IL MODO QUANTISTICO
Il mondo classico rappresenta il mondo del grande (macroscopico) ed è descritto dalle leggi di Newton. La sua principale caratteristica è che i moti degli oggetti vengono descritti dalle traiettorie classiche e che le grandezze fisiche (energia, momento angolare etc.) possono variare in modo totalmente arbitrario. Come esempio prendiamo il sistema solare nel quale ogni pianeta descrive un orbita ben definita e, in ogni momento, sappiamo e possiamo misurare la sua posizione e la sua velocità con precisione assoluta. In breve diciamo che il mondo macroscopico ha le seguenti caratteristiche :
a) È DETERMINISTICO . Conosciamo con certezza la posizione e la velocità degli oggetti.
b) Le quantità fisiche sono CONTINUE. Possono variare per importi arbitrariarmente piccoli.
Figura 1 Esempio di un spettro continuo
Gli esperimenti all’inizio del XX secolo hanno dimostrato che il mondo del piccolo (microscopico) non ha le stesse caratteristiche e che osserva le regole diverse dal mondo macroscopico. Questo era l’inizio della descrizione QUANTISTICA delle particelle microscopiche. Si possono riassumere le caratteristiche quantistiche come segue:
a) Alle particelle microscopiche non è possibile associare le traiettorie classiche.
La ragione sta nel principio d’indeterminazione di Heisenberg che afferma che non è possibile misurare simultaneamente (nello stesso tempo) la velocità e la posizione di un oggetto microscopico. Più precisa e la conoscenza di una quantità meno si sa dell’altra. Di conseguenza la descrizione della posizione di un elettrone nell’atomo non si può ottenere tramite le orbite le quali vengono sostituite dalle regioni di massima probabilità di trovare un elettrone in certe zone dello spazio. La descrizione matematica è l’equazione di Schrodinger. La descrizione di un atomo come un piccolo sistema solare è puramente illustrativa e non corrisponde alla realtà atomica.
Storicamente, lo sviluppo della descrizione quantistica avvenne in modo graduale. La prima versione del modello atomico di Bohr ancora conservava le orbite classiche. La versione corretta è dovuta a Schrodinger. L’assenza delle traiettoria corrisponde all’assenza della certezza nella descrizione della posizione. Quando non c'è certezza resta soltanto la descrizione in termini di probabilità (descrizione statistica). Si può riassumere che il mondo microscopico è INDETERMINISTICO (incerto).
b) Le grandezze fisiche possono variare soltanto come multipli di una quantità minima chiamata QUANT (da cui il nome quantistico). Mentre un pianeta si potrebbe spostare dalla sua orbita variando la sua energia di un importo a piacere questo non è possibile per un elettrone. Se l’energia di un quant si chiama E0, l’importo di energia E deve essere un multiplo del quant E=nE0
dove n rappresenta un numero intero. Questo si chiama principio di quantizzazione. In breve ad ogni grandezza fisica viene associato un numero chiamato numero quantico.
Figura 2 Esempio di un spettro quantizzato
Descrizione dell’atomo
Un atomo rappresenta la tipica struttura soggetta alle leggi quantistiche. È composto dal nucleo centrale (composto da protoni e neutroni)
Figura 3 la struttura dell’atomo
e nuvole elettroniche. Le caratteristiche fondamentali delle particelle costituenti sono
elettrone protone neutrone me= 9,1 10 -31 kg mp= 1,7 10 -27 kg
m
n≈ m
pqe= -1,6 10 -19 C qe= 1,6 10 -19 C qn= 0
L’atomo è neutro e perciò #elettroni=#protoni. Le masse atomiche vengono espresse non in kilogrami ma in unità atomiche di massa (atomic mass units) 1amu=1,7 10 -27 kg. Il vantaggio è che, nel calcolo della massa atomica ( detta numero atomico) A, basta sommare il numero di protoni e neutroni A=#p+#n (gli elettroni non si contano essendo molto meno massivi )
Esercizio: Esprimere la massa di un elettrone in unità atomiche di massa.
27 31
31 4 4
27
1 :1,7 10 : 9,1 10
9,1 10 91
10 5,35 10 0,0005
1,7 10 17
amu kg x kg
x kg amu amu amu amu
kg
− −
− − −
−
⋅ = ⋅
= ⋅ = = ⋅ =
⋅
Fig. 4: Nuvole di probabilità degli elettroni per diversi livelli energetici dell’atomo di Idrogeno. Un elettrone possiede energia ben definita ad ogni livello ( n = 1, 2, 3, ...) e il momento angolare dovuto alla rotazione attorno al nucleo [valori l=0 (s);l=1( p);l=2(d),...]. Aree chiare rappresentano zone di grande probabilità di trovare un elettrone.
