p eril
Corso di Laurea Sp ecialistic a in Ingegneria Civile
A.A.2007/08: App ello del 18/12/2007
Nome:...
N.matr.:... Ancona,18dicembre 2007
1. (7punti)
E datal'equazione delprim'ordine
@u
@x +2x
@u
@y
=0:
Determinarne le curve caratteristiche e trovarne la soluzione u(x;y) con la
condizione iniziale u(x;0)=cosx. Determinareinoltre (gra camenteed ana-
liticamente) ildominiodi de nizione dellasoluzione e tracciareilgra codella
curvau(x;y)=1.
2. (9punti) Classi care l'equazione delsecond'ordine
5
@ 2
u
@x 2
+2
@ 2
u
@x@y +
@ 2
u
@y 2
=0
alvariare del parametro e determinarne la soluzione nel caso = 3 con le
condizioni ausiliarie
u(x;0)=e x
2
@u
@y
(x;0)=xe x
2
con 1<x<+1.
3. (8punti)Dimostrarechelafunzioneu(x;y)=x 4
+y 4
+x 2
y 2
nonesoluzione
dell'equazione di Laplace nel dominio D = f(x;y) : x 2
+y 2
1gp er 6= 1
e p er qualunque valore di . Nel caso =1, invece, p er quale valore di la
funzione e soluzione dell'equazione di Laplace? Determinare, in quest'ultimo
caso,i massimi edi minimi della funzione neldominio D .
4. (6punti)Siaf(x),x2R,unafunzionerealedivariabilereale. Qualeproprieta
deve averela suatrasformatadi Fourier b
f(k ),supp osto che esista? Calcolare
la trasformata di Fourier della funzione f(x) = xe jxj
, esplicitarne la parte
realee laparte immaginaria, everi care sep ossiede tale proprieta.
5. (5 punti) Si consideri l'equazione del calore con conducibili ta termica non
costante
@u
=
@
K(x)
@u
K(x)=
K
1
; 0xL=2
K
2
; L=2<xL
Siano u(0;t) =u(L;t)=0 le condizioni al contorno, con u e @u=@x continue
p er x = L=2. L'insieme di autofunzioni appropriato p er questo problema e
quellodell'op eratoredi erenziale delsecond'ordine
(L')(x)=
K
1 '
00
(x); 0xL=2
K
2 '
00
(x); L=2<xL
con '(0)='(L)=0 e' e ' 0
continue p er x =L=2. Determinare autovalori
