Enunciare e dimostrare il Principio di Massimo p er l'equazione di Laplace

p eril

Corso di Laurea Sp ecialistic a in Ingegneria Civile

A.A.2006/07: App ello del 19/5/2007

Nome:...

N.matr.:... Ancona,19maggio2007

1. Determinarelasoluzione dell'equazione delcalore presenzadi una sorgente,

@u

@t K

@ 2

u

@x 2

=sin 2

L x

conle condizioni alcontornou(0;t)=u(L;t)=0 e lacondizione iniziale

u(x;0)=U

0 sin

2

L x:

2. Classicarel'equazione del second'ordine

@ 2

u

@x 2

@u

@x@y 2

@ 2

u

@y 2

=0

e determinarne la trasformazione in forma canonica. Determinarne quindi la

soluzioneneldominio (x;y)2R 2

,con lecondizioni alcontornou(x;0)=h(x)

e@u=@y(x;0)=(x),usandoun meto do risolutivo ascelta.

3. Risolvere l'equazione dierenziale lineare del prim'ordine

y

@u

@x

@u

@y

= u

p er lafunzione incognita u(x;y), neldominio =R 2

, con il dato di Cauchy

u(x;0)=x sulla rettadi equazione x=0.

4. Enunciare e dimostrare il Principio di Massimo p er l'equazione di Laplace.

Determinarequindi i valoridei parametri e  p eri quali lafunzione

u(x;y)=x 2

y 2

+x+y+1

denita neldominio 0x 2

+y 2

1 assume ilsuo massimo sulb ordo di tale