La struttura di un atomo è basata sul principio di quantizzazione e il principio di esclusione di Pauli. Il principio di Pauli afferma che: due elettroni non si possono mai trovare in uno stato descritto dagli stessi numeri quantici.
Il principio di quantizzazione implica che ad ogni grandezza fisica viene associato un numero detto numero quantico che caratterizza tale grandezza. Le grandezze principali dell’elettrone sono:
a) l’energia con il suo numero n chiamato numero quantico principale che assume valori interi n=1,2,3...
b) Momento angolare che descrive rotazione dell’elettrone attorno al nucleo ed il suo numero quantico angolare l=0,1,...n-1
c) Numero quantico magnetico che descrive tutte le possibili proiezioni del momento angolare rispetto alla direzione del campo magnetico esterno m=- l,...0...,+l
d) Spin
1
s = ± 2
§. Lo spin non ha un analogo classico ed è una proprietà tipicamente quantistica. Le particelle microscopiche si dividono in due gruppi in base allo spin:i) Particelle di spin intero (0,1,2...) chiamate bosoni
ii) Particelle di spin semi-intero (1/2,3/2,5/2...) chiamate fermioni. Solo fermioni sono soggetti al principio di Pauli. Tutte le particelle che compongono l’atomo sono fermioni.
Lo stato quantico di un elettrone è dunque descritto da un insieme di numeri quantici (n,l,m,s). Attorno al nucleo si trovano livelli energetici quantizzati descritti dal numero n. Cominciamo a riempire questi livelli inserendo degli elettroni. Per rendere le cose più chiare immaginiamo che l’atomo sia rappresentato da una casa quantistica. In questa casa i livelli energetici corrispondono ai diversi piani. Il numero angolare l rappresenta diversi appartamenti che si trovano ad ogni piano. È abitudine introdurre un’altra notazione per diversi valori del numero quantico l in questo modo:
0 1 2 3 4
l s
l p
l d
l f
l g
= →
= →
= →
= →
= →
§
Il numero magnetico m rappresenta numero di stanze nel singolo appartamento, mentre lo spin s numero di persone che si possono accomodare in una stanza.
Vediamo allora la struttura della casa quantistica:
n=1 primo piano. Esiste solo un possibile valore del momento angolare l=0 (app. s) e un unico valore del numero magnetico m=0 (solo una stanza nell’appartamento s). In quella stanza possiamo accomodare al massimo due persone (spin s=-1/2 un ragazzo e s=+1/2 una ragazza). Se ci mettiamo solo una persona otteniamo un insieme di numeri quantici (1,0,0 +1/2). In questo modo si ottiene l’elemento Idrogeno H11. Aggiungendo il secondo elettrone descritto dai numeri quantici (1,0,0 -1/2) si ottiene Elio He24,
Figura 4 Atomo di Idrogeno 1s1
1 1
2 4
(1, 0, 0, 1 ) 2
1 1
(1, 0, 0, );(1, 0, 0, )
2 2
H He
⇒ +
⇒ + −
Figura 5 Atomo di Elio 1s2
A questo punto non c'è più spazio per mettere altri elettroni sul primo piano. Si deve passare al secondo piano n=2.
2 0( ); 1( )
0 0
1 1; 0; 1
n l s l p
l m
l m m m
= → = =
= → =
= → = − = = +
Si vede che al secondo piano c'è un appartamento monolocale (s) e un trilocale (p).
