Esercizio 5.29 della dispensa di Geometria I Date in

Geometria I Gianluca Ferrari Spazi Affini Euclidei

Esercizio 5.29 della dispensa di Geometria I

Date in 𝔼₃(ℝ) le due rette

𝑟 ∶ {𝑦 = 0

𝑧 = 0 , 𝑠 ∶ {𝑥 + 𝑦 − 1 = 0 𝑥 − 𝑧 = 0 ,

dopo aver verificato che sono sghembe, determinare la retta 𝑡 ortogonale e incidente ad entrambe e calcolare 𝑑_𝑚𝑖𝑛(𝑟; 𝑠).

Svolgimento

È facile verificare che le due rette sono sghembe, in quanto il determinante della matrice

(

0 1 0 0

0 0 1 0

1 1 0 1

1 0 −1 0 )

risulta essere diverso da zero. Infatti, per il teorema di Laplace si ha det (

0 1 0 0

0 0 1 0

1 1 0 1

1 0 −1 0

) = − det (0 1 0

1 0 1

1 −1 0) = −1 ≠ 0

Per determinare la retta 𝑡 ortogonale ed incidente ad entrambe, determiniamo in primo luogo le equazioni parametriche delle rette 𝑟 e 𝑠.

𝑟 ∶ {𝑥 = 𝑡 𝑦 = 0

𝑧 = 0 , 𝑠 ∶ {𝑥 = 𝑡^′ 𝑦 = 1 − 𝑡^′ 𝑧 = 𝑡^′

Ora, consideriamo i vettori direzionali delle due rette 𝑣⃗⃗⃗ = (1; 0; 0) e 𝑣_𝑟 ⃗⃗⃗ = (1; −1; 1), _𝑠 nonché i generici punti 𝑅(𝑡; 0; 0) e 𝑆(𝑡^′; 1 − 𝑡^′; 𝑡^′) appartenenti rispettivamente alla retta 𝑟 e alla retta 𝑠. Sia 𝑅𝑆⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑡^′ − 𝑡; 1 − 𝑡^′; 𝑡^′) il vettore congiungente 𝑅 con 𝑆.

Imponiamo che esso sia ortogonale ad entrambe le rette.

{𝑅𝑆⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑣⃗⃗⃗ = 0_𝑟

𝑅𝑆⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑣⃗⃗⃗ = 0_𝑠 ⟹ {𝑡^′ − 𝑡 = 0

𝑡 − 𝑡^′ − 1 + 𝑡^′ + 𝑡^′ = 0 ⟹ {𝑡^′ = 𝑡

𝑡 + 𝑡^′ = 1 → 2𝑡 = 1⟹ 𝑡 = 𝑡^′ = 1 2 Sostituendo i valori di 𝑡 e 𝑡^′ così determinati, è possibile trovare le equazioni dei punti 𝑅 e 𝑆 per cui passa la retta 𝑡, nonché l’equazione parametrica di 𝑡. Infatti si ha 𝑅 (¹₂; 0; 0), 𝑆 (¹₂;¹₂;¹₂) e 𝑅𝑆⃗⃗⃗⃗⃗ = (0;¹₂;¹₂) = (0; 1; 1), da cui

Geometria I Gianluca Ferrari Spazi Affini Euclidei

𝑡 = 𝑟𝑡(𝑅; 𝑅𝑆⃗⃗⃗⃗⃗ ) ∶ {𝑥 = 1 𝑦 = 𝜆2 𝑧 = 𝜆

, 𝑐𝑜𝑛 𝜆 ∈ ℝ

mentre

𝑑_𝑚𝑖𝑛(𝑟; 𝑠) = 𝑑(𝑅; 𝑆) = √0 +1 4+1

4 = √2 2

Esercizio tratto da:

Pianta S., Geometria I – B. Geometria, Dispensa, Anno accademico 2015/2016