Esame di Meccanica del volo — Modulo di Manovre e Stabilità — Prova scritta del 19 ottobre 2011

Esame di Meccanica del volo — Modulo di Manovre e Stabilità — Prova scritta del 19 ottobre 2011

Sia dato un velivolo monomotore, propulso a elica, in volo alla quota del mare, caratterizzato dai dati riportati nelle tabelle seguenti.

Tabella 1Dati globali del velivolo.

Massa totale, m D W=g 1650 kg

Coefficiente di resistenza a portanza nulla, CD0 0;029 Fattore di Oswald della polare, etot 0;75 Posizione adimensionale del baricentro rispetto al

bordo d’attacco della corda media aerodinamica, X_cg=Nc

0;290

Tabella 2Dati della fusoliera.

Coefficiente di momento di

beccheggio a portanza nulla, C_M0;f 0;017 Gradiente del coefficiente di

momento di beccheggio, CM˛;f

0;0025 deg ¹

Gradiente del coefficiente di

momento di imbardata, C_Nˇ;f 0;0010 deg ¹

Tabella 3Dati caratteristici dell’ala. Ala bassa, forma in pianta trapezia, con leggera freccia. (Continua)

Apertura, b 13;95 m

Corda di radice, cr 1;55 m

Rapporto di rastremazione,  D ct=c_r 0;50 Gradiente del coefficiente di portanza del

profilo alare, C_{`˛ ;W}(dato 2D) 0;11 deg ¹ Angolo di portanza nulla del profilo alare

di radice, ˛_0`;r(dato 2D) 1;50 deg Angolo di portanza nulla del profilo alare

d’estremità, ˛0`;t(dato 2D) 2;50 deg Svergolamento geometrico d’estremità, "_t 2;50 deg Calettamento della corda di radice rispetto

alla retta di riferimento della fusoliera, iW

2;0 deg

Tabella 3(Continua dalla precedente) Dati caratteristici dell’ala.

Posizione adimensionale del centro aerodinamico dell’ala rispetto al bordo d’attacco della corda media aerodinamica, X_ac,W=Nc (dato 3D)

0;25

Coefficiente di momento di beccheggio intorno al

centro aerodinamico alare, CMac;W(dato 3D) 0;070 Fattore di Oswald, e_W(di resistenza indotta) 0;90 Posizioni adimensionali in apertura delle sezioni

estreme degli alettoni, (inner; outer) 0;70; 1;00 Fattore di efficacia dell’alettone, _a 0;42 Angolo di freccia del bordo d’attacco, le 20;0 deg

Angolo di diedro, 5;0 deg

Tabella 4Dati caratteristici dell’impennaggio orizzontale.

Forma in pianta rettangolare.

Superficie di riferimento, SH 2;98 m²

Apertura, b_H 3;50 m

Distanza del centro aerodinamico

dell’impennaggio dal centro aerodinamico dell’ala, X_ac;H X_ac;W

5;15 m

Corda di radice, cr,H 0;85 m

Gradiente del coefficiente di portanza del

profilo alare, C_{`˛ ;H}(dato 2D) 0;11 deg ¹ Fattore di Oswald, eH(di resistenza

indotta) 0;90

Rapporto delle pressioni dinamiche,

_HD NqH=Nq1

0;95

Calettamento dell’impennaggio

orizzontale, i_H 2;0 deg

Fattore di efficacia dell’elevatore, e 0;45 Gradiente del coefficiente di momento di

cerniera, C_{H˛ ;e} 0;0077 deg ¹

Gradiente del coefficiente di momento di

cerniera, C_Hıe;e 0;0150 deg ¹

Tabella 5Dati caratteristici dell’impennaggio verticale.

Superficie di riferimento, SV 1;60 m² Distanza del centro aerodinamico

dell’impennaggio dal baricentro del velivolo, lV

5;40 m

Distanza verticale media tra il centro aerodinamico dell’impennaggio verticale e la direzione della velocità, hV

0;80 m

Gradiente del coefficiente di portanza

dell’impennaggio, C_{L˛ ;V}(dato 3D) 3;11 rad ¹ Rapporto delle pressioni dinamiche,

_VD NqV=Nq1

1;00

Fattore di efficacia del timone, _r 0;45 Gradiente dell’angolo di sidewash, d=dˇ 0;11

Tabella 6Dati del sistema propulsivo.

