Probablità, Statistica e Processi Stocastici
Franco Flandoli, Università di Pisa
Corso per la Scuola di Dottorato in Ingegneria
Generica motivazione di un noise additivo
Supponiamo che, in prima approssimazione, il nostro sistema …sico sia descritto da
X0(t) =f (t, X(t)).
Supponiamo però che questa descrizione minimale trascuri
l’interazione del sistema con altri elementi, altre variabili; chiamiamoli fattori esogeni.
Ad ogni istante, lo stato X (t)riceve un piccolo impulso da tali fattori esogeni, quindi l’equazione più realistica sarebbe
X0(t) =f (t, X(t)) +g(t).
Ma come conoscere/descrivere g(t)senza mettere in gioco le complicate equazioni dei fattori esogeni?
Una soluzione ogni tanto adottata è quella di supporre g(t) =σξ(t), white noise di intensità σ.
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Richiamo su equazioni di¤erenziali stocastiche (white noise additivo)
La "…sica" quindi ci suggerisce in alcuni problemi di considerare l’equazione X0(t) =f (t, X (t)) +σξ(t)
dove ξ(t)è un white noise. Siccome B(t) =Rt
0 ξ(s)ds è un moto browniano, a livello rigoroso consideriamo l’equazione integrale
X(t) =X(0) +
Z t 0
f (s, X(s))ds+σB(t) dove ora tutti gli oggetti sono ben de…niti.
Per restare vicini all’intuizione …sica ma ricordarsi del formalismo matematico, si usa scrivere la forma intermedia
dX(t) =f (t, X (t))dt+σdB(t).
Richiamo sull’esempio lineare
Ricordiamo l’esempio
dX(t) = λX(t)dt+σdB(t).
Per σ=0 la soluzione è X(t) =e λtX(0). Per σ6=0, in questo caso rarissimo si può scrivere la soluzione esplicita
X(t) =σB(t) +e λtX(0)
Z t
0 σe λ(t s)λB(s)ds
ma è piuttosto complicata. Ad esempio, per calcolare E [X(t)]conviene usare l’equazione stessa (non la soluzione):
X(t) =X(0) λ Z t
0
X(s)ds+σB(t)
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Richiamo sull’esempio lineare
Calcolando il valor medio di ambo i membri, usando la linearità del valor medio e poi il fatto che E[B(t)] =0, troviamo
E[X(t)] =E[X(0)] λ Z t
0
E[X(s)]ds.
Posto y(t) =E[X(t)], questa è l’equazione lineare y(t) =y(0) λ
Z t 0
y(s)ds ovvero
y0(t) = λy(t)
che ha soluzione y(t) =e λty(0). Risostituendo, troviamo E[X(t)] =e λtE[X(0)].
In modo analogo (un po’più lungo) si possono calcolare, Var[X(t)]e
Detour sui processi gaussiani
Un processo stocastico Xt si dice gaussiano se per ogni tn tn 1 ... t2 t1 il vettore aleatorio
(Xt1, ..., Xtn) è gaussiano (Lezione 1).
Si può capire facilmente che essi sono identi…cati dalle funzioni E[Xt], E[XtXs].
Si può dimostrare che il moto browniano Bt è un processo gaussiano.
Per esso vale E[Xt] =0, E[XtXs] =min(t, s).
Usando il fatto che le trasformazioni lineari di vettori gaussiani sono vettori gaussiani, ed opportuni passaggi al limite, si può veri…care che la soluzione Xt dell’equazione lineare
dX(t) = λX(t)dt+σdB(t)
è un processo gaussiano. E’un esempio di …ltro lineare, come quelli dell’Ing. delle Telecomunicazioni.
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Esempio non lineare
L’equazione
X0(t) =X(t) X3(t)
ha tre punti …ssi: 0, -1, 1 (si trovano ponendo X X3 =0). Il punto 0 è repulsivo, gli altri due attrattivi.
Esempio non lineare
L’equazione può essere letta nella forma con potenziale X0(t) = rU(X(t))
dove U(x) =x4/4 x2/2. La "particella" scivola lungo la buca di potenziale da cui parte, tendendo al punto di minimo locale.