Nel monolocale possiamo sistemare due persone e nel trilocale 2x3=6 persone. In tutto al secondo livello si possono sistemare 8 persone. Lo schema è questo
App. s
1 1
(2,0,0, );(2,0,0, )
2 2
+ −
App. p
1 1
(2,1, 1, );(2,1, 1, )
2 2
1 1
(2,1,0, );(2,1, 0, )
2 2
1 1
(2,1, 1, );(2,1, 1, )
2 2
− + − −
+ −
+ + + −
Figura 6 Atomo di Litio 1s22s1
In questo modo si procede riempiendo altri livelli. Dopo il terzo livello, però, cominciano delle complicazioni dovute alla repulsione tra gli elettroni. Questa repulsione è particolarmente forte per i valori alti del numero quantico angolare l (una sorta di effetto centrifugo) e comincia ad influenzare sottolivello 3d in modo che questo aumenta di energia e si alza sopra il livello 4s. Dunque l’atomo comincia prima a riempire il livello 4s e dopo il livello 3d. Questa anomalia si ripete anche nei livelli successivi seguendo lo schema riportato qui sotto
Figura 7 Riempimento dei sublivelli energetici
Calcoliamo il numero degli elettroni per ogni livello. La formula è 2n2 e, dunque
2 2 2
2 2
1 2 1 2
2 2 2 8
3 2 3 18 4 2 4 32 5 2 5 50 n
n n n n
= → ⋅ =
= → ⋅ =
= → ⋅ =
= → ⋅ =
= → ⋅ =
Il totale del numero di elettroni è 110 mentre esistono 111 elementi di cui soltanto 92 presenti in natura (altri sono creati in laboratorio). Si capisce che non tutti sottolivelli possono essere riempiti. Si pone la domanda perché il numero di elementi è finito quando non c'è limite al riempimento dei livelli elettronici? La risposta sta nel nucleo: per ogni elettrone aggiunto bisogna aggiungere un protone per mantenere la neutralità dell’atomo.
In questo modo le dimensioni del nucleo crescono (ci sono anche i neutroni) mentre la forza nucleare che tiene il nucleo insieme ha un raggio di azione finito. Si può visualizzare questa situazione come una sfera di raggio finito nella quale cerchiamo di inserire sempre più particelle ( il suggerimento di uno studente era di paragonare il nucleo con una corriera che di mattina porta ragazzi a scuola ed e sempre strapiena) ed ad un certo punto non ci stanno più altre, mentre tra quelle che sono dentro certe si trovano sul bordo della sfera. Ogni tentativo di aggiungerne altre provoca uscita forzata di qualche altra particella dalla sfera, così come l’agitazione delle particelle può spingere qualcuna fuori. Queste sono le condizioni che causano instabilità del nucleo (chiamata radioattività) che provoca riduzione delle particelle e trasformazione del nucleo pesante in quelli meno pesanti e stabili. Tutti gli elementi dopo il Piombo Pb82 hanno queste proprietà. Riassumendo: il raggio finito d’azione della forza nucleare determina un numero finito di elementi in natura perché non permette l’esistenza dei nuclei oltre un certo limite di particelle contenute in essi.
La forza elettrostatica
Charles Coulomb (1736-1806) aveva sperimentalmente descritto la forza tra 2 cariche puntiformi (una carica puntiforme è l’idealizzazione di un oggetto carico di piccolissime dimensioni confondibile con un punto). Al contrario, la carica di un oggetto grande si nomina carica macroscopica ed è composta da tante cariche puntiformi.
Simboli usati:
q - carica puntiforme Q – carica macroscopica
Q=q n dove n è un numero intero (il primo esempio di quantizzazione)
La formula di Coulomb è
1 2
c 2
F k q q r
= ⋅ ⋅
Il k rappresenta la costante universale mentre r è la distanza tra due cariche puntiformi. L’unità di carica nel sistema di unità MKS si chiama Coulomb (C). La definizione di Coulomb si ottiene tramite la corrente elettrica: La carica di 1 C corrisponde alla carica che attraversa la sezione di un conduttore in 1 sec creando la corrente elettrica di 1 A (Ampere).
Per determinare le unità di misura della costante k si applica l’analisi dimensionale di una formula fisica. La procedura è la seguente: Usiamo la formula inversa della legge di Coulomb (per confronto si mostra lo stesso lavoro per la costante gravitazionale G) e si sostituiscono le unità a destra definendo così l’unita di sinistra
2
1 2
F rn
G k m m
= ⋅ ⋅
⋅
[ ]
G = N mkg⋅ 222 11
6, 67 10 N m2
G kg
− ⋅
= ⋅ ⋅
2
1 2
F rc
k q q
= ⋅
⋅
[ ]
2 2k N m C
= ⋅ 9 109 N m2 2
k C
= ⋅ ⋅ ⋅
Soffermiamoci sul significato fisico delle costanti fondamentali. Il fatto che queste costanti non dipendono dai dettagli (tipo di materiale di cui sono composte le masse ect.) significa che descrivono degli effetti universali, contrario alla costante d’attrito che cambia dal materiale al materiale e non è una costante universale. Il valore numerico della costante universale indica l’intensità della forza e si intuisce che la forza di Coulomb è sempre più forte della forza di gravità. La forza gravitazionale e la forza elettrica sono due delle quattro forze universali in natura (vedi dopo).