Numero di motori 1

Rendimento propulsivo dell’elica, p 0;80

QUESITI

7pt (1) Dare la definizione di corda media aerodinamica Nc di una data ala A1 di forma in pianta qualsiasi. Dare la definizione generale del coefficiente di momento CMac dell’ala A1. Sia A2 un’ala di pari superficie S, di forma in pianta rettangolare, non svergolata, a profilo costante, con C_Mac;2D

A2  CMac. A parità di condizione di volo, potrebbero le due ali essere considerate equivalenti in termini di momento di beccheggio intorno al centro aerodinamico? (Si discuta se c’e una relazione tra la corda dell’ala A2 e la corda media

aerodinamica dell’ala A1.) Domanda di TEORIA

QUESITI

9pt (2) Per una velocità di equilibrio in volo livellato V D 195 km=h e per il calettamento del piano orizzontale iHassegnato, calcolare l’angolo d’attacco di volo (rispetto alla retta di riferimento della fusoliera) e la corrispondente deflessione dell’equilibratore. Calcolare la potenza all’albero ˘anecessaria a volare in tali condizioni ed il carico di equilibrio LHin N agente sul piano orizzontale di coda.

4pt (3) Dare la definizione e determinare la posizione del punto neutro a comandi bloccati.

8pt (4) Dare una descrizione fisica della condizione di equilibrio detta di rollio stabilizzato. Ipotizzando che il velivolo abbia una velocità di volo pari a 230 km=h, considerando una deflessione degli alettoni ıaD 10^ıed un angolo di derapata ˇ D 8^ı, determinare la velocità angolare di rollio stabilizzato p espressa in deg=s.

NOTE

F Nel rispondere al quesito 2, ai fini dell’equilibrio alla traslazione in direzione normale alla traiettoria, si ipotizzi una portanza totale generata dalla sola ala. Dopo aver calcolato il gradiente d"= d˛ assumendo un impennaggio orizzontale situato infinitamente a valle della scia dell’ala, si calcoli la stessa grandezza entrando nei grafici della figura 1 per m D 0;10. Valutare l’errore commesso con l’assunzione semplificativa effettuata.

F Nel rispondere al quesito 4, considerare disaccoppiate le equazioni di equilibrio. Risolvere l’equilibrio all’imbardata ricavando la deflessione del timone. Successivamente risolvere l’equilibrio al rollio. Tener conto del CLˇ;dovuto all’angolo di freccia .

F Per il calcolo di CLˇ ;W

ˇ

ˇ_, effetto diedro dell’ala dovuto a , vale la formula (1). Nelle formule di calcolo del CLˇ ;W

ˇ

ˇ , effetto diedro dovuto a , e della potenza di controllo degli alettoni C_Lıa si utilizzi il gradiente della retta di portanza dell’ala per tener conto degli effetti tridimensionali. Si vedano le formule (2) e (3). Analogo discorso vale per la formula del CLp.

DRAFT 2010

Copyright©A.DeMarco,D.P.Coiro,F.Nicolosi

4.3 Upwash e downwash indotti dalle ali 105

0;0 0;1 0;2 0;3 0;4 0;5

0;5 1;0 1;5

AD 6;0;  D 1;0

r

 d

d˛



H;0

mD 0;0 0;1

0;2

0;0 0;1 0;2 0;3 0;4 0;5

0;5 1;0 1;5

AD 9;0;  D 1;0

r

 d

d˛



H

mD 0;0

0;1 0;2

0;0 0;1 0;2 0;3 0;4 0;5

0;5 1;0 1;5

AD 12;0;  D 1;0

r

 d

d˛



H

mD 0;0 0;1

0;2

0;2 0;3 0;4 0;5 0;6 0;7

0;5 1;0 1;5

AD 6;0;  D 0;33

r

 d

d˛



H;0

mD 0;0

0;1 0;2

0;2 0;3 0;4 0;5 0;6 0;7

0;5 1;0 1;5

AD 9;0;  D 0;33

r

 d

d˛



H

mD 0;0 0;1

0;2

0;2 0;3 0;4 0;5 0;6 0;7

0;5 1;0 1;5

AD 12;0;  D 0;33

r

 d

d˛



H

mD 0;0 0;1

0;2

0;2 0;3 0;4 0;5 0;6 0;7

0;5 1;0 1;5

AD 6;0;  D 0;20

r

 d

d˛



H;0

mD 0;0 0;1

0;2

0;2 0;3 0;4 0;5 0;6 0;7

0;5 1;0 1;5

AD 9;0;  D 0;20

r

 d

d˛



H

mD 0;0 0;1

0;2

0;2 0;3 0;4 0;5 0;6 0;7

0;5 1;0 1;5

AD 12;0;  D 0;20

r

 d

d˛



H

mD 0;0 0;1

0;2

r b

2 m b

2 quarto di corda del profilo di radice

retta di portanza nulla dell’ala

(o del Wing-Body) centro aerodinamico del piano di coda

Figura 4.15 Gradiente dell’angolo di downwash all’altezza del centro aerodinamico del piano di coda ed in corrispondenza della mezzeria, in funzione dei fattori di posizionamento r ed m, per tre valori differenti dell’allungamento alare A e del rapporto di rastremazione . Curve valide per ali dritte. Per valori arbitrari di A e  è sufficiente interpolare o estrapolare.

