Prova scritta di Meccanica Razionale - 16.04.2019

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Prova scritta di Meccanica Razionale - 16.04.2019

Cognome e Nome . . . . N. matricola . . . . C.d.L.: . . . . Anno di Corso: 2 3 altro

FILA 1

Esercizio 1. Nel piano Oxy si consideri un corpo rigido, costituito da un rettangolo omogeneo di massa 4m e lati OA = 3L, OC = 2L, da un triangolo rettangolo omogeneo isoscele ADE, di massa m e cateto AD = L, e da un triangolo rettangolo omogeneo isoscele BEF , di massa 2m e cateto BF = L. Si chiede di determinare:

1. il momento d’inerzia I

Ox

del corpo rigido rispetto all’asse Ox (punti 5);

2. il momento d’inerzia I

Ez

del corpo rigido rispetto alla retta perpendicolare al piano Oxy passante per il punto E (punti 7).

O x

y

A C B

D E

F

1

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Esercizio 2. In un piano verticale Oxy, si consideri un sistema materiale rigido pesante, costituito da una lamina quadrata ABCD omogenea, di massa m e lato √

2L, e da un’asta omogenea DE, di massa m e lunghezza 2L. L’estremo A della lamina scorre sull’asse Ox, l’estremo D dell’asta `e saldato al vertice D della lamina in modo che l’angolo C ˆ DE sia π/4. Oltre alle forze peso, sul sistema agiscono una molla ideale, di costante elastica k = mg/L, che collega il vertice B con il punto B

^′

, proiezione ortogonale di B sull’asse Oy, ed una coppia di momento ~ M = −δmgL~ı × ~, (δ > 0), dove ~ı e ~ sono i versori rispettivamente dell’asse Ox e dell’asse Oy.

O A

B

D B

^′

C

E

π 4

θ x

x

y

Supposti i vincoli lisci e scelti i parametri lagrangiani x = x

A

, x ∈ R e θ = O ˆ AC, θ ∈ [0, 2π), come indicato in figura, si chiede:

1. calcolare le coordinate del baricentro della lamina (punti 1);

2. calcolare le coordinate del baricentro dell’asta (punti 3);

3. determinare la funzione potenziale di tutte le forze attive agenti sul sistema (punti 4);

4. calcolare il valore di δ affinch`e θ = π/2 sia configurazione di equilibrio per il sistema (punti 4);

5. calcolare il corrispondente valore di x all’equilibrio (punti 2);

6. studiare la stabilit`a della configurazione di equilibrio del sistema precedentemente determinata (punti 4);

7. calcolare la reazione vincolare esterna all’equilibrio (punti 2).

Avvertenze:

1. Non `e consentita la consultazione di testi e appunti.

2. Durata della prova: 150 minuti.

3. Ammissione alla prova orale con punteggio 16/30.

2

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Soluzioni Esercizio 1

1. momento d’inerzia: IOx=67 6 mL² 2. momento d’inerzia: IEz=46

3 mL² Esercizio 2

1. G₁(x − Lcosθ; Lsinθ)

2. G₂(x − 2Lcosθ + Lsinθ; 2Lsinθ + Lcosθ) 3. potenziale U delle forze attive:

U = 3mgLsinθ + mgLcosθ −mg

2L[x − L(cosθ + sinθ)]²+ δmgLθ + c 4. affinch`e θ = π/2 sia di equilibrio, δ = 1

5. all’equilibrio, per δ = 1:

(xe, θe) : (L, π/2) che risulta stabile

6. reazione vincolare esterna in A all’equilibrio:

Φ~A= −2mg~j