Esercizio :
Calcolare il rapporto tra la forza gravitazionale e la forza elettrica per un atomo di Idrogeno.
Dati:
9,1 10 31
me− kg
= ⋅ − massa elettrone
1,6 10 19
qe− C
= − ⋅ − carica elettrone=carica protone
10 1 0,5 10
r = ⋅ − m raggio dell’ orbita
p 2000 e
m = ⋅m− rapporto massa protone rispetto massa elettrone Formule di partenza
1 2 c 2
F k q q r
= ⋅ ⋅ Legge di Coulomb
1 2
n 2
F G m m r
= ⋅ ⋅ Legge di Newton
I valori numerici delle costanti
2 9
9 10 N m2
k C
= ⋅ ⋅ ⋅
2 11
6,67 10 N m2
G kg
− ⋅
= ⋅ ⋅
Dettagli del conto esplicito:
La forza di Coulomb
2 19 2
9
2 10 2
2 9 38 2 2
2 20 2 2
9
7
(1,6 10 )
9 10 (0,5 10 )
(1, 6) 10 10 9 (0,5) 10 92,16 10 10
Nm C
Fc C m
C Nm
Fc m C
Fc N
Fc N
−
−
−
−
−
−
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅
≅
La forza gravitazionale
( )
( )
( )( )
31 2 2
11
2
2 10
2 11 3 62 2 2
2 20 2 2
50 47
9,1 10 2000 6,67 10
0,5 10 6, 67 9,1 10 10 10
2 0,5 10
4675 10 10
Nm kg
Fn kg m
Nm kg
Fn kg m
Fn N
Fn N
−
−
−
− −
−
−
−
⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅
⋅
⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅
≅
Rapporto delle forze
Fc Fn
− 7 40
− 47
≈1 0 = 1 0 1 0
Esercizio:
Calcolare la forza di repulsione tra gli elettroni del 1° e 2° livello energetico nell’atomo di Idrogeno
( )
( )
( )( )
( )
( )
10 1
10 2
10
2 1
19 2 2
9
2
2 10
2 19 2 2 2
9
2 10 2 2 2
9 38
20 9
0,5 10 1 10
0,5 10 1, 6 10
9 10 0,5 10
1, 6 10
9 10
0,5 10
2,56 10 10 9 0, 25 10 92,16 10
c
c
c
c
r m
r m
r r r m
Nm C
F C m
F Nm C
C m
F N
F N
−
−
−
− −
−
−
−
−
−
−
= ⋅
= ⋅
= − = ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅
9 92,1610 c
F=⋅−N
Le forze fondamentali della natura
La forza gravitazionale e la forza elettrica sono due delle quattro forze fondamentali della natura (altre due sono la forza debole e la forza forte) con le quali abbiamo l’esperienza quotidiana.
La forza elettrica di Columb descrive la forza elettrostatica tra due cariche puntiformi mentre la forza di Newton descrive l’attrazione gravitazionale tra due masse puntiformi (o sferiche). Questo significa che hanno la loro origine nelle proprietà fondamentali della materia (massa e carica) e perciò classificate come forze fondamentali.
1 2
2 2
1 2
2 2
1 1
c
N
F k q q
r r
F G m m
r r
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
: :
Si osserva dalle formule che tutte le due forze hanno la stessa dipendenza dalla distanza e che non diventano mai zero. Questo fatto è una coincidenza? La risposta è no. La dipendenza deriva dal fatto che entrambe derivano dalle sorgenti a simmetria sferica. Inoltre, al livello più profondo, l’azione della forza è rappresentata dal suo portatore (mediatore), in altre parole da una particella che trasmette la forza.
Il portatore della forza elettrostatica è il fotone, mentre il portatore della gravità è il gravitone. Tutti e due hanno in comune il fatto che non hanno la massa. Tutte le particelle senza massa viaggiano alla velocità della luce e non possono nè rallentare, nè fermarsi. Dunque, fotone e gravitone intesi come due atleti possono correre a grandi distanze senza stancarsi e le due forze si propagano in tutto lo spazio. Questo è visibile nelle formule dal fatto che per quanto grande possa essere la distanza r, la forza diminuisce ma non diventa mai zero.