Aer(e)o-Dinamica

DRAFT 2010

Copyright©A.DeMarco,D.P.Coiro,F.Nicolosi

4.3 Upwash e downwash indotti dalle ali 105

0;0 0;1 0;2 0;3 0;4 0;5

0;5 1;0 1;5

AD 6;0;  D 1;0

r

 d

d˛



H;0

mD 0;0 0;1

0;2

0;0 0;1 0;2 0;3 0;4 0;5

0;5 1;0 1;5

AD 9;0;  D 1;0

r

 d

d˛



H

mD 0;0

0;1 0;2

0;0 0;1 0;2 0;3 0;4 0;5

0;5 1;0 1;5

AD 12;0;  D 1;0

r

 d

d˛



H

mD 0;0 0;1 0;2

0;2 0;3 0;4 0;5 0;6 0;7

0;5 1;0 1;5

AD 6;0;  D 0;33

r

 d

d˛



H;0

mD 0;0 0;1

0;2 0;2 0;3 0;4 0;5 0;6 0;7

0;5 1;0 1;5

AD 9;0;  D 0;33

r

 d

d˛



H

mD 0;0 0;1

0;2

0;2 0;3 0;4 0;5 0;6 0;7

0;5 1;0 1;5

AD 12;0;  D 0;33

r

 d

d˛



H

mD 0;0 0;1

0;2

0;2 0;3 0;4 0;5 0;6 0;7

0;5 1;0 1;5

AD 6;0;  D 0;20

r

 d

d˛



H;0

mD 0;0 0;1

0;2

0;2 0;3 0;4 0;5 0;6 0;7

0;5 1;0 1;5

AD 9;0;  D 0;20

r

 d

d˛



H

mD 0;0 0;1

0;2

0;2 0;3 0;4 0;5 0;6 0;7

0;5 1;0 1;5

AD 12;0;  D 0;20

r

 d

d˛



H

mD 0;0 0;1

0;2

rb

2 mb

2 quarto di corda del profilo di radice

retta di portanza nulla dell’ala

(o del Wing-Body) centro aerodinamico del piano di coda

Figura 4.15Gradiente dell’angolo di downwash all’altezza del centro aerodinamico del piano di coda ed in corrispondenza della mezzeria, in funzione dei fattori di posizionamento r ed m, per tre valori differenti dell’allungamento alareAe del rapporto di rastremazione . Curve valide per ali dritte. Per valori arbitrari diAe  è sufficiente interpolare o estrapolare.

Aer(e)o-Dinamica

Figura 1

Gradiente dell’angolo di downwash al- l’altezza del centro aerodinamico del piano di coda ed in corrispondenza del- la mezzeria, in funzione dei fattori di posizionamento r ed m.

Ai fini del calcolo si assuma di poter confondere la corda di radice con la corda media aerodinamica.

C_{Lˇ ;W}ˇ

ˇ_D 2sin 2

S b CL

Z b=2 0

c.y/ ydy (1)

C_{Lˇ ;W}ˇ

ˇ D 2

S b C_L˛

Z b=2 0

c.y/ ydy con C_L˛ D C_L˛

W,3D (2)

C_Lı

a D 0;9 2

S b C_L˛a

Z _outer
b=2

_inner
b=2

c.y/ ydy con C_L˛ D C_L˛

W,3D (3)

SVOLGIMENTO

Calcoli relativi all’ala

Nella relazione di equilibrio alla traslazione verticale, in cui la portanza uguaglia il peso del velivolo, si può assumere che la portanza totale sia pari a quella dell’ala (trascurando i contributi della fusoliera e dell’impennaggio orizzontale). Pertanto si scriverà:

L LW H) W D 1

2V²S CL

W (4)

con  D 1;225 kg=m³(densità dell’aria al livello del mare). Nella (4) compare il coefficiente di portanza dell’ala, dato dall’espressione:

CL

WD CL0

WC CL˛

W˛_B (5)

Nella (5) l’angolo ˛Bè riferito alla retta di riferimento della fusoliera (asse body xB) mentre CL0

W, dato dalla formula:

CL0

WD CL˛

W



i_W ˛_0L;W

(6) rappresenta il coefficiente di portanza che si ottiene in volo a fusoliera orizzontale, cioè ad ˛BD 0 e l’angolo d’attacco assoluto dell’ala

˛_a;Wè pari a i_W ˛0L;W.

In questo esempio le incognite del problema sono, oltre alla velocità di volo V , l’angolo ˛Bnella condizione di volo assegnata, C_L˛
ed ˛0L;W. L’angolo di calettamento iWè assegnato. W

Conviene innanzitutto calcolare la superficie di riferimento S  SW, la corda media aerodinamica e l’angolo d’attacco nullo dell’ala.