-2 -1 1 2
-0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
x y
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Esempio non lineare
Aggiungendo rumore (σ=0.5)
dX (t) = X(t) X3(t) dt+σdB(t)
il sistema resta per un po’vicino ad un punto attrattivo (in una buca di potenziale), poi transisce vicino all’altro (passa nell’altra buca; viene detto e¤etto tunnel, in meccanica quantistica):
Transizione dovuta al rumore
Con meno rumore (σ=0.3) serve più tempo. Primo tentativo
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Transizione dovuta al rumore
Secondo tentativo:
Si dimostra che, per qualsiasi intensità σ 6=0, c’è transizione (quindi ce ne sono in…nite).
Sistemi metastabili
Esistono in natura dei sistemi che si trovano per un certo tempo in uno stato, magari e¤ettuando in esso una dinamica non banale; (es.
corrente Kuroshio; cercare "Kuroshio metastable") e che poi ad un certo punto transiscono ad un altro stato con il tempo di transizione aleatorio.
L’esempio visto sopra è un possibile modello.
Anche le catene di Markov lo sono, quasi per de…nizione, però non includono una dinamica interna degli stati.
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Energia immessa da una forzante
Un noise additivo può essere pensato come una forza esterna (esogena) che agisce su un sistema (che altrimenti sarebbe chiuso).
Una forza esterna modi…ca l’energia di una sistema. Come?
Esaminiamo l’esempio del moto di un punto materiale in un campo di potenziale. Mettendo la massa ad 1, detta Xt la posizione, U(x)il potenziale, l’equazione di Newton è Xt00= rU(Xt). Detta poi Vt
la velocità, vale
Xt0 =Vt
Vt0 = rU(Xt). L’energia
Et := V
t2
2 +U(Xt) si conserva:
dEt =Vt Vt0+ rU(Xt) Xt0 = Vt rU(Xt) +rU(Xt) Vt =0.
Energia immessa da una forzante deterministica
Se ora aggiungiamo una forzante deterministica gt, cioè consideriamo il sistema
Xt0 =Vt
Vt0 = rU(Xt) +gt
troviamo
dEt
dt =Vt Vt0+ rU(Xt) Xt0 =Vt gt.
Non è possibile stabilire a priori se la forzante aumenti o diminuisca l’energia; dipende dal segno di Vt gt.
O meglio, dipende dal segno di Z t
0
Vs gsds.
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Energia immessa da un white noise
Consideriamo ora il caso del white noise Xt0 =Vt
Vt0 = rU(Xt) +σξt
che riscriviamo con la simbologia più precisa Xt0 =Vt
dVt = rU(Xt)dt+σdBt.
E’intuitivo che l’energia non si conservi. Possiamo però dire che aumenta, o diminuisce, almeno in media?
Il problema matematico è:
come svolgere i calcoli, dal momento che Bt, e quindi Vt, non è derivabile?
Energia immessa da un white noise
Esaminiamo il problema dal punto di vista numerico:
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Energia immessa da un white noise
Facendo numerose simulazioni, salvo il fatto che potrebbero esserci problemi di instabilità numerica, c’è una certa evidenza che, in media, l’energia cresce.
Svolgiamo allora il calcolo "alla buona", sostituendo σdBdtt a gt: dEt
dt =Vt σdBt
dt ovvero
Et E0= σ Z t
0
Vs
dBs
ds ds =σ Z t
0
Vs dBs
Quanto è cambiata l’energia in media?
E[Et] E[E0] =E Z t
0
Vs dBs =? Serve una teoria per questo tipo di integrali.
Il calcolo di Itô
E’praticamente impossibile svolgere calcoli senza sviluppare
ulteriormente la teoria. Infatti le formule corrette non corrispondono alle intuizioni più semplici.
Bisogna addentrarsi un po’nel cosidetto calcolo di Itô.
Programma delle prossime slide:
- integrale di Itô e sue proprietà - formula di Itô
- calcolo dell’energia immessa da un white noise.
Lo sforzo è utile per numerosi altri scopi (es. equazione di Fokker-Planck).
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Integrale di Itô
Vogliamo de…nire
Z T
0
XtdBt. L’idea naturale è
= lim
∑
n
Xtn(Btn+1 Btn) dove
t1 <t2 <...<tn
è una partizione di [0, T]. ed il limite è inteso al ra¢ narsi della partizione.
