremo in equilibrio (¯u = 0 e le velocità saranno nulle). Quindi dalla formula
=0
z}|{x˙4 = 1 m1
−m1g + k1
"
L1− x∗1−
=0
z}|{u
!#
−
=m2g
z }| {
k2[L2− (x2− x1)] −r2
=0
z }| { (x4− x5)
sappiamo che k2[L2− (x2− x1)] = m2g perchè nella prova statica la molla con coefficiente k2
eserciterà una forza verso il basso su x1pari alla forza peso esercitata da m2. Quindi abbiamo 0 = −g + k1
m1
[L1− x∗1] −m2
m1
g =⇒ k1=m1+ m2
L1− x1
g sappiamo anche che x1= 28, 6 cm.
3.2 k
2sempre nello stesso modo procediamo con
˙ x5= 1
m2
−m2g + k2[L2− (x∗2− x∗1)]
non ci sono passeggeri→=0
z }| {
−k3[L3− (x3− x2)]
(((((((((((((
−r3(x5− x6) − r2(x5− x4)
quindi alla fine abbiamo
k2= m2g L2− (x∗2− x∗1) con x∗2− x∗1= 15 cm.
3.3 k
3Abbiamo la formula
˙ x6= 1
m3[−m3g + k3[L3− (x∗3− x∗2)] +
((r3(x((5− x((6)]
quindi esplicitandola per k3otteniamo
k3= m3g L3− (x∗3− x∗2) con x∗3− x∗2= 6 cm.
3.4 r
r1 = 2m2r k2
m2 − 4π2f22 r2 = 2m3
r k3
m3
− 4π2f22 ricorda che m3= 4 · 70 Kg.
2
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4 Punto d
Il primo è
cT =
0 1 0 0 0 0 il secondo è
cT =0 −1 1 0 0 0
5 Punto e
Usando MATLAB e le funzioni ss2tf(A, b, cT, 0), che ricava la funzione di trasferimento dalle matrici, e usando la funzione bode() vediamo che abbiamo un picco alla frequenza 1, 59 Hz.
Occhio che nel grafico sono inrad/s.
Figura 1: Diagrammi di Bode
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