Data la forma in pianta trapezia dell’ala, la prima grandezza si ottiene come segue:

S D b

2.crC ct/D b

2.crC cr/D 16;22 m² (7)

mentre la corda media aerodinamica è pari a:

Nc D 2 3cr

1C  C ²

1C  D 1;21 m (8)

Un parametro necessario ai calcoli è l’allungamento alareAW, che è pari a:

AWD b²

S D 12;00 (9)

L’angolo d’attacco di portanza nulla dell’ala è dato dalla seguente espressione:

˛0L;WD 2 S

Z b=2 0

h˛_0`.y/ ".y/i

c.y/dy (10)

nella quale l’angolo di portanza nulla del generico profilo, alla stazione y lungo l’apertura alare, è dato dalla formula lineare

˛_0`.y/D Ay C B (11)

Per determinare i due coefficienti A e B basta imporre le due condizioni

˛0`.0/D ˛0`;rD 1;5^ı

˛0` b=2
D ˛0`;tD 2;5^ı (12)

Con condizioni analoghe si determineranno le distribuzioni lineari di svergolamento geometrico

".y/D Cy C D (13)

e di corda

c.y/D Ey C F (14)

Calcolando le grandezze A, B, C, D, E, F , e sostituendo le formule (12), (13) e (14) nella (10) si può procedere con lo svolgimento dell’integrale. Si ottiene

˛_0L;WD 2 16;22 m²

Z 0;5
13;95 m 0

"

 0;0025rad

my . 0;0262 rad/

0;0088rad

my 0;0 rad



 0;111y 1;55 m

#

dy D 0;0068 rad D 0;39^ı

(15)

Un’altra grandezza relativa all’ala che si può calcolare a questo punto è il gradiente del coefficiente di portanza. Esso si ottiene come

segue:

C_L˛

WD C_`˛

W

1C C_`˛

W

AWe_W

D 5;315 rad ¹D 0;0928 deg ¹ (16)

Per i calcoli precedenti, le grandezze a secondo membro della (6) sono ora tutte note. Dalla (6) si può conoscere quindi il CL0

Wche è pari a:

CL0

WD 5;315 rad ¹
h

0;035 rad 0;007 rad
i

D 0;22 (17)

Nella formula (5) resta da conoscere l’angolo d’attacco ˛_Bal quale si ha il volo nelle condizioni assegnate. Questa quantità va ricavata successivamente, tenendo conto dell’aerodinamica del velivolo completo e dell’equilibrio alla rotazione intorno all’asse di beccheggio.

Calcoli relativi al velivolo parziale

Si osservi che la posizione del centro aerodinamico X_ac,W=Nc dell’ala isolata ed il coefficiente di momento CMac;W rispetto ad esso compaiono tra i dati del problema (dati 3D).

Passando all’accoppiamento ala-fusoliera, è noto tale che il centro aerodinamico del velivolo parziale Xac,WB=Nc si presenta in posizione diversa da X_ac,W=Nc. Detta Ox D X= Nc la distanza adimensionalizzata dal bordo d’attacco della corda media aerodinamica, si ricorda che la posizione del centro aerodinamico del velivolo parziale è calcolabile come segue:

Oxac

WBD Oxac

W

C_M˛

f

C_L˛

W

(18)

dove CM˛

fè la pendenza della curva del momento di beccheggio della fusoliera.

Tenendo conto della (16) e dei dati del problema la (18) fa ottenere:

Oxac

WBD 0;250 0;143 rad ¹

5;315 rad ¹ D 0;223 (19)

Calcoli relativi all’impennaggio orizzontale

Passiamo a calcolare alcune grandezze in cui si deve tener conto della posizione e delle caratteristiche dell’impennaggio orizzontale. Tali grandezze saranno da utilizzarsi nella valutazione dell’equilibrio e della stabilità longitudinali.

Per cominciare, andiamo a esprimere le distanze in maniera conveniente. Si osserva che è assegnata la distanza X_ac;H X_ac;Wdel centro aerodinamico del piano orizzontale dal centro aerodinamico dell’ala. Per l’equilibrio è necessario ottenere la distanza del primo punto dal baricentro, cioè il braccio lH. Esso si ottiene come segue:

l_HD Nch

Oxac;H Oxac;W

 

Oxcg Oxac;W

i

D 1;21 m" 5;15 m 1;21 m

0;290 0;250

#

D 5;10 m (20)

Successivamente, si può calcolare la superficie in pianta e l’allungamento dell’impennaggio. Data la forma in pianta rettangolare, si ottiene:

S_HD bHcr;HD 3;50 m
0;85 m D 2;98 m² e A_HD b_H²

S_H D 4;12 (21)

Dalla prima delle (21), dalla (20) e dai dati del problema si calcola anche il rapporto volumetrico dell’impennaggio orizzontale:

VN_HD S_Hl_H

S Nc D 2;98 m²
5;10 m

16;22 m²
1;21 m D 0;776 (22)