Un teorema dice che sotto opportune ipotesi il limite esiste (in media quadratica).
Il concetto di processo adattato (non anticipante)
Per capire più a fondo ciò che stiamo facendo, serve questo concetto, che però esula dalle possibilità del corso.
Bisogna dare un signi…cato preciso alla frase:
Xt dipende solamente dalla famiglia di v.a. fBs; 0 s tg. (1) Essa dice che Xt non può dipendere da informazioni riguardanti il moto browniano a tempi successive a t.
Dal punto di vista …sico, stiamo dicendo che il sistema è soggetto alle perturbazioni del rumore (il white noise dBt/dt) e, ad ogni istante t, dipende solo dalle perturbazioni passate, non da quelle future.
Per formalizzare la frase (1) servono le sigma-algebre. Accettiamo intuitivamente il signi…cato della frase (1).
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Proprietà dell’integrale di Itô
Theorem
Se X soddisfa la proprietà (1) eRT
0 E Xt2 dt <∞, allora E
Z T
0
XtdBt =0 Var
Z T 0
XtdBt =
Z T 0
E Xt2 dt.
La media è nulla.
La varianza si esprime tramite un integrale tradizionale.
Cenno di dimostrazione (della prima)
Abbiamo detto che Z T
0
XtdBt
∑
Xtn(Btn+1 Btn).Da qui
E Z T
0
XtdBt
∑
E[Xtn(Btn+1 Btn)]=
∑
E[Xtn] E[Btn+1 Btn]perché Btn+1 Btn è indipendente da Xtn (l’indipendenza degli incrementi browniani implica l’indipendenza di Btn+1 Btn da Bs per s tn, mentre Xtn per la (1) dipende solo da Bs per s tn).
In…ne, E [Btn+1 Btn] =0.
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Sulla de…nizione di integrale di Itô
Il cenno di dimostrazione mostra l’importanza di un dettaglio: moltiplicare Xtn(Btn+1 Btn)
invece che ad esempio
Xtn+1(Btn+1 Btn).
Se avessimo scelto Xtn+1(Btn+1 Btn), non avremmo potuto scomporre E[Xtn+1(Btn+1 Btn)]
(perché non è vero che Btn+1 Btn e Xtn+1 sono indipendenti).
Conseguenze sul calcolo dell’energia?
Ricordiamo che in una slide precedente eravamo rimasti col problema di calcolare
E Z t
0
Vs dBs .
Sulla base del teorema appena visto, sarebbe EhRt
0 Vs dBs
i=0.
Quindi sarebbe E[Et] =E[E0].
Questo contraddice le simulazioni. Dove sta l’errore?
- instabilità delle simulazioni?
- i calcoli del tipo dtd V2 =2VV0 non sono più veri, dal momento che le funzioni non sono più derivabili?
- l’integrale giusto non è quello di Itô, ∑ Xtn(Btn+1 Btn), ma un altro (Stratonovich)?
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Prima utilità dell’integrale di Itô: equazioni più generali
Possiamo esaminare equazioni stocastiche di natura più generale:
Xt0 =b(t, Xt) +σ(t, Xt) ξt
=b(t, Xt) +σ(t, Xt) dBt dt
dove ξt è un white noise. A priori, questa equazione non avrebbe alcun senso. Ma integrando
Xt =X0+
Z t
0
b(s, Xs)ds+
Z t
0 σ(s, Xs)dBs ha senso, dove l’ultimo integrale è ben de…nito nel senso di Itô.
Scriveremo
dXt =b(t, Xt)dt+σ(t, Xt)dBt.
Ad esempio in Finanza/Economia
In …nanza matematica o in varie applicazioni economiche, ad esempio, molte grandezze variano nel tempo in modo moltiplicativo, hanno una struttura moltiplicativa: si ricordino i modelli di serie storiche del tipo
Xn =TnSnen.
A livello di equazioni di¤erenziali, la struttura sarebbe Xt0 =Xt(gt +ξt) (la variazione di Xt è proporzionale a Xt), cioè
dXt =Xtgtdt+XtdBt.
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