III Appello di Processi Stocastici 2012/13 Cognome:
Laurea Magistrale in Matematica Nome:
10 settembre 2013 Email:
Quando non `e espressamente indicato il contrario, per la soluzione degli esercizi `e possibile usare tutti i risultati visti a lezione (compresi quelli di cui non `e stata fornita la dimostrazione).
Esercizio 1. Sia (ξn)n∈N una famiglia indipendente di variabili aleatorie di Bernoulli Be(p) = Bin(1, p), dove p ∈ (0, 1) `e un parametro fissato. Per a, b ∈ R definiamo la funzione f : {0, 1} → R ponendo
f (0) := a , f (1) := b .
Definiamo quindi ricorsivamente una successione (Xn)n∈N di variabili aleatorie reali, ponendo X0:= 1 , Xn+1 := Xnf (ξn+1) .
(a) Si mostri che il processo (Xn)n∈N `e una martingala se e solo se b = 1 − a(1 − p)
p . (?)
D’ora in avanti, il valore di b `e fissato come in (?)
(b) Si discuta l’esistenza q.c. di limn→∞Xn per 0 ≤ a ≤ (1 − p)−1. (c) Nel caso in cui a = 0, si mostri che vale l’uguaglianza di eventi
{Xn6= 0} = {ξ1 = 1, ξ2 = 1, . . . , ξn= 1} , ∀n ∈ N . Si deduca che P(Xn6= 0 i.o.) = P(lim supn→∞{Xn6= 0}) = 0.
(d) Sempre nel caso a = 0, si mostri che vale l’inclusione di eventi {Xn= 0} ⊆ [
k≥n
{Xk= 0} .
Si deduca che q.c. limn→∞Xn= 0. La martingala (Xn)n∈N converge in L1?
(e) Supponiamo ora che a < 0. Si mostri che il processo (Xn)n∈N non `e limitato in L1. Esso converge in Lp per qualche p > 1?
[Sugg. Si calcoli E(|f (ξ1)|).]
Soluzione 1. (a) Il processo X `e adattato e Xn∈ L1 per ogni valore di a, b. Si noti inoltre che E(f (ξ1)) = f (0) P(ξ1 = 0) + f (1) P(ξ1= 1) = a(1 − p) + bp .
Imponendo che E(Xn+1|Fn) = Xn, dove Fn= σ(X1, . . . , Xn), si ottiene E(Xn+1|Fn) = XnE(f (ξ1)) = Xn[a(1 − p) + bp] .
Quindi (Xn)n∈N`e una martingala se e solo se a(1 − p) + bp = 1, ossia b = (1 − a(1 − p))/p.
(b) Se 0 ≤ a ≤ (1 − p)−1allora b ≥ 0 e quindi f ´e una funzione non negativa, da cui segue che la successione (Xn)n∈N risulta una martingala non negativa e quindi una martingala limitata in L1, che converge P-quasi certamente per un teorema visto a lezione.
(c) L’uguaglianza di eventi segue dalla definizione di Xn. Dato che P(ξ1= 1, . . . , ξn= 1) = pn, la conclusione segue dal Lemma di Borel-Cantelli.
(d) L’inclusione di eventi segue dalla definizione di Xn, perch´e se Xn(ω) = 0 allora Xn+1(ω) = 0.
Dall’inclusione mostrata segue che {Xn = 0} ⊆ {limm→∞Xn = 0} per ogni n ∈ N, e per- tanto S
n∈N{Xn = 0} ⊆ {limm→∞Xn = 0}. Dato che (S
n∈N{Xn = 0})c⊆ {Xn 6= 0 i.o.}, per il punto precedente si ha che limn→∞Xn= 0 P-quasi certamente. Quindi (Xn)n∈N non pu`o convergere in L1 perch´e in tal caso si avrebbe E[limn→∞Xn] = limn→∞E(Xn) = 1 > 0.
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(e) Per a < 0 si ha
c := E(|f (ξ1)|) = (−a)(1 − p) + bp = −a(1 − p) + 1 − a(1 − p) = 1 − 2a(1 − p) > 1 , quindi E(|Xn+1|) = E(|f (ξn+1)|) E(|Xn|) e per ricorsione E(|Xn|) = cn → +∞, quindi (Xn)n∈N non `e limitata in L1. A maggior ragione non pu`o convergere in Lp per p > 1, perch´e in caso contrario sarebbe limitato in Lp e a maggior ragione in L1.