Per quanto riguarda il funzionamento aerodinamico dell’impennaggio orizzontale, è noto che esso vede una deviazione della corrente asintotica caratterizzata dall’angolo di downwash "H " approssimabile come:

"D "0C d"

d˛˛_B (23)

Questa espressione è valida a rigore per un punto indefinitamente a valle dell’ala, nel piano di simmetra, lungo la direzione della corrente asintotica. Le grandezze che compaiono nella legge lineare (23) sono date dalle due quantità seguenti:

"0D 2 CL0

W

AWe_W D 2
0;22

3;1415
12;00
0;90D 0;0131 rad D 0;748^ı (24)

e d"

d˛ D 2 C_L˛

W

AWe_W D 2
5;32

3;1415
12;00
0;90D 0;313 (25)

L’angolo "0è interpretabile come il downwash medio in corrispondenza del piano di coda orizzontale per ˛BD 0. La quantità d"= d˛ è il gradiente di downwash.

Dalla figura 1, entrando con i valori dell’allungamento alare e dei rapporti r D Oxac;H Oxac;W
=.b=2/ D 0;738 ed m D 0;10 si calcola un valore

d"

d˛



H;0D 0;411 (26)

Si può apprezzare una differenza tra quest’ultimo e quello ottenuto dalla formula (25).

Resta da calcolare il gradiente C_{L˛ ;H}del coefficiente di portanza dell’impennaggio. Esso si ottiene con la nota espressione:

C_L˛

HD C_`˛

H

1C C_`˛

H

AHe_H

D 4;089 rad ¹D 0;0714 deg ¹ (27)

Derivate di stabilità e di controllo

Prima di passare alla valutazione dell’equilibrio alla rotazione del velivolo intorno all’asse di beccheggio, è conveniente calcolare le derivate di stabilità e di controllo.

Con le quantità ricavate fino a questo punto è possibile calcolare la stabilità statica al beccheggio del velivolo come segue:

C_M˛ D CL˛ ;W

Oxcg Oxac;WB

 C_{L˛ ;H}

 1 d"

d˛



_HVN_H D 5;315 rad ¹


0;290 0;223

4;089 rad ¹


1 0;313

0;95
0;776 D 1;72 rad ¹D 0;0299 deg ¹

(28)

Le derivate del coefficiente di momento rispetto ai parametri di controllo sono le seguenti:

C_Mı

e D CL˛ ;H_HVN_He

D 1;36 rad ¹ D 0;0237 deg ¹ (29)

C_Mi

H D CL˛ ;H_HVN_H

D 3;02 rad ¹D 0;0526 deg ¹ (30)

Equilibrio longitudinale

La formula da considerare ai fini dell’equilibrio longitudinale è la seguente

CMD CM0C CM˛˛_BC C_Mıeı_eC C_MiHi_HD 0 (31)

con

CM0  CM

ˇ

ˇ˛_BD0D CMac;WC C_M0;fC CL0;W

Oxcg Oxac;WB

C CL˛ ;H_HVN_H"0

D 0;0080 0;0170 C 0;222

0;290 0;223

C 4;089 rad ¹
0;95
0;776
0;0131 rad D 0;0292

(32)

dove si è posto CMac;WBD CMac;WC C_M0;f.

Nella (31) compaiono le incognite ˛Be ıe. L’angolo d’attacco può essere ricavato utilizzando le espressioni (4) e (5). La prima delle due fornisce il coefficiente di portanza:

CL CL

WD 2

 W

S 1

V² D 2

1;225 kg=m³

1650 kg
9;81 m=s² 16;2 m²

1

54;17 m=s
² D 0;555 (33)

Noto il coefficiente di portanza, la (5) permette di ricavare

˛_BD CL

W CL0

W

C_L˛

W

D 0;555 0;22

5;315 rad ¹ D 0;0628 rad D 3;6 deg (34)

Noto ˛_B, la deflessione dell’equilibratore si ricava dall’equazione di equilibrio al beccheggio (31) ottenendo:

ı_eD C_M0 C CM˛˛_BC C_MiHi_H C_Mı

e

D 0;0292 C . 1;72 rad ¹
0;0628 rad/ C . 3;02 rad ¹
0;035 rad/

1;36 rad ¹ D 0;0198 rad D 1;13 deg

(35)

Si osserva che il calettamento iHè negativo e di valore assoluto tale da richiedere una deflessione ıepositiva per il volo nelle condizioni assegnate.