Inoltre, la forza di gravità è solo attrattiva, invece la forza di Coulomb può essere sia attrattiva sia repulsiva. Perché allora è la forza di Newton a prevalere nel mondo macroscopico? Solo perché la materia è neutra nello stato naturale. D’altro canto il mondo microscopico (atomi e molecole) è governato dalla forza elettrica.
La forza debole è responsabile del decadimento radioattivo nel nucleo (esempio
p+ → n° + e+ + v ). I suoi portatori sono i bozoni W+ e W− , e il bozone neutro Z0. Questi bozoni sono molto massivi ( dei ciccioni che si stancano presto).
La forza forte ha i portatori chiamati gluoni ed anche loro sono senza massa. Si dimostra che la forza forte è responsabile della forza nucleare (come residuo della forza tra i quark) ed è mediata dai pioni. Ha un raggio piccolissimo che corrisponde a
10 m−15 . Questa forza aumenta con la distanza tra i quark ( la formula esatta non è ancora conosciuta). La forza forte tiene i quark insieme. I quark sono costituenti delle particelle come protone o neutrone.
La legge della conservazione della carica elettrica
La legge della conservazione della carica elettrica afferma che:
la totale carica in un processo deve rimanere costante, cioè la carica iniziale deve essere uguale alla carica finale.
Prendiamo come esempio il processo del decadimento beta descritto come
n
°→ p
++ e
−+ v
La legge di conservazione di carica è soddisfatta perché qn= qp+ qe+ qν (0=-1+1+0). In questo processo ν è antineutrino (antiparticella del neutrino e porta la carica zero).
Oppure un esempio dalla chimica
: 0 1 1 NaCl Na Cl cariche
+ −
→ +
= + −
L’esperienza di Milikan
Millikan, Robert Andrews ( 1868 - 1953) fisico statunitense che determinò la carica dell'elettrone. Millikan sparò delle goccioline di olio ionizzate da raggi X in un campo elettrico prodotto da un condensatore piano.
Aggiustando il voltaggio ottenne le goccioline sospese in aria a causa dell’equilibrio tra forza peso e forza di Coulomb.
Fc=Fpeso
q E m g ⋅ = ⋅
Così si trova la carica della gocciolina.
m g
q E
= ⋅
Gli esperimenti dimostrarono che la carica delle goccioline era sempre esprimibile in termini di una quantità minima di carica (carica di un elettrone) qe=1,6 10-19 C.
Questo era il primo esempio di quantizazzione Q n q= ⋅ e.
Il campo elettrico
Il campo elettrico viene definito come:
la modifica dello spazio attorno alla carica sorgente qs
Lo spazio senza cariche elettriche si chiama “il vuoto elettrico”. La presenza delle cariche modifica questo vuoto e la modifica viene vista come il campo elettrico.
La forza elettrica tra una carica puntiforme ed un campo elettrico generale si può esprimere con la seguente formula
F
→= q E
p⋅
→Dove qp si chiama carica di prova e rappresenta la carica microscopica che serve per verificare (provare) l’esistenza del campo elettrico, attraverso la forza. La formula di Coulomb è un caso speciale della formula generale. Salvo il caso delle cariche puntiformi (descritto da Coulomb) non si conosce
a priori
la forza. In generale, la strada da seguire è: trovare prima il campo e dopo la forza. Il campo elettrico si può trovare applicando la legge di Gauss che non formuliamo in queste note.Il campo elettrico di Coulomb
Senza la legge di Gauss si può comunque trovare il campo elettrico delle cariche puntiformi come segue
2
2
p s
c s
c
p p
k q q
F r q
E k
q q r
⋅ ⋅
= = = ⋅
Dove qs rappresenta la carica che genera il campo (carica sorgente). A questo punto è importante distinguere tra la forza ed il campo. La differenza tra la forza di Coulomb e il campo di Coulomb è che la forza di Coulomb necessità minimo di due cariche per avere l’interazione, mentre il campo di Coulomb necessità di una sola carica chiamata la carica sorgente. Dunque, il campo elettrico non è visibile in assenza della carica di prova. Per poter visualizzare il campo elettrico si usano le linee di campo. Le linee del campo sono delle curve che ,per convenzione, escono da una sorgente positiva ed entrano in una sorgente negativa.
Il campo elettrico è un vettore sempre tangente alle linee di campo. Le linee di campo non si incrociano mai.