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Esercizio 2. Sia B = (Bt)t≥0un moto browniano, definito su uno spazio di probabilit`a (Ω, A, P).
Supponiamo per semplicit`a che la traiettoria t 7→ Bt(ω) sia continua per ogni (e non solo per q.o.) ω ∈ Ω. Fissiamo una funzione continua f : [0, 1] → R e definiamo
X :=
Z 1 0
f (t)Btdt .
(a) Si spieghi perch´e la definizione della funzione X : Ω → R `e ben posta.
(b) Si mostri che per ogni ω ∈ Ω
X(ω) = lim
n→∞
1 n
n
X
k=1
f k n
Bk
n(ω) , e si deduca che X `e una variabile aleatoria.
(c) Si mostri che X `e una variabile aleatoria normale.
[Sugg. Non c’`e bisogno di fare calcoli.]
(d) Si calcoli E(X) e Var(X) nel caso in cui f (t) ≡ 1.
(e) Sia ora g : [0, 1] → R un’altra funzione continua e definiamo Y :=
Z 1 0
g(t)Btdt .
Si mostri che (X, Y ) `e un vettore normale e si esprima Cov(X, Y ) in termini di f, g.
Soluzione 2. (a) Per ogni ω ∈ Ω la funzione t 7→ f (t)Bt(ω) `e continua (prodotto di funzioni continue) e dunque Riemann-integrabile in [0, 1].
(b) Per ogni funzione continua h : [0, 1] → R, le somme di Riemann convergono verso l’integrale corrispondente:
n→∞lim 1 n
n
X
k=1
h k n
= Z 1
0
h(t) dt .
Scegliendo h(t) = f (t) Bt(ω), per ω ∈ Ω fissato, si ottiene l’uguaglianza cercata. Definendo X(n)(ω) := 1
n
n
X
k=1
f k n
Bk
n(ω) ,
per ogni n ∈ N fissato, la funzione ω 7→ X(n)(ω) `e misurabile (combinazione lineare di funzioni misurabili), dunque una variabile aleatoria. Di conseguenza anche il limite puntuale X(ω) = limn→∞X(n)(ω), `e una variabile aleatoria.
(c) Per n ∈ N fissato, la variabile aleatoria X(n) `e normale perch´e combinazione lineare delle componenti del moto browniano B, che `e un processo gaussiano. Di conseguenza, X `e normale perch´e limite q.c. delle variabili aleatorie normali X(n).
(d) Usando il teorema di Fubini, notando che (t, ω) 7→ f (t) Bt(ω) ∈ L1([0, 1] × Ω), si ha E(X) = E
Z 1 0
f (t) Btdt
= Z 1
0
f (t) E(Bt) dt = 0 ,
E(X2) = E
Z 1 0
f (t) Btdt · Z 1
0
f (s) Bsds
= Z 1
0
Z 1 0
f (t) f (s) E(BtBs) dt ds
= Z 1
0
Z 1 0
f (t) f (s) min{s, t} dt ds .
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In alternativa, si sarebbe potuto calcolare E(X(n)) e E((X(n))2) e poi prendere il limite per n → ∞ delle espressioni ricavate, ottenendo (naturalmente) gli stessi risultati. Dato che E(X) = 0, scegliendo f (t) ≡ 1 si ottiene
E(X2) = Var(X) = Z 1
0
Z 1 0
f (t) f (s) min{s, t} dt ds = Z 1
0
Z 1 0
min{s, t}dt
ds
= Z 1
0
Z s 0
t dt + Z 1
s
s dt
ds =
Z 1 0
s2
2 + s(1 − s)
ds =
Z 1 0
s −s2
2
ds
= 1 2−1
6 = 1 3.
(e) Basta mostrare che αX + βY `e una variabile aleatoria normale, per ogni α, β ∈ R. Ma ci`o segue dai punti precedenti applicati alla funzione continua αf (t) + βg(t), perch´e
αX + βY = Z 1
0
(αf (t) + βg(t))Btdt .
Con calcoli analoghi al punto precedente, dato che E(X) = E(Y ) = 0, E(XY ) = Cov(X, Y ) =
Z 1 0
Z 1 0
f (t) g(s) min{s, t} dt ds .