Il carico sul piano di coda è espresso dalla relazione:

L_HD H Nq1S_H CL

H (36)

dove CL;Hè il coefficiente di portanza dell’impennaggio alla velocità di volo V , riferito alla superficie S_H, e

Nq₁D 1

2V²D 1797 N=m² (37)

La portanza adimensionale dell’impennaggio, assumendo un piano di coda simmetrico, si calcola usando la seguente espressione:

CL

HD CL˛ ;H˛_H (38)

in cui l’angolo d’attacco effettivo ˛_Hdella corrente che investe la coda è espresso dalla relazione:

˛_HD ˛B "C iHC eı_e (39)

con " dato dalla (23) e pari a:

"D "0C

d"

d˛



˛_BD 0;0131 rad C 0;313
0;0628 rad D 0;0327 rad D 1;88 deg

(40)

Ora nella (39) tutti gli addendi a secondo membro sono noti, si ottiene:

˛_HD 0;0628 rad 0;0327 rad C 0;0349 rad
C 0;45
0;0198 rad

D 0;0040 rad D 0;23 deg (41)

Ciò consente di conoscere il valore del coefficiente di portanza attraverso la (38), essendo:

CL

HD 4;089 rad ¹
0;0040 rad
D 0;017 (42)

Pertanto, la (36) consente di ricavare:

L_HD 0;95
1797 N=m²
3 m²
0;017
D 83;8 N D 8;5 kgf (43) Il quesito chiede anche di calcolare la potenza all’albero nella condizione di volo specificata. Per questo si calcola dapprima il coefficiente di resistenza di volo:

CDD CD0 C CD_i D CD0C C_L²

A_We_tot .con CL CL;W/ D 0;029 C 0;555²

3;14
12;00
0;75 D 0;0399

(44)

quindi, per l’equilibrio alla traslazione lungo la tangente alla traiettoria, la spinta necessaria:

T D D D Nq1S CD D 1797 N=m²
3 m²
0;040 D 1162;9 N D 118;58 kgf (45) La potenza all’albero è data da quella necessaria al volo orizzontale per l’inverso del rendimento dell’elica nelle condizioni di volo considerate. Si ha dunque:

˘_aD T V

_p D 1162;9 N
54;17 m=s

0;80 D 78;74 kW D 105;59 hp (46)

Punto neutro

La posizione del punto neutro a comandi bloccati OxN, intesa come distanza adimensionale dal bordo d’attacco della corda media aerodinamica, può essere valutata sapendo che essa è collegata alla posizione Oxcgdel baricentro tramite la seguente relazione:

Oxcg OxND C_M˛

C_{L˛ ;tot} (47)

dove C_{L˛ ;tot} C_L˛ è il gradiente della retta di portanza del velivolo completo, comprendente i contributi dell’ala e del piano di coda:

C_L˛ D CL˛ ;WC CL˛ ;H

 1 d"

d˛

 S_H S _H D 5;315 rad ¹C 4;089 rad ¹


1 0;313

2;98 m² 16;22 m²
0;95 D 5;805 rad ¹D 0;1013 deg ¹

(48)

Dalla (47) si ricava quindi:

OxND 0;290 1;72 rad ¹

5;805 rad ¹ D 0;585 (49)

Un’espressione approssimata di OxN, alternativa all’espressione esatta (47), è la seguente:

OxND Oxac;WBC HVN_H C_{L˛ ;H} C_{L˛ ;W}

 1 d"

d˛



(50)

che fornisce il valore:

OxND 0;223 C 0;95
0;776
4;089 rad ¹ 5;315 rad ¹


1 0;313

D 0;613 (51)

con un errore rispetto al valore dato dalla (49) di circa il 2% della corda media aerodinamica.

La posizione del punto neutro a comandi liberi può esprimersi come segue:

OxN⁰ D Oxcg

C_M˛⁰ C_L˛⁰ D Oxcg

C_{L˛ ;W}

Oxcg Oxac;WB

 C_{L˛ ;H}

 1 d"

d˛



_HVN_HF C_{L˛ ;W}C CL˛ ;H

 1 d"

d˛

 S_H S _HF

(52)

molto simile alla (47), con la differenza che nelle espressioni di C_M˛⁰ e C_L˛⁰ compare il fattore F (free elevator factor) pari a:

F D 1 _e C_{H˛ ;e}

C_Hıe;e D 1 0;45
0;0077 deg ¹

0;0150 deg ¹ D 0;77 (53)

Sostituendo il valore precedente nella (52) si ottiene:

OxN⁰ D 0;290 1;237 rad ¹

5;692 rad ¹ D 0;507 (54)

Un’espressione approssimata di OxN⁰, alternativa all’espressione esatta (52), è la seguente:

OxND Oxac;WBC HVN_H C_{L˛ ;H} C_{L˛ ;W}

 1 d"

d˛



F (55)

che fornisce il valore:

OxN⁰ D 0;223 C 0;95
0;776
4;089 rad ¹ 5;315 rad ¹


1 0;313

0;77 D 0;523 (56)

con un errore rispetto al valore dato dalla (54) di circa il 2% della corda media aerodinamica.