I campi elettrici, essendo dei vettori, si sommano con la regola del parallelogramma (o poligono). Però, la somma di due (o più) campi di Coulomb non dà un altro campo di Coulomb. L’esempio semplice è il campo del dipolo elettrico. Il dipolo elettrico è rappresentato da due cariche q uguali in modulo ma di segno opposto, poste ad una certa distanza d
Esercizio teorico:
Trovare la formula del campo elettrico di un dipolo nel punto C posti sull’asse Y come da disegno
( ) 3 tot
E C k p r+
= ⋅ → Campo elettrico di un dipolo nel punto
C sull’asse Y, dove p si chiama momento del dipolo ed è definito come →p q d= ⋅→ .
Rifaciamo lo stesso conto per un punto Q posto sull’asse X. Essendo vettori campo antiparalleli si ha per il modulo del campo totale
2 2
tot
q q
E E E k k
r r
+ −
+ −
= − = ⋅ − ⋅
2
2
2 2
?
: :
2 2
2 2
( )
2
tot tot
tot
tot
tot
C
E E E
E
E d
E r
E d
r E
d q d
E C E k
r r r
r d R
+ −
+ +
+ +
+
+ + +
+
= +
=
=
⋅ = ⋅
= ⋅ = ⋅ ⋅
= +
2 2
1 1
tot( )
E Q k q
r+ r−
= ⋅ ⋅ − →
Campo di un dipolo nel punto Q sull’asse X. Questa formula si può ulteriormente semplificare.
Dal disegno si vede che
2 2
2 2
2 2
2 2
1 1
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
tot
tot
tot
r d r r r d E Q k q
r r d r d r E Q k q
r r d
r d r r d r E Q k q
r r d
+ −
− +
+ +
+
+ +
+ + + +
+ +
= +
= −
= ⋅ ⋅ − −
− −
= ⋅ ⋅
⋅ −
− + − −
= ⋅ ⋅
⋅ −
Ogni tal volta quando vale r+ ? d si semplifica la formula è si ottiene
3 3
3
2 2
( ) ( )
tot
Q
tot
C
k q d k p
E Q r R
E C k p R
+
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= − = −
= ⋅
Si vede che il campo elettrico di un dipolo si indebolisce con il cubo della distanza e non è un campo di Coulomb anche se è risultato di una somma vettoriale di due campi di Coulomb. In natura, ci interessano dei dipoli atomici o molecolari. Per un osservatore esterno (in laboratorio) è giustificata la formula semplificata perché le dimensioni dei dipoli molecolari sono piccolissime rispetto alla distanza del punto in cui viene misurato il campo.
Il caso del dipolo ci dimostra che, in generale, un campo macroscopico, inteso coma la somma dei campi di Coulomb, sarà ben diverso dalla semplice formula di Coulomb.
Un esempio di un campo macroscopico, cioè ottenuto con la legge di Gauss, è il campo di un piano infinito. Un piano infinito (in realtà di dimensioni estese) viene meglio rappresentato dalla sua densità di carica superficiale
Q σ = S
Dove Q è la sua carica macroscopica e S la superficie. Perché usare densità invece di carica? Perché la densità di un oggetto non è legata alle sue dimensioni (che possono essere anche infinite) ma caratterizza le proprietà locali dell’ oggetto. In altre parole, un oggetto grande e uno piccolo avranno la stessa densità se fatti di uno stesso materiale.
Il campo elettrico di un piano infinito
Il campo elettrico di un piano è descritto dalla formula
E = ⋅ ⋅ ⋅2 π k σ
Si nota che questo campo elettrico è un campo costante. Perciò, è più semplice del campo di Coulomb anche se è composto dalla somma di tanti campi puntiformi. Oltre ad illustrare differenza tra campi puntiformi e macroscopici,il piano infinito ci interessa anche dal punto di vista pratico. Mettendo due piani vicini e carichi con lo stessa carica ma di segno opposto si ottiene il condensatore piano. Il campo del condensatore è dato dalla seguente formula:
E = ⋅ ⋅ ⋅4 π k σ
Esercizi:
1) Calcolare la forza totale sulla carica qp prodotta dalle cariche q1 e q3
disposte a distanze ortogonali d=2m dalla carica qp
( ) ( )
( ) ( )
1 3
2 2
1 3
2 6 6
1 9 2
1 2 2 2
1
3 9 2 2
3 2 2 2
3
2 2
2 2 2 2 4 2 4 2
3 10 2 10
9 10 1,35 10
2
6 2
9 10 2, 7 10
2
1,35 10 2, 7 10 (1,8 7,3) 10 9,1 10
tot
tot
p
p
tot
F F F
F F F
q q Nm C C
F k N
r C m
q q Nm C C
F k N
r C m
F N N N N
µ µ
− −
−
−
− − − −
= +
= +
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅
⋅ ⋅
= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅
= ⋅ + ⋅ = + ⋅ = ⋅
3 10 2 Ftot= ⋅ −N
2) Calcolare la forza sulla carica qp=1 nC, posta nel vertice di un quadrato di lato a=10cm, prodotta dalle cariche q1=20 nC, q2=-20 nC e q3=20 nC poste nei altri vertici
6 34, 310 t o t
F = ⋅−N
3) Calcolare la forza sulla carica qp, posta nel vertice dell’angolo retto di un triangolo rettangolo isoscele, prodotta dalle cariche q1=2 nC, q2=4 nC, poste nei restanti vertici dell’ipotenusa, e q3=-2 nC posta a metà tra q1 e q2.