Equilibrio latero-direzionale

Nell’ipotesi di rollio stabilizzato (condizione indicata con ‘?’) alla velocità V?D 230 km=h, l’equilibrio alla traslazione lungo la traiettoria permette di ricavare la spinta T?pari alla resistenza D?. Si avrà la seguente uguaglianza:

T?D D?D CD

?Nq?S (57)

con

Nq?D 1

2V_?²D 0;5
1;225 kg=m³
63;9 m=s
2

D 2500 N=m² (58)

Per conoscere la resistenza in queste condizioni è necessario determinare il coefficiente di resistenza:

CD

?D CD0C CD_i

?D CD0C CL
2

?

A_We_tot (59)

Si osserva che alla velocità assegnata, affinché venga equilibrato il peso W , il velivolo dovrà volare ad un coefficiente di portanza:

CL

?D W

Nq?S D 1650 kg
9;81 m=s²

2500 N=m²
16;2 m² D 0;399 (60)

Si ricava dunque:

CD

?D 0;029 C 0;399²

3;14
12;00
0;75 D 0;053 (61)

e una spinta:

T?D 0;053
2500 N=m²
16;2 m² D 1404;2 N D 143;2 kgf (62) In condizioni di rollio stabilizzato sono assegnati il valore dell’angolo di derapata ˇ D 8^ıe della deflessione degli alettoni ı_a D 10^ı. Devono essere valutati i valori della deflessione ırdel comando direzionale e della velocità angolare p.

Si hanno a disposizione le equazioni di equilibrio alla rotazione intorno agli assi di rollio e di imbardata. In termini adimensionali si deve avere:

CLD CLppOC C_LˇˇC C_Lıaı_aC C_Lırı_rD 0 (63a) CN D CNppOC C_NˇˇC C_Nıaı_aC C_Nırı_rD 0 (63b) dove Op D pb=.2V?/.

Conviene considerare inizialmente l’equazione (63b), nella quale si può trascurare il contributo della velocità di rollio e della deflessione degli alettoni (imbardata inversa ininfluente). Pertanto, la deflessione del timone si ricava dalla (63b) per CNppO 0 e C_Nıaı_a 0, ottenendo:

ı_rD C_Nˇˇ C_Nı

r

(64) In questa espressione semplificata va inserito il valore della potenza di controllo:

C_Nı

r D C_L˛

V_VVN_V (65)

che è proporzionale al fattore volumetrico dell’impennaggio verticale

VN_VD S_V S

l_V

b D 1;60 m²

16;22 m²
5;40 m

13;95 m D 0;038 (66)

ed è pari a:

C_Nı

r D 3;11 rad ¹
1;00
0;038

D 0;0534 rad ¹D 0;00093 deg ¹ (67)

A numeratore della (64) è noto l’angolo di derapata ˇ D 8^ıe, in base ai dati del velivolo, va calcolato il coefficiente CNˇ, cioè la stabilità direzionale. Si ricorda che essa è esprimibile come segue:

C_Nˇ D C_Nˇ

WBC C_Nˇ

V (68)

Il contributo dovuto al velivolo parziale può essere assunto pari a quello della fusoliera:

C_Nˇ

WB C_Nˇ

f D 0;0010 deg ¹D 0;057 rad ¹ (69)

ed è assegnato (si veda la tabella 2). Il contributo stabilizzante dovuto all’impennaggio verticale è dato dalla seguente espressione:

C_Nˇ

VD CL˛

V

 1 d"

d˛



_VVN_V

D 3;11 rad ¹
1 0;11

1;00
0;038 D 0;106 rad ¹D 0;00184 deg ¹

(70)

La stabilità direzionale del velivolo completo data dalla (68) è dunque pari a:

C_Nˇ D 0;057 rad ¹C 0;106 rad ¹D 0;0483 rad ¹ D 0;00084 deg ¹ (71) Pertanto, dalla (64) si ottiene la deflessione del timone nelle condizioni assegnate:

ı_r D 0;0483 rad ¹
0;140 rad

0;0534 rad ¹ D 0;126 rad D 7;2 deg (72)

A questo punto si può prendere in considerazione la condizione di equilibrio al rollio (63a). In questa formula, oltre a ˇ e al ı_rdato dalla (72), è noto il valore ıaD 10^ı. La velocità adimensionale di rollio è dunque esprimibile come segue:

O

pD C_LˇˇC C_Lı

aı_aC C_Lı

rı_r

C_Lp (73)

nella quale va determinato l’effetto diedro CLˇ, le due potenze di controllo C_Lıa e CLı_r e la derivata di smorzamento CLp. La prima potenza di controllo si calcola in base alla formula (3) ottenendo

C_Lı

a D 0;9
2;0
5;32
0;42 16;22 m²
13;95 m

Z 1;00

13;95 m=2

0;70

13;95 m=2 0;111y 1;55 m
y dy D 0;195 rad ¹D 0;00340 deg ¹

(74)

La seconda derivata di controllo rappresenta l’effetto della deflessione del timone sul momento di rollio ed è calcolabile come segue:

C_Lı

r D CL˛

V_Vr S_V S

h_V b

D 3;11 rad ¹
1;00
0;45
2;98 m²

16;22 m²
0;80 m

13;95 m D 0;0079 rad ¹D 0;00014 deg ¹

(75)

Per quanto riguarda l’effetto diedro CLˇ, il valore complessivo relativo al velivolo completo viene tipicamente espresso come segue:

C_Lˇ D C_Lˇ

WBC C_Lˇ

V (76)

In questa uguaglianza il primo addendo a secondo membro rappresenta il contributo del velivolo parziale che, in prima approssimazione, può essere posto pari a quello dell’ala: C_{Lˇ ;WB} C_{Lˇ ;W}. Quest’ultimo si esprime a sua volta come la somma:

C_Lˇ

WD C_{Lˇ ;W}ˇ

ˇ C C_{Lˇ ;W}ˇ

ˇ_ (77)

in cui si distinguono il contributo dovuto dell’angolo diedro e quello dovuto all’angolo di freccia .

Il coefficiente C_{Lˇ ;W}ˇ

ˇ è dato dalla seguente espressione:

C_{Lˇ ;W}ˇ

ˇ D 2

bS C_L˛

W

Z b=2 0

c.y/ ydy (78)

che fornisce

C_{Lˇ ;W}ˇ

ˇ D 2;0
0;0873 rad

16;22 m²
13;95 m
5;32

Z 0;5
13;95 m 0

0;111y 1;55 m
y dy D 0;1031 rad ¹D 0;00180 deg ¹

(79)

Trattandosi di ala trapezia, questo risultato dovrebbe essere identico a quello che si otterrebbe con la formula seguente:

C_{Lˇ ;W}ˇ

ˇ D

6 C_L˛

W

1C 2

1C  (80)

L’effetto diedro dovuto alla freccia alare è calcolabile attraverso l’espressione (1). Essa permette di ottenere:

C_{Lˇ ;W}ˇ

ˇD 2
sin 2
0;3 rad

16;22 m²
13;95 m

Z 0;5
13;95 m 0

0;111y 1;55 m
y dy

D 0;0570 rad ¹D 0;00099 deg ¹

(81)

Pertanto, la (77) permette di calcolare C_Lˇ

WD 0;1031 rad ¹C 0;0570 rad ¹
D 0;1601 rad ¹D 0;00279 deg ¹ (82) Rimane da calcolare l’effetto diedro dovuto all’impennaggio verticale. Esso si calcola come segue:

C_Lˇ

VD C_L˛

V

 1 d

dˇ



_VS_V S

h_V b

D 3;11 rad ¹
1 0;11

1;00
2;98 m²

16;22 m²
5;40 m 13;95 m D 0;0156 rad ¹D 0;000270 deg ¹

(83)

L’effetto diedro del velivolo completo si calcola dunque in base alla (76), ottenendo:

C_Lˇ D 0;1601 rad ¹C 0;0156 rad ¹D 0;176 rad ¹D 0;00307 deg ¹ (84)

Per finire, va determinata la derivata di smorzamento CLp a denominatore della (73). Essa è esprimibile come segue:

C_Lp  C_Lp

WD 4

b²S C_L˛

W

Z b=2 0

c.y/ y²dy

D 4

16;22 m²
13;95 m
2
5;32

Z 0;5
13;95 m 0

0;111y 1;55 m
y² dy

D 0;7382

(85)

A questo punto può essere finalmente calcolata la velocità adimensionale di rollio stabilizzato:

O pD

C_LˇˇC C_Lıaı_aC C_Lırı_r C_Lp

D 0;176 rad ¹
0;140 rad C 0;1949 rad ¹
0;1745 rad
C 0;0079 rad ¹
0;1263 rad 0;7382

D 0;0780

(86)

Dalla (86) si evince la velocità angolare di rollio stabilizzato:

pD Op2V?

b

D 0;0780
2;00
63;89 m=s 13;95 m D 0;7141 rad=s D 40;9 deg=s

(87)

Risposta al quesito teorico Per ali regolari è:

Nc D 2

3 c_r 1 C  C ² 1C 



(88) L’espressione generale è:

Nc D 1 S

b=2

Z

b=2

c².y/dy D 2 S

b=2

Z

0

c².y/dy (89)

Il coefficiente di momento di beccheggio rispetto al centro aerodinamico dell’ala è dato dalla seguente formula generale:

CMac D 2 SNc

b=2

Z

0

x_ac;2D.y/ c.y/ C`;bas.y/dy



contributo dello

svergolamento

C 2 SNc

b=2

Z

0

C_Mac;2D.y/c.y/²dy

Ÿ

contributo del momento dei profili

(90)

dove xac;2D.y/è l’ascissa generica dei punti lungo la linea dei centri aerodinamici di profilo.

M_ac D q1S Nc CMac (91)