L’ipotenusa è
AB=20cm.
( )
( )
( )
1 3
1 3
2
2 2
1
1 2
2 18 2 2
9 9
1 2 2 2 2 2
9 2 7 6
1
2
9 1
2 2 2
2
20 1 20 10
9 10 9 10
10 10
9 20 10 10 180 10 18 10 20 1
9 10 9 1
2 10 2
I
I
I tot
tot I I
F F F F F
F F
F F F
F F F perchè F F
F k q q r
Nm nC nC C Nm
F C cm m C
F N N N
F Nm nC nC
F C cm
−
−
− − −
+ =
=
= ⋅
+ =
= +
= ⋅ ⋅
⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = ⋅
⋅
/ /
( )
6
6 6
6
0
2 18 10 9 10 1, 41 18 9 10
tot tot
N
F
F N
−
− −
−
= ⋅ ⋅ + ⋅
= ⋅ + ⋅
( )
( )
1 2
1
2 2
2
1
1 2
2
2 2
2 9
1 2 2
2 2
9 9 9
1 2 2
9 1
2 9
2 2 2
9 2
2
2
2 2
1 2
9 10 0,07
9 1 2
10 10 10 0, 005
3600 10
1 4
9 10 0,1
9 1 4
10 10 0,01
I I
tot I
F F F
F F
F F F
AB AC
AC AB
MC AB F k q q
AC F k q q
AC
Nm nC nC
F C m
F Nm C
C m
F N
Nm nC nC
F C m
F
− −
−
− −
= +
= ⋅
= +
= ⋅
=
=
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
2 2
9 9
2 2
10 Nm C
C m
⋅ ⋅ ⋅
7 2 3610 F=⋅−N
4) Calcolare il campo elettrico ed il potenziale nell’esperimento di Milikan Dati:
1,6 10 19
qe− C
= ⋅ −
mgoccia =10 g−11 E = ?
Soluzione:
Pgoccia =F
11 2 13 2
19 19
5
3
5 3
10 10 sec 1 10 sec
1, 6 10 1,6 10
0,6 10 6 10
1 10
6 10 10 P m g m g q E E m g
q
g m kg m
E C C
N N
E C C
V E d
d mm m
V Nm
C
− −
− −
−
−
= ⋅
⋅ = ⋅
= ⋅
⋅ ⋅ ⋅
= =
⋅ ⋅
= ⋅ = ⋅
= ⋅
= =
= ⋅ ⋅
/ /
6 105N E= ⋅ C
600 V=V
5) Calcolare la forza totale sulla carica qp , posta su una retta tra le cariche i
1 1
q = µC e q2 = 4µC, im modo che la forza risultante sia zero. La distanza tra q1 e q2 è d=10 cm.
2 1 0 1 2
Ftot = F − F = → F = F
1 2
2 2
1 2
2 2
2 2
1 2
1 2
2 2
2 1
2 2
2 2
2 2
(10 ) (10 ) (10 )
/ (10 )
4 1 (10 )
4 (10 )
0 (10 ) 4
(10 2 )(10 2 ) (10 3 )(10 ) 0
q q q q
k k
x x
q q
x x
x x
q q q q q x q x
C x C x
x x
x x
x x x x
x x
µ µ
⋅ ⋅
⋅ = ⋅
−
= −
= − ⋅
= −
⋅ = ⋅ −
= −
= − −
− − − +
− + =
Soluzioni matematiche
10 3 0 10 3 10
3
10 0 10
x x x
x x
− = → = → =
+ = → = −
Soluzione Fisica
10
3x= perché la distanza tra due cariche è sempre positiva.
6) Calcolare la forza sulla carica qp, sapendo che essa si trova al centro di un quadrato di lato d=10cm e sapendo che nei vertici si trovano le cariche
1 1
q = µC,q2 = −1µC,q3 = 1µC e q4 = −1µC.
1 3
2 4
0 0
I
II
tot
tot
F F F
F F F
= − =
= − =
Come cambia la forza se si cambiano le cariche q4 in −1 Cµ e q2 in 1 Cµ .
1 3
2 4 2
2
2 2
2
2 9
2 2 2 2
12 2 2
9
2 4 2 2
9 12 4 1
2
0 2
2 10
2 2
1 1
9 10 ( 2 5 )
9 10 10 50 10
9 10 10 10 10 1,8 5
I
II tot tot
p
p
F F F
F F F F
F k q q r
r d cm
q q Nm C C
F k
r C cm
C Nm
F m C
F N N
µ µ
−
−
− −
= − =
= + =
= ⋅ ⋅
= = ⋅
⋅ ⋅
= ⋅ = ⋅ ⋅ =
⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
2 1, 8 F=N
7) Calcolare il valore della carica q2, in maniera che la forza risultante sulla carica di prova sia zero. La carica qp si trova a distanza di 3 cm dalla carica q1, mantre q1 e q2 sono a distanza d=10cm.
Dati:
1
1
2 1 3 10
p
q C
q C
r cm d cm
µ µ
=
=
=
Soluzione:=
2 1
2 1
2 1
2 2
2 1
2 1
2
2 1
2 2
2 1 2
1
2
2
0
0
2 7
3
tot tot
p p
F
F F F
F F
q q q q
k k
r r
q q r r q q r
r q C cm µ cm
=
≡ − =
=
⋅ ⋅
⋅ = ⋅
=
= ⋅
= ⋅
210, 9 q=µC
Energia potenziale elettrica
Le formule principali dell’elettrostatica si possono riassumere in un quadrato
“magico”
E
E →
F q E= p⋅
F
→↓
V E
s
− ∆ =
∆ ∆U = −FII⋅ ∆s
V
↑ V U q= / p← U
Il lavoro A (spesso contraddistinto anche con i simboli W e L) rappresenta azione di una forza F su una distanza ∆s
A=F⋅∆s
Questa formula contiene il prodotto scalare tra vettori forza e distanza. Si può evitare il prodotto scalare scrivedola come
A F= II ⋅ ∆s
Dove FII indica la componente della forza parallela al vettore spostamento.
Inoltre il lavoro è anche legato all’ energia con le seguenti formule
( ) ( )
II A EK
III A V
= ∆
= − ∆
La II formula determina il legame tra la variazione dell’energia cinetica ed il lavoro.
La III formula è valida solo per le forze conservative e determina il legame tra l’energia potenziale ed il lavoro.
Definizione delle forze conservative:
1° definizione (percorso aperto)
Le forze conservative sono le forze per le quali il lavoro non dipende dal percorso, ma solo dal punto iniziale ed il punto finale.
2° definizione (percorso chiuso)
Si definisce la forza conservativa come la forza il cui lavoro su un percorso chiuso e zero.
Figura 8 percorso aperto e chiuso
Se si collegano la I formula e la III formula si ottiene il modo di calcolare l’energia potenziale di un sistema fisico
∆ = −V FII⋅ ∆s
dalla quale si trova l’espressione dell’energia potenziale gravitazionale
UN= −G⋅msr⋅mp e di quella elettrica
UC= ⋅k q qsr⋅ p
Mentre l’energia potenziale gravitazionale è sempre negativa, quella elettrica può essere
Uc ≤ 0, quando le cariche hanno segno opposto +-
Uc ≥ 0 quando le cariche hanno stesso segno ++; --.
Energia potenziale negativa caratterizza sistemi fisici detti legati (soggetti ad una forza attrattiva). Esempio: il sistema solare o l’atomo.
L’energia potenziale positiva caratterizza sistemi fisici detti liberi (soggetti ad una forza repulsiva o nulla).
Cenno sull’energia potenziale gravitazionale. La formula trovata è
s p
N
U G m m r
= − ⋅ ⋅
Mentre nei libri molto più spesso appare